二次函数与一元二次方程 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册26.3.1二次函数与一元二次方程第二十六章

二次函数26.3.1二次函数与一元二次方程

同步练习题一、核心知识点梳理1.二者核心关系二次函数解析式：$$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$$；一元二次方程：$$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$$。本质关联：当二次函数的函数值$$y=0$$时，二次函数就转化为一元二次方程。方程的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。2.判别式Δ的三种图象意义（本节重中之重）设$$\Delta=b^2-4ac$$，针对抛物线$$y=ax^2+bx+c$$：①$$\boldsymbol{\Delta>0}$$：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同交点；②$$\boldsymbol{\Delta=0}$$：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有唯一交点（顶点在x轴上）；③$$\boldsymbol{\Delta<0}$$：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。3.拓展对应关系1.求抛物线与x轴交点坐标：令$$y=0$$，解一元二次方程，得到的根即为交点横坐标，纵坐标为0；2.求方程$$ax^2+bx+c=k$$的根：可看作抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与直线$$y=k$$交点的横坐标；3.若抛物线与x轴交于$$(x_1,0)、(x_2,0)$$，可写交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$。4.函数值正负取值规律当$$a>0$$开口向上：两根外侧$$y>0$$，两根之间$$y<0$$；当$$a<0$$开口向下：两根外侧$$y<0$$，两根之间$$y>0$$。二、基础巩固习题（一）选择题1.抛物线$$y=x^2-2x-3$$与x轴的交点个数是（

）A.0个B.1个C.2个D.无法确定2.若抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与x轴只有一个交点，则$$\Delta$$的值为（

）A.$$\Delta>0$$B.$$\Delta=0$$C.$$\Delta<0$$D.不确定（二）填空题3.抛物线$$y=x^2-4$$与x轴的交点坐标为________。4.已知抛物线$$y=x^2-6x+m$$与x轴无交点，则m的取值范围是________。三、综合提升习题（三）解答题5.求抛物线$$y=-x^2+2x+3$$与x轴的交点坐标。6.已知二次函数$$y=2x^2-4x+k$$，根据下列条件求k的取值：（1）图象与x轴有两个交点；（2）图象与x轴只有一个交点；（3）图象与x轴无交点。四、参考答案与详细解析1.C解析：$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$$，有两个交点。2.B解析：$$\Delta=0$$对应抛物线与x轴有唯一公共点（相切）。3.$$(2,0)、(-2,0)$$解析：令$$y=0$$，$$x^2-4=0$$，解得$$x=\pm2$$。4.$$m>9$$解析：无交点则$$\Delta<0$$，$$36-4m<0$$，解得$$m>9$$。5.解：令$$y=0$$，得$$-x^2+2x+3=0$$，整理得$$x^2-2x-3=0$$，因式分解$$(x-3)(x+1)=0$$，解得$$x_1=3，x_2=-1$$。所以交点坐标为$$(3,0)、(-1,0)$$。6.解：$$\Delta=(-4)^2-4\times2\timesk=16-8k$$。（1）有两个交点：$$\Delta>0\Rightarrow16-8k>0\Rightarrowk<2$$；（2）一个交点：$$\Delta=0\Rightarrow16-8k=0\Rightarrowk=2$$；（3）无交点：$$\Delta<0\Rightarrow16-8k<0\Rightarrowk>2$$。五、本节易错点总结1.混淆对应关系：方程的根是横坐标，交点坐标必须写成$$(x,0)$$，不能只写数值；2.审题不清：“与x轴一个交点”等价于$$\Delta=0$$，不是$$\Delta>0$$；3.含参数题型忘记判别式列式，直接解方程导致出错；4.无法区分：$$y=0$$找x轴交点，$$x=0$$找y轴交点。学习目标通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联

系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）

3.函数的观点对应函数从函数值角度从函数图象角度

函数y=ax+b(a≠0)函数值为___时，求______的值

确定直线y=ax+b与___的交点的＿坐标

解关于x的________方程ax+b=0(a≠0)一元一次一次0ax+b=0x轴横已学对象重新分析那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？

如图，下列二次函数的图象与

x

轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当

x

取公共点的横坐标时，函数值是多少？(1)

y=x²

+x

-2；(2)

y=x²

-

8x+16；(3)

y=x²

-

x+1.由此，你能说说方程x²

+x

-2=0，x²

-

8x+16=0，x²

-

x+1=0的根的情况吗？探究点：二次函数与一元二次方程(2)y=x²

-

8x+16；(1)

y=x²+x

-2；(3)y=x²

-

x+1.解析式抛物线与

x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x²+x-2y=x²-8x+16y=x²-x+10

个1个2个x²-x+1=0,无解4x²-8x+16=0,x1=x2=4-2和1x²+x-2=0,x1=-2,x2=1探究点：二次函数与一元二次方程由上述问题，你可以得到什么结论呢？方程角度一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解抛物线y=ax2+b+c(a≠0)与x轴交点的横坐标形函数角度二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值数探究点：二次函数与一元二次方程xyO-2213-1231-3-1y=ax2+bx+cy=0是否有解ax2+bx+c=0判断Δ的情况

思考：当

a＜0时，是否同样存在公共点？动手画一画！想一想：抛物线

y=ax2+bx+c(a＞0)与

x

轴是否存在公共点取决于什么？探究点：二次函数与一元二次方程

二次函数

y=ax2+bx+c的图象与

x轴的公共点与一元二次方程

ax2+bx+c=0的根的关系二次函数

y=ax2+bx+c的图象与

x轴公共点一元二次方程

ax2+bx+c=0的根Δ=

b2

-

4ac有两个公共点有两个不相等的实数根Δ＞0有一个公共点有两个相等的实数根Δ

=0没有公共点没有实数根Δ＜0探究点：二次函数与一元二次方程例1

已知关于

x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).(1)求证：此抛物线与

x轴总有公共点；证明：对于一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)，∵Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0一定有两个根.∴抛物线y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)与

x轴总有公共点.探究点：二次函数与一元二次方程解：令

y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，∴

x－1＝0或

mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.当正整数

m=1时，x2为整数且

x1≠x2，即抛物线与

x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数.∴正整数

m的值为1.例1

已知关于

x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).(2)若此抛物线与

x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数

m的值．探究点：二次函数与一元二次方程【链接中考】1.

若二次函数

y=ax2-2x-1的图象和

x

轴有交点，则

a

的取值范围为_______________.a≥-1且

a≠0

分析：二次函数

y=ax2-2x-1

的图象和

x

轴有交点，Δ=

4+

4a≥0a≠0

a≥-1且

a≠0总结若抛物线

y=ax2+bx+c与

x轴有交点，则

b2-4ac≥0.

探究点：二次函数与一元二次方程例1

如图，以

40

m/s

的速度将小球沿与地面成

30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度

h(单位：m)与飞行时间

t(单位：s)的关系近似为

h

=

20t

-

5t2.小球的飞行高度能否达到

20m?如果能，需要多长时间？分析：

二次函数h=20t

-5t2的函数值能否取20二次方程

20=20t

-5t2的根的问题探究点：二次函数与一元二次方程解：当

h

=

20时，由函数关系

h=20t

-5t2，列得方程

20=20t

-5t2，即

t2

-

4t

+

4

=

0，解方程，得

t1

=

t2

=

2.

小球的飞行高度能否达到

20m？如果能，需要多少飞行时间？Oh/mt/s202这说明，当自变量

t

=

2时，二次函数h=20t

-5t2

的函数值为

20，即当小球飞行

2

s时，它的高度为

20

m.h

=

20t

-

5t2探究点：二次函数与一元二次方程关于例1，回答下列问题：(1)小球的飞行高度能否达到

15m？如果能，需要多少飞行时间？h

=

20t

-

5t2Oh/mt/s1513故当小球飞行

1s或

3s时，它的高度为

15m.解：令

15

=

20t

-

5t2，即

t2

-

4t

+

3

=

0，解得

t1

=

1，t2

=

3.探究点：二次函数与一元二次方程解：令

20.5

=

20t

-

5t2，即

t2

-

4t

+

4.1

=

0，因为(-4)2-

4×4.1＜0，所以方程无解.即小球的飞行高度达不到

20.5m.(2)小球的飞行高度能否达到

20.5

m？为什么？Oh/mt/s你能结合图形指出为什么小球不能达到

20.5m

的高度吗?20.5h

=

20t

-

5t2探究点：二次函数与一元二次方程(3)小球从飞出到落地要用多少时间？Oh/mt/s令

0=

20t

-

5t2，即

t2

-

4t

=

0，解得

t1

=

0，t2

=

4.故当小球飞行

0s

和

4s时，它的高度为

0

m.∴

小球从飞出到落地要用

4s时间.h

=

20t

-

5t2解：小球飞出时和落地时的高度都为

0

m，探究点：二次函数与一元二次方程2.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5

m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度

y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系

y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8

s时，离地面的高度为3.5

m．（1）足球的飞行时间是多少？【练一练】探究点：二次函数与一元二次方程解：(1)由题意，得

函数

y

=

at2

+

5t

+