参数方程讲解题目及答案

参数方程讲解题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高二数学

试标题:参数方程讲解题目及答案

一、选择题

1.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

2.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

3.参数方程（x=t,y=2t+3）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

4.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

5.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的普通方程是

A.y=x^2-2

B.y=(x-1)^2-2

C.y=x^2+2

D.y=(x+1)^2-2

6.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的普通方程是

A.x^2+y^2=1

B.x^2-y^2=1

C.y=x

D.y=-x

7.参数方程（x=t,y=2t+3）的普通方程是

A.y=2x+3

B.y=-2x+3

C.y=2x-3

D.y=-2x-3

8.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的普通方程是

A.x^2+y^2=9

B.x^2-y^2=9

C.y=x

D.y=-x

9.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的导数dy/dx是

A.2t

B.t

C.2

D.0

10.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的导数dy/dx是

A.-tanθ

B.cotθ

C.-1

D.1

11.参数方程（x=t,y=2t+3）的导数dy/dx是

A.2

B.1/2

C.-2

D.-1/2

12.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的导数dy/dx是

A.-tanθ

B.cotθ

C.-1

D.1

13.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）在t=1时的切线斜率是

A.2

B.1

C.0

D.-1

14.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）在θ=π/4时的切线斜率是

A.1

B.-1

C.0

D.√2

15.参数方程（x=t,y=2t+3）在t=0时的切线斜率是

A.2

B.1

C.0

D.-1

16.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）在θ=π/2时的切线斜率是

A.1

B.-1

C.0

D.√2

17.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的弧长元素是

A.ds=2tdt

B.ds=dt

C.ds=2tdt^2

D.ds=dt^2

18.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的弧长元素是

A.ds=dθ

B.ds=θdθ

C.ds=√2dθ

D.ds=2dθ

19.参数方程（x=t,y=2t+3）的弧长元素是

A.ds=dt

B.ds=2dt

C.ds=√5dt

D.ds=5dt

20.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的弧长元素是

A.ds=3dθ

B.ds=√2dθ

C.ds=√10dθ

D.ds=9dθ

二、填空题

21.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的普通方程是

22.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的普通方程是

23.参数方程（x=t,y=2t+3）的普通方程是

24.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的普通方程是

25.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）在t=1时的导数dy/dx是

26.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）在θ=π/4时的导数dy/dx是

27.参数方程（x=t,y=2t+3）在t=0时的导数dy/dx是

28.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）在θ=π/2时的导数dy/dx是

29.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的弧长元素是

30.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的弧长元素是

三、多选题

31.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

32.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

33.参数方程（x=t,y=2t+3）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

34.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）表示的曲线是

A.抛物线

B.直线

C.圆

D.椭圆

35.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的普通方程是

A.y=x^2-2

B.y=(x-1)^2-2

C.y=x^2+2

D.y=(x+1)^2-2

36.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的普通方程是

A.x^2+y^2=1

B.x^2-y^2=1

C.y=x

D.y=-x

37.参数方程（x=t,y=2t+3）的普通方程是

A.y=2x+3

B.y=-2x+3

C.y=2x-3

D.y=-2x-3

38.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的普通方程是

A.x^2+y^2=9

B.x^2-y^2=9

C.y=x

D.y=-x

39.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的导数dy/dx是

A.2t

B.t

C.2

D.0

40.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的导数dy/dx是

A.-tanθ

B.cotθ

C.-1

D.1

41.参数方程（x=t,y=2t+3）的导数dy/dx是

A.2

B.1/2

C.-2

D.-1/2

42.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的导数dy/dx是

A.-tanθ

B.cotθ

C.-1

D.1

43.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）在t=1时的切线斜率是

A.2

B.1

C.0

D.-1

44.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）在θ=π/4时的切线斜率是

A.1

B.-1

C.0

D.√2

45.参数方程（x=t,y=2t+3）在t=0时的切线斜率是

A.2

B.1

C.0

D.-1

46.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）在θ=π/2时的切线斜率是

A.1

B.-1

C.0

D.√2

47.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的弧长元素是

A.ds=2tdt

B.ds=dt

C.ds=2tdt^2

D.ds=dt^2

48.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的弧长元素是

A.ds=dθ

B.ds=θdθ

C.ds=√2dθ

D.ds=2dθ

49.参数方程（x=t,y=2t+3）的弧长元素是

A.ds=dt

B.ds=2dt

C.ds=√5dt

D.ds=5dt

50.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的弧长元素是

A.ds=3dθ

B.ds=√2dθ

C.ds=√10dθ

D.ds=9dθ

四、判断题

51.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）表示的曲线是抛物线。

52.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）表示的曲线是圆。

53.参数方程（x=t,y=2t+3）表示的曲线是直线。

54.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）表示的曲线是圆。

55.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的普通方程是y=(x-1)^2-2。

56.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的普通方程是x^2+y^2=1。

57.参数方程（x=t,y=2t+3）的普通方程是y=2x+3。

58.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的普通方程是x^2+y^2=9。

59.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的导数dy/dx是2t。

60.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的导数dy/dx是-tanθ。

61.参数方程（x=t,y=2t+3）的导数dy/dx是2。

62.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的导数dy/dx是-1。

63.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）在t=1时的切线斜率是2。

64.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）在θ=π/4时的切线斜率是1。

65.参数方程（x=t,y=2t+3）在t=0时的切线斜率是0。

66.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）在θ=π/2时的切线斜率是√2。

67.参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）的弧长元素是ds=2tdt。

68.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）的弧长元素是ds=√2dθ。

69.参数方程（x=t,y=2t+3）的弧长元素是ds=√5dt。

70.参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）的弧长元素是ds=3dθ。

五、问答题

71.如何将参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）转换为普通方程？

72.参数方程（x=cosθ,y=sinθ）表示的曲线是什么？请说明其特点。

73.请解释参数方程的导数dy/dx的含义，并举例说明如何计算。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）中，x是t的一次函数，y是t的二次函数，因此表示的曲线是抛物线。

2.C

解析：参数方程（x=cosθ,y=sinθ）中，x和y分别是cosθ和sinθ，满足x^2+y^2=1，因此表示的曲线是圆。

3.B

解析：参数方程（x=t,y=2t+3）中，x和y都是t的一次函数，因此表示的曲线是直线。

4.C

解析：参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）中，x和y分别是3cosθ和3sinθ，满足x^2+y^2=9，因此表示的曲线是圆。

5.B

解析：由x=2t+1得t=(x-1)/2，代入y=t^2-1得y=(x-1)^2/4-1，整理得y=(x-1)^2-2。

6.A

解析：由x=cosθ,y=sinθ得x^2+y^2=cos^2θ+sin^2θ=1。

7.A

解析：由x=t,y=2t+3得y=2x+3。

8.A

解析：由x=3cosθ,y=3sinθ得x^2+y^2=9cos^2θ+9sin^2θ=9。

9.A

解析：dy/dx=dy/dt*dt/dx=2t*1/2=t。

10.A

解析：dy/dx=dy/dθ*θ/dx=-sinθ/cosθ=-tanθ。

11.A

解析：dy/dx=dy/dt*dt/dx=2*1=2。

12.A

解析：dy/dx=dy/dθ*θ/dx=-3sinθ/3cosθ=-tanθ。

13.A

解析：当t=1时，x=3,y=0，导数dy/dx=t=1。

14.A

解析：当θ=π/4时，x=√2/2,y=√2/2，导数dy/dx=-tan(π/4)=-1。

15.A

解析：当t=0时，x=0,y=3，导数dy/dx=2。

16.A

解析：当θ=π/2时，x=0,y=3，导数dy/dx=-tan(π/2)趋向于无穷大，但题目中选项为1，应选择最接近的答案。

17.A

解析：ds=√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt=√((2)^2+(2t)^2)dt=√(4+4t^2)dt=2√(1+t^2)dt。

18.C

解析：ds=√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ=√((-sinθ)^2+(cosθ)^2)dθ=√(sin^2θ+cos^2θ)dθ=√2dθ。

19.C

解析：ds=√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt=√((1)^2+(2)^2)dt=√5dt。

20.A

解析：ds=√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ=√((-3sinθ)^2+(3cosθ)^2)dθ=3√(sin^2θ+cos^2θ)dθ=3dθ。

二、填空题

21.y=(x-1)^2-2

解析：由x=2t+1得t=(x-1)/2，代入y=t^2-1得y=(x-1)^2/4-1，整理得y=(x-1)^2-2。

22.x^2+y^2=1

解析：由x=cosθ,y=sinθ得x^2+y^2=cos^2θ+sin^2θ=1。

23.y=2x+3

解析：由x=t,y=2t+3得y=2x+3。

24.x^2+y^2=9

解析：由x=3cosθ,y=3sinθ得x^2+y^2=9cos^2θ+9sin^2θ=9。

25.t=1时，x=3,y=0，导数dy/dx=t=1。

26.θ=π/4时，x=√2/2,y=√2/2，导数dy/dx=-tan(π/4)=-1。

27.t=0时，x=0,y=3，导数dy/dx=2。

28.θ=π/2时，x=0,y=3，导数dy/dx=-tan(π/2)趋向于无穷大，但题目中选项为1，应选择最接近的答案。

29.ds=2√(1+t^2)dt。

30.ds=√2dθ。

三、多选题

31.A,C

解析：参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）中，x是t的一次函数，y是t的二次函数，因此表示的曲线是抛物线；同时满足x^2+y^2=1，因此也表示圆。

32.B,C

解析：参数方程（x=cosθ,y=sinθ）中，x和y分别是cosθ和sinθ，满足x^2+y^2=1，因此表示的曲线是圆。

33.B

解析：参数方程（x=t,y=2t+3）中，x和y都是t的一次函数，因此表示的曲线是直线。

34.B,C

解析：参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）中，x和y分别是3cosθ和3sinθ，满足x^2+y^2=9，因此表示的曲线是圆。

35.B

解析：由x=2t+1得t=(x-1)/2，代入y=t^2-1得y=(x-1)^2/4-1，整理得y=(x-1)^2-2。

36.A

解析：由x=cosθ,y=sinθ得x^2+y^2=cos^2θ+sin^2θ=1。

37.A

解析：由x=t,y=2t+3得y=2x+3。

38.A

解析：由x=3cosθ,y=3sinθ得x^2+y^2=9cos^2θ+9sin^2θ=9。

39.A

解析：dy/dx=dy/dt*dt/dx=2t*1/2=t。

40.A

解析：dy/dx=dy/dθ*θ/dx=-sinθ/cosθ=-tanθ。

41.A

解析：dy/dx=dy/dt*dt/dx=2*1=2。

42.A

解析：dy/dx=dy/dθ*θ/dx=-3sinθ/3cosθ=-tanθ。

43.A

解析：当t=1时，x=3,y=0，导数dy/dx=t=1。

44.A

解析：当θ=π/4时，x=√2/2,y=√2/2，导数dy/dx=-tan(π/4)=-1。

45.A

解析：当t=0时，x=0,y=3，导数dy/dx=2。

46.A

解析：当θ=π/2时，x=0,y=3，导数dy/dx=-tan(π/2)趋向于无穷大，但题目中选项为1，应选择最接近的答案。

47.A

解析：ds=2√(1+t^2)dt。

48.C

解析：ds=√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ=√((-sinθ)^2+(cosθ)^2)dθ=√2dθ。

49.C

解析：ds=√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt=√((1)^2+(2)^2)dt=√5dt。

50.A

解析：ds=√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)dθ=√((-3sinθ)^2+(3cosθ)^2)dθ=3√(sin^2θ+cos^2θ)dθ=3dθ。

四、判断题

51.√

解析：参数方程（x=2t+1,y=t^2-1）中，x是t的一次函数，y是t的二次函数，因此表示的曲线是抛物线。

52.√

解析：参数方程（x=cosθ,y=sinθ）中，x和y分别是cosθ和sinθ，满足x^2+y^2=1，因此表示的曲线是圆。

53.√

解析：参数方程（x=t,y=2t+3）中，x和y都是t的一次函数，因此表示的曲线是直线。

54.√

解析：参数方程（x=3cosθ,y=3sinθ）中，x和y分别是3cosθ和3sinθ，满足x^2+y^2=9，因此表示的曲线是圆。

55.√

解析：由x=2t+1得t=(x-1)/2，代入y=t^2-1得y=(x-1)^2/4-1，整理得y=(x-1)^2-2。

56.√

解析：由x=cosθ,y=sinθ得x^2+y^2=cos^2θ+sin^2θ=1。

57.√

解析：由x=t,y=2t+3得y=2x+3。

58.√

解析：由x=3cosθ,y=3sinθ得x^2+y^2=9cos^2θ+9sin^2θ=9。

59.√

解析：dy/dx=dy/dt*dt/dx=2t*1/2=t。

60.√

解析：dy/dx=dy/dθ*θ/dx=-sinθ/cos