2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第一章1.3等式性质与不等式性质（附答案）

§1.3等式性质与不等式性质分值：100分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，则下列结论正确的是()A.a>b B.a<bC.a≥b D.a，b的大小关系不确定2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是()A.1a<1b B.2aC.a2>b2 D.|a|>|b|3.已知a，b，x均为实数，下列不等式恒成立的是()A.若a<b，则a2026<b2026B.若a<b，则2026a<C.若ax2026<bx2026，则a<bD.若a<b，则ax2026<bx20264.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是()A.B>C>A>D B.B>C>D>AC.C>B>A>D D.C>B>D>A5.已知-3<a<-2，3<b<4，则a2b的取值范围为(A.(1，3) B.4C.23，34 6.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是()A.bc>acB.a2>c2C.2ac-2bc<a2-b2D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知c>b>a，则下列结论正确的是()A.c+b>2a B.1c-C.bc-b>ac-a 8.已知实数x，y满足-3<x+2y<2，-1<2x-y<4，则()A.-1<x<2B.-2<y<1C.x+y的取值范围是(-3，3)D.x-y的取值范围是(-1，3)三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知0<β<α<π2，则α-β的取值范围是10.若a，b同时满足下列两个条件：①a+b>ab；②1a+b请写出一组a，b的值.

四、解答题(共28分)11.(13分)证明下列不等式：(1)已知a>b>c>d，求证：1a-d<1b-(2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea-c>eb-12.(15分)已知实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a的取值范围；(7分)(2)求3a-2b的取值范围.(8分)每小题5分，共20分13.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b+c≤3a，则ca的取值范围为(A.(1，+∞) B.(1，3) C.(0，2) D.(0，3)14.某超市A，B两种蔬菜连续n天的价格分别为a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M={m|am<bm，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于34n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B，记作：A<B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是(A.若A<B，B<C，则A<C B.若A<B，B<C同时不成立，则A<C不成立C.A<B，B<A可同时不成立 D.A<B，B<A可同时成立15.已知a>b>0，且ab=1，若把a4b，2-(a+b)，b4aA.一定是aB.一定是2-(a+b)C.一定是bD.不能确定，与a，b的值有关16.(2024·九省联考)以maxM表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，则max{b-a，c-b，1-c}的最小值为.

答案精析1.B2.B[取a=1，b=-2，满足a>b，显然有1a>1b，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，指数函数y=2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.]3.C[当a=-2，b=1时，(-2)2026>12026，A错误；当a=0时，2026a没意义，B由ax2026<bx2026，知x2026>0，所以a<b，C正确；当x=0时，ax2026<bx2026不成立，D错误.]4.D[用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄，则A>0，B>0，C>0，D>0.则A+C=B+D，①C+D>A+B，②B>A+D.③①+②得C>B，①+③得C>2D，②+③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，由①得C-B=D-A，∵C>B，∴C-B>0，∴D-A>0，∴D>A，综上，C>B>D>A.]5.A[因为-3<a<-2，所以4<a2<9，而3<b<4，即14<1b<故a2b的取值范围为(1，3)6.B[因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0，c<0，A选项，bc-ac=(b-a)c>0，故bc>ac，A正确；B选项，不妨设a=1，b=0，c=-1，此时满足a+b+c=0且a>b>c，但a2=c2，B错误；C选项，因为a+b+c=0且a>b>c，所以a-b>0，a+b-2c=a-c+b-c>0，a2-b2+2bc-2ac=(a+b)(a-b)+2c(b-a)=(a-b)(a+b-2c)>0，所以2ac-2bc<a2-b2，C正确；D选项，2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2=2(a-b)2+2(b-c)2-[(a-b)+(b-c)]2=2(a-b)2+2(b-c)2-(a-b)2-2(a-b)(b-c)-(b-c)2=(a-b)2+(b-c)2-2(a-b)(b-c)=[(a-b)-(b-c)]2=(a+c-2b)2，因为a+b+c=0，所以2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2=(-b-2b)2=9b2≥0，故(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2，D正确.]7.AB[对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确；对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以1c-b>1c对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1，满足c>b>a，此时bc-b=-2-1+2=-2，ac-a=-3对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时，ab=2，ca=1-2=-12，此时ab>c8.ABD[因为-3<x+2y<2，-1<2x-y<4，所以-2<4x-2y<8，则-5<5x<10，即-1<x<2，故A正确；又-4<-2x-4y<6，-1<2x-y<4，所以-5<-5y<10，即-2<y<1，故B正确；x+y=3(x+2y)+(2x-y)5x-y=-(x+2y)+3(2x-y)5的取值范围是(9.0解析∵0<β<π2∴-π2<-β<0又0<α<π2，∴-π2<α-β<又β<α，∴α-β>0，即0<α-β<π210.a=-1，b=2(答案不唯一)解析容易发现，若将①式转化为②式，需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号，显然应使a+b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|，可取a=-1，b=2；当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|，可取a=2，b=-1.综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.11.证明(1)∵a>b>c>d，∴a>b，-d>-c，∴a-d>b-c>0，则1a-d(2)∵a>b>0，c<d<0，e<0，∴-c>-d>0，∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，则ea-c-eb-d=e∴ea-c12.解(1)a=12[(a+b)+(a-b)]由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，得-4≤(a+b)+(a-b)≤6，∴-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3即-2≤a≤3，故实数a的取值范围为[-2，3].(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，则m+n∴3a-2b=12(a+b)+52(a-b∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.∴-32≤12(a+b)≤-52≤52(a-b)≤∴-4≤3a-2b≤11，即3a-2b的取值范围为[-4，11].13.C[由已知及三角形三边关系得a所以1<则1<两式相加得0<2ca所以0<ca<2.14.C[对于A，采用特例法：若a1=a2=…=a7=1，a8=4；b1=b2=…=b7=2，b8=3；c1=c2=…=c6=3，c7=1，c8=4，满足A<B，B<C，但A<C不成立，故A错误；对于B，若a1=a2=…=a6=1，a7=a8=2；b1=b2=…=b6=2，b7=b8=1；c1=c2=…=c6=1.5，c7=c8=3，此时A<B，B<C同时不成立，但A<C成立，故B错误；对于C，例如蔬菜A连续10天价格为1，2，3，4，…，10，蔬菜B连续10天价格分别为10，9，…，1时，M={1，2，3，4，5}，则M中元素个数为5，34n=34×10=152，此时A同理，B<A也不成立，即A<B，B<A可同时不成立，故C正确；对于D，A<B，B<A显然不可能同时成立，故D错误.]15.B[因为a>b>0，且ab=1，所以a>1，0<b<1，故a4b>0，2-(a+b)>0，b2-(a+b)÷1a·4a=2-(a+b)·a·4a=2a-因为a-b>0，a>1，所以2a-b·a>1，所以2-(a+b)÷1a·4a>1，故2-(a+b)>12-(a+b)÷1b·4b=2-(a+b)·b·4b=2b-因为b-a<0，0<b<1，所以0<2b-a·b<1，所以0<2-(a+b)÷1b·4故2-(a+b)<1b·4b综上，b4a<2-(a+b)<a16.解析令b-a=m，c-b=n，1-c=p，其中m，n，p>0，所以b若b≥2a，则1-n-p≥2(1-m-n-p)，故2m+n+p≥1，令M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}，因此2M≥2m,M