江西省上饶市2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知costan0，则可能为（）

A．第一或二象限角B．第二或三象限角

C．第一或三象限角D．第三或四象限角

2．“aR且复数ai1aiR”是“a1”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

3．已知向量ax,1，by,x1，若a∥b，则y的最小值为（）

1111

A．B．C．D．

4242

4．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）

A．ysinxB．ysin2x

C．ysinxD．ytan2x

3

5．某圆锥的体积为π，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（）

3

ππ2π

A．B．C．D．π

323

6．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支、把十天干

和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对酉，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，

甲对戌、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2025年是乙巳年，那

么中华人民共和国建国100周年即2049年是（）

A．戊巳年B．己巳年C．戊午年D．己辰年

ππ3x

7．已知定义在,上的函数fxxtanx3，则不等式fx1f6的解集是（）

222

2π2π22

A．,1B．,2C．,πD．,

323233

ππ2xπ

8．已知函数f(x)cosxsinx2cosa的最大值为2，若f(x)在区间0,上有2个

3624

零点，则的取值范围为（）

2531172222312234

A．,B．,C．,D．,

33333333

二、多选题

5

9．已知0,且sincos，则下列结论正确的是（）

5

2

A．sincosB．tan52

5

1cos22

C．tanD．14

2sin2

π

10．函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)的部分图象如图所示，则（）

2

4π

A．f(x)的图象关于直线x对称

3

π

B．f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)3cos2x

3

π5π11π

C．fx的单调递增区间为kπ,kπ(kZ)

121212

310π

D．若方程f(x)在(0,m)上有且只有6个根，则m3π,

23

11．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC,A1AABBC2，则（）

π

A．异面直线AB与B1C1所成的角为

14

B．若点N在线段A1C上运动，则BNB1N的最小值为23

C．点P在侧面BCC1B1上运动，点M在棱AB上运动，若直线C1M,AP是共面直线，则点P的轨迹长度

为22

217

D．若G,H分别为A1B1,CC1的中点，则平面BGH截三棱柱ABCA1B1C1所得截面的周长为25

3

三、填空题

ππ

12．计算sincos．

1212

13．已知复数zii2i3i2025i2026，则z．

14．如图，三棱锥PABC的底面ABC的斜二测直观图为ABC，已知PB底面ABC，PB5，

ADDC，AOOBOD1，则三棱锥PABC外接球的体积V．

四、解答题

2π

15．已知平面向量a，b满足：a3，b2，a,b．

3

(1)求ab；

(2)当akbab时，求实数k的值．

16．已知角α的终边经过点P3,4．

(1)求sin，cos，tan的值；

3π

sintan2πsinπ

(2)求2的值；

cos

12

(3)已知α、β是锐角，且满足sin，求sin2的值．

13

17．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，

讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导

意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中

的酒精含量阈值如表所示.

驾驶行为类别阈值mg/100mL

饮酒驾车20,80

醉酒驾车80,

经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所

示的酒精含量fx（单位：mg/100mL）随时间x（单位：h）变化的函数模型可表示为

40sinx13,0x2

fx3，根据上述条件：

0.5x

90e14,x2

(1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

(2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计；参考数据：ln152.71，ln303.40）

18．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB2AD2DC，将ACD沿边AC翻折，使点D翻折到点P，

连接PB，得到三棱锥PABC，如图2，其中PB2AP.

(1)证明：BC平面PAC.

(2)若AD6，求三棱锥PABC的体积.

(3)求二面角PABC的正切值.

19．定义：函数fxsinxcosx为向量a,的“跟随函数”，向量a,为函数

fxsinxcosx的“原向量”．

2π

(1)设函数fx2cosx，gx2sinxtcosx的“原向量”分别为m，n，若m，n的夹角为锐角，

3

求实数t的取值范围．

(2)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a3，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向

量i3,1的“跟随函数”为hx，且hA2．

（ⅰ）若sinBsinC1，求AD的长；

（ⅱ）求AD长度的取值范围．

2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题参考答案

题号12345678910

答案ABABDBADABACD

题号11

答案BCD

1．A

cos0cos0

【详解】因为costan0，所以或，

tan0tan0

所以可能为第一象限角或第二象限角．

故选：A．

2．B

222

【详解】ai1aia(1a)iai2a(1a)i，虚部1a20，解得a1，

所以“a1”是“a1”必要不充分条件，

故选：B.

3．A

【详解】若a∥b，则x2xy，

11

当x时，y有最小值为.

24

故选：A

4．B

【详解】A中fxsinxsinxfx，

故ysinx是最小正周期为π的偶函数，不符合题意，A错误；

2π

B中ysin2x的最小正周期Tπ，且gxsin2xsin2xgx，

2

故ysin2x是最小正周期为π的奇函数，B正确；

C中ysinx是偶函数，但不是周期函数，其图象大致如下：

不符合题意，C错误；

π

D中ytan2x是周期为的奇函数，D错误.

2

故选：B.

5．D

132

【详解】设圆锥的高为h，则π12hπ，解得h3，母线长为12+3=2，

33()

2π

所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为π．

2

故选：D．

6．B

【详解】由题知天干以10为周期，地支以12为一个周期，2025年是乙巳年，

而20492025242104212，

地支恰好经过两个周期，天干经过两周期多四年，

所以2049年的天干为己，地支为巳.

故选：B.

7．A

【详解】∵设gxfx3x3tanx，gxgx，所以gxfx3为奇函数.

ππππ

易知yx3,ytanx在区间,上单调递增，所以gx在区间,上单调递增.

2222

xx

因为不等式fx1f6，即得fx13f30，

22

xxx

所以gx1g0，所以gx1gg，

222

ππππxππ

因为函数fx的定义域为,，所以x1,且,，

2222222

ππ

所以x1,1，

22

ππ

又函数gx在区间,上单调递增，

22

xx2π

∴由gx1g得，x1，解得x,1.

2232

故选：A.

8．D

ππ2x

【详解】f(x)cosxsinx2cosa

362

13311

cosxsinxsinxcosx21cosxa

22222

π

3sinxcosxa12sinxa1，

6

π

所以当sinx1时，f(x)取到最大值2a12，

6

π

解得a1，所以f(x)2sinx.

6

πππππ

令tx,x0,,t,，

64646

π

f(x)在区间0,上有2个零点，

4

πππ

即f(t)2sint在区间,上有2个零点，

646

ππ2234

2π,3π，解得,.

4633

故选：D

9．AB

512

【详解】由sincos，得12sincos，所以sincos，A正确；

555

因为0,，所以sin0，cos0，则,，

2

sincostan21

而sincos，得出tan2或tan，

sin2cos2tan2152

15255

若tan，则sin,cos，与sincos矛盾.

2555

故tan2，故C错误；

tan5tan2，B正确；

cos223cos22sin232tan211

，D错误．

sin2sin2tan24

故选：AB

10．ACD

1

sin,①

35π2

【详解】由图可知，A3,且经过(0,),(,0)，故可得，

2125π

sin()0，②

12

ππ5ππ212

由①，结合||，则得，代入②，化简得kπ,kZ，即k,kZ，

2612655

Tπ5π12π

由图知，原函数的最小正周期T满足，解得0，故2，即f(x)3sin(2x).

21256

4π4π8ππ5π4π

对于A，当x时，因f()3sin()3sin()3，故直线x是f(x)的一条对称轴，

333623

故A正确；

π

对于B，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数

3

ππππ

yfx3sin2x3cos2x，故B错误；

3363

ππππ

对于C，因f(x)3sin[2(x)+]3sin(2x)，

121263

ππ3π5π11π

由2kπ2x2kπ,kZ，可得x[kπ,kπ],kZ，

2321212

π5π11π

即fx的单调递增区间为[kπ,kπ],kZ，故C正确；

121212

3π1πππ

对于D，由f(x)可得sin(2x)，设t2x，因x(0,m)，则t(,2m)，

262666

1ππ

依题意函数ysint与y在(,2m)上必有6个交点，作出函数的图象如下：

266

37ππ41π10π

由图知，需使2m，解得3πm，故D正确.

6663

故选：ACD.

11．BCD

【详解】

在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1BC，

、

又ABAA1A,ABAA1平面AA1B1BBC平面AA1B1B，

又A1B平面AA1B1B，BCA1B，

π

又BC//BC，BCAB，异面直线AB与B1C1所成的角为，故A错误；

1111112

平面BA1C沿A1C展开到平面B1A1C中，如图，

∵ABBC,A1AABBC2，

∴B1CA1B22，A1CA1B23，故展开图为矩形，

BNB1NBB123（当N在BB1连线上时取等），故B正确；

点P在侧面BCC1B1上运动，点M在棱AB上运动，若直线C1M,AP是共面直线，

所以点P的轨迹为平面ABC1与侧面BCC1B1的交线BC1，长度为22，故C正确；

G,H分别为A1B1,CC1的中点，在平面BCC1B1中，延长BH交B1C1于I，连接GI交A1C1于J，连接HJ,GJ，

故四边形BHJG为所求截面，如图，

∵H为CC1的中点，∴C1为B1I的中点，

117

∵G为A1B1的中点，∴J为A1B1I的重心，GJGI，

33

2

2217

22，

HJC1HC1J1

33

22，22，

BHBCCH5BGBB1B1G5

217

所以截面周长为25，故D正确，

3

故选：BCD.

1

12．/0.25

4

ππ1π111

【详解】sincossin.

121226224

1

故答案为：.

4

13．1i

【详解】因为i1i；i21；i3i；i41，

所以ii2i3i40，

23202520262342

那么ziiiii506iiiiii1i，所以z1i．

故答案为：1i.

125125

14．/

66

【详解】

1

由题意得OD∥BC，且ODBC．所以由斜二测画法得，在原图ABC中，ABC，AB2，

22

BC4，

222

ABBCPB543125

所以三棱锥PABC外接球的半径r，则Vr．

2236

125

故答案为：.

6

15．(1)ab19

12

(2)k

7

2π2π1

【详解】（1）因为a3，b2，a,b，则ababcos323，

332

22

22

又因为ababa2abb96419，所以ab19．

（2）因为akbab，则akbab0，

22

可得ak1abkb0，

12

即9k134k0，解得k.

7

434

16．(1)sin，cos，tan

553

8

(2)

3

16

(3)

65

434

【详解】（1）由三角函数的定义：sin，cos，tan

553

(cos)(tan)sinsinsin8

（2）原式2tan

coscos3

πππ

（3）因为α，0,，所以,

222

12π

因为sin0，所以,0，

132

5

所以cos1sin2

13

所以sin2sinsincoscossin

1235416

13513565

17．(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升.

(2)6小时

π2πππ3

【详解】（1）当0x2时，0x，故当x时，即x时，fx4011353；

33322max

当x2时，fx90e0.5x14在2,上单调递减，

90

故fxf21453.

maxe

3

综上，fxf53，

max2

所以，喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是53毫克/百毫升.

（2）当fx20时可以驾车，且xN*，

π

因f140sin132031320，故x2，

3

11

令90e0.5x1420，得e0.5x，即0.5xln，得x2ln155.42

1515

因xN*，则x的最小值为6，

故喝1瓶啤酒后6小时才可以驾车.

18．(1)证明见解析

(2)183

23

(3)

3

【详解】（1）

如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点F，连接CF，

AB//CD，AB2CD，AFCD，AF//CD，

四边形AFCD是平行四边形，CFAD，

AB2AD，AB2CF，BCAC，

PB2AP，且PCBCPA，所以PC2BC22PA2PB2，

BCPC，PC平面PAC,AC平面PAC，且PCACC，

BC平面PAC.

（2）如图2，取AC的中点G，连接PG，

由（1）可知BC平面PAC，且BC平面ABC，则平面PAC平面ABC，

PAPC，且G为线段AC的中点，PGAC，

平面PAC平面ABCAC，PG平面PAC，PG平面ABC，

AD6，AB12，BC6，

ACAB2BC21226263，CG33，PG62(33)23，

111

三棱锥PABC的体积VSPG6633183.

3ABC32

（3）如图2，过C作CHAB，垂足为H，取AH的中点E，连接EG,PE，

则EG//CH，从而EGAB，

由（2）知PG平面ABC，AB平面ABC，PGAB，

又EGPGG，EG平面PEG，PG平面PEG，AB平面PEG，

PE平面PEG，ABPE，

PEG为二面角PABC的平面角，

设BC2，AB4，PC2，AC23，CG3，

ACBC23213

则CH3,EGCH，

AB422

PG23

又PGPC2CG222(3)21，tanPEG.

EG3

2323

19．(1),,23

33

33

(2)（ⅰ）AD；（ⅱ）0,．

62

2π2π2π

【详解】（1）因为fx2cosx2cosxcos2sinxsin3sinxcosx，

333

所以m3,1．由gx2sinxtcosx，得n2,t．

因为m，n的夹角为锐角，所以mn0，且m，n不同向，

23t023

则，解得t23且t，

3t203

2323

故实数t的取值范围为,,23．

33

（2）因为向量i3,1的“跟随函数”为hx，

31π

所以hx3sinxcosx2sinxcosx2sinx．

226

πππ7π

又hA2，所以sinA1，因为A0,π，则A,，

6666

πππ

所以A，所以A．