专题2.3 一元二次方程及其应用-中考数学重难点突破训练

专题2.3一元二次方程及其应用—中考数学重难点突破训练一、选择题1．下列选项中是一元二次方程的是（）．A．x2−3x−1=0 B．1x2=2 2．把一元二次方程x+11−xA．−x2+1=2x B．−x2+2x+1=03．若关于x的一元二次方程ax2−bx=cA．1 B．−12025 C．−2025 4．根据表格中的信息，估计一元二次方程x2x−2−1012x5−1−5−7−7A．−2<x<−1 B．−1<x<0 C．0<x<1 D．1<x<25．已知一元二次方程x2A．p2−4q≤0 C．2p2>6．定义新运算：a∗b=A．-1 B．-3 C．0 D．37．若一元二次方程的根为x=A．2x2+3C．−2x2+38．已知关于x的一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定9．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为()A．1+x2=100 B．x2=100 10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步?”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步?”设长为x步，则下列方程正确的是（）A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864二、填空题11．若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的m的值12．若关于x的一元二次方程m+1x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m13．若x1，x2是一元二次方程；x2−2026x−2027=0的两个实数根，则.x14．若∠A为锐角，且满足sin2A+15．随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为．三、解答题16．解方程（1）x（2）x17．（1）用三种方法解方程：x①公式法：②配方法：③因式分解法：（2）解方程：x(x-7)=8(7-x).18．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法.如：解方程x(解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2解得x1=−2+10我们称小明这种解法为“平均数法”.（1）下面是小明用“平均数法”解方程(x+5解：原方程可变形，得[(x+a)−b∴(x+a)2=5+上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为，，，.（2）请用“平均数法”解方程：(x−519．阅读下面材料，然后解答问题：解方程：(x分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把x2解：设x2−3=m，则原方程换元为(m−2)(m+1)=0，解得：m1=2∴x2−3=2解得x1=5，x2=−请参考例题解法，解下列方程：（1）x4（2）x220．关于x的一元二次方程kx（1）求k的取值范围；（2）当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为x1、x2，求21．阅读理解材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2根据材料.求nm解：由题知m，n是方程x2根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=1，mn=−1，∴n解决以下问题：（1）方程x2−4x−3=0的两个实数根为x1，x2，则x1（2）已知实数m，n满足m2−3m+1=0，n2−3n+1=0，且（3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=1−3q22．如图，△ABC中，∠B=9（1）t为何值时，PQ的长度等于42（2）线段PQ能否将△ABC分成面积3：5的两部分?若能，求出运动时间；若不能说明理由．23．根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200米，BC=300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米．素材2该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．问题解决任务1解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2解决果园种植的预期利润问题．（净利润=草莓销售的总利润−路面造价费用−果园承包费用−新苗购置费用−其余费用）（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．24．综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．设计合适的盒子素材1我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为30cm，20cm．（纸板的厚度忽略不计）．素材2把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是264cm素材3如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是252cm问题解决任务1根据素材2，求出该长方体盒子的高．任务2根据素材3，求出该长方体盒子的高．任务3已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？25．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011)2③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当a≠0时，a0=1．如：3721=3×10【解决问题】（1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：4×7（2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制）例如110112写出110112（3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．26．如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加2cm/s；然后在水平地面继续滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小0.8cm/s．速度v(cm/s)与时间t(s)的关系如图2中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程=平均速度D×时间t,v=v0+vt（1）若n=8时，求解下面问题．①求m的值；②写出滚动的路程s（单位：cm）关于滚动时间t（单位：s）的函数解析式．（2）若小球滚动最大的路程350cm，则小球在水平地面上滚动了多长时间？

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A．【分析】根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断．2．【答案】D【解析】【解答】解：x+11−x∴1−x∴x故答案为：D．

【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，一般式的特点是：等号左边是一个关于未知数的二次整式，等号右边是0，据此将方程左边利用平方差公式展开，然后将方程右边的项移到方程的左边，并将左边的多项式按x作降幂排列即可得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax∴20252∴a−b2025=∴x=12025是方程故选：D．【分析】先由一元二次方程根的定义把x=2025代入方程ax2−bx=cac≠0中得到等式4．【答案】A【解析】【解答】解：由表格数据可知当x=−2时，x2当x=−1时，x2因此x2−3x−5=0的一个解的取值范围是故答案为：A．【分析】根据表格数据先求出当x=−2时，x2−3x−5=5的值大于0，再求出当x=−1时，5．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵一元二次方程x2∴Δ∴此选项不符合题意；B、由A可得：p2当4q>0时，则p4当4q<0时，则p4∴p4∴此选项不符合题意；C、∵16q由A可得：p2∴2p∴16q∵2q则2∴此选项符合题意；D、∵p∴p∴p∵3q−1∴p2∴此选项不符合题意；故答案为：C．

【分析】A、由一元二次方程的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解；

B、由题意，分两种情况：当4q>0时，当4q<0时，并结合A的结论即可判断求解；

C、由幂的乘方的运算，并结合A的结论和不等式的性质即可判断求解；

D、结合A的结论和不等式的性质即可判断求解.6．【答案】B【解析】【解答】解：由已知可得x2+4×x×1+1=m，

整理得，x2+4x+（1−m）=0，

∵方程x*1=m有两个相等的实数根，

∴16-4（1-m）=0，

∴m=-3.

故答案为：B.7．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得a=-2，b=3，c=1，

∴一元二次方程为−2x2+3x+1=08．【答案】A【解析】【解答】解：由数轴可知，m>0，n<0且m<n，则∵△=m2n2∴△＞0，故选：A．【分析】根据数轴上点的位置关系可得m+n<0，再根据二次方程判别式∆=b9．【答案】A【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人

由题意可得：1+x故答案为：A【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意建立方程即可求出答案.10．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可列方程为x(x−12)=864．故答案为：A.【分析】设长为x步，则宽为(x−12)步，利用矩形面积公式列方程解答即可．11．【答案】0（答案不唯一，m<16即可）【解析】【解答】解：根据题意得Δ=−82所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．故答案为：0．

【分析】先根据判别式的意义得到Δ=12．【答案】m<0且m≠−1【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程m+1x∴m+1≠0，且Δ=∴m<0且m≠−1．故答案为：m<0且m≠−1【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式∆=b13．【答案】2026【解析】【解答】解：由题意可得：

x1故答案为：2026【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.14．【答案】30°【解析】【解答】解：将原等式移项得：sin方程两边同乘2得：2si因式分解得：(2sin解得sinA=12因为∠A为锐角，满足0°<∠A<90°，当sinA=1时，∠A=90°当sinA=12时，

故答案为：30°.【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到sinA=15．【答案】30【解析】【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为x，根据题意得2001−x解得x=0.3或x=1.7，由于x是平均每次降价的百分率，所以0<x<1，故x=1.7舍去，即x=0.3=30%故答案为：30%。

【分析】设该种药品平均每场降价的百分率为x，根据原价为200元可以表示出两次降价后的价格2001−x2，结合现在仅卖9816．【答案】（1）解：x2−4x−2=0

x2−4x=2

x2−4x+4=2+4

x+22=6（2）解：x2−5x=0

xx−5=0

∴【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.

（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.17．【答案】（1）解：①a=1，b=-4，c=3，△=∵x=②将方程变形得x∴x2∴x−2=±1.∴③原方程可化为(x-3)(x-1)=0，∴（2）解：x(x−7)=8(7−x)

x(x−7)−8(7−x)=0

x(x−7)+8(x−7)=0

(x−7)x+8=0【解析】【分析】

（1）①利用公式法求解一元二次方程时，先分别列出a、b、c的值，再利用根的判别式进行判定，若∆⩾0，再利用求根公式写出根，否则方程无解；

②用配方法求解一元二次方程时，先把常数项移到等号右边，若二次项系数为1，则直接给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，从而化等号左边为完全平方式，再直接开平方即可；

③若方程的右边为0且符合x2+a+b18．【答案】（1）7；2；-4；-10（2）解：原方程可变形，得[(x+1)-6][(x+1)+6]=12∴(x+1)2-62=12，∴(x+1)2=48.解得x1=-1+43，x2=-1-4【解析】【解答】1）由题意，得a=125+9=7，b=7-5=2，

由此原方程可变形，得[（x+7）-2][（x+7）+2]=5，

∴（x+7）2-22=5，

∴（x+7）2=5+22，

解得x1=-4，x2=-10．

∵c＞d，

∴c=-4，d=-10．

故答案为：7，2，-4，-10.

【分析】（1）先根据“平均数法”确定a，b的值，再根据“直接开平方法”解方程，从而确定c，d的值即可；19．【答案】（1）解：设x2=t,∴t=3或t=−1(舍去)，∴解得x（2）解：设x2+2x原方程转化为：a∴解得：a=−1(舍)或a=3,∴∴∴x+1=±解得：x1=−1−10,x2=−1+10x【解析】【分析】(1)设x2=t,把原方程化为(2)设x2+2x=a,a⩾0,把原方程化为a20．【答案】（1）解：∵一元二次方程kx∴=4=−20k+9≥0，解得：k≤9∵k≠0∴k的取值范围为k≤920（2）解：∵k≤920且∴k取得最大整数值为−1，∴原方程为x2∴xx2∴xx===−1+5+1+4=9【解析】【分析】（1）利用已知一元二次方程有实数解可得到b2-4ac≥0且k≠0，由此可得到关于k的不等式组，求出不等式的解集即可.（2）由（1）可得到k的最大整数值，可得到原方程，再由一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2、x1x2的值，结合已知可得到x22−521．【答案】（1）4；-3（2）解：∵m2−3m+1=0，n∴m、n可看作方程x2∴m+n=3，mn=1，∴(1∴1（3）解：∵2q∴q≠0，∴(1∵p即p2∴p、1q可看作方程x∴p+1q=3∴pq+p+1【解析】【解答】

解：（1）∵a=1，b=-4，c=-3

∴x1+x2=−ba=4，x1x2=ca=−3；

故答案为：4；-3；

【分析】(1)根据根与系数的公式：x1+x2=−ba，x22．【答案】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于42cm，

∵点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒

∴AP=tcm，BQ=2tcm，

∴BP=AB-AP=(6-t)cm，

当PQ=42时，

在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2

∴(6−t)2+(2t)2=(42)2，

整理得：5t2-12t+4=0，

解得：t（2）解：线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分；

理由如下：

设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分

依题意得：△ABC的面积=12×6×8=24cm2，BP=AB-AP=(6-y)cm，BQ=2ycm，

①当△BPQ的面积为△ABC面积的38时，

依题意得：12(6−y)×2y=24×38，

整理得：y2-6y+9=0，

解得：y=3；

②当△BPQ的面积为△ABC面积的58时，

依题意得：12(6−y)×2y=24×【解析】【分析】(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；

(2)分△BPQ的面积为△ABC面积的38和△BPQ的面积为△ABC面积的523．【答案】解：（1）∵横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米，

∴10≤2x≤24

解得：5≤x≤12；（2）根据题意可列方程得：

300−2x200−4x整理得：x2解得：x1=10，由（1）得：5≤x≤12，∴x=190不符合题意，应舍去，

∴x=10，∴路面设置的宽度符合要求；答：路面设置的宽度符合要求；（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，根据题意可列方程得：100整理得：x解得：x1=5由（1）得：5≤x≤12，∴x=195不符合题意，应舍去，

∴x=5，∴假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．【解析】【分析】（1）由“横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米”可列关于x的不等式，解这个不等式即可求得x的取值范围；（2）根据种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解方程求出（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）中x的取值范围即可求解．24．【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，则30−2x20−2x整理得：x2解得：x1=4，经检验：x=21不符合题意舍去，∴x=4，∴该长方体盒子的高为4cm；任务二：设剪去的正方形的边长为xcm，则20−2x15−x整理得：x2解得：x1=1，经检验：x=24不符合题意舍去，∴x=1，∴该长方体盒子的高为1cm；任务三：设每个有盖盒子应降价y元，则每个有盖盒子的售价为28−y元，则20−15×10+整理得：y2解得：y1=2，答：每个有盖盒子应降价2元或8元.【解析】