2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题5 一次函数

2026年中考数学三轮复习考点突破专题5一次函数（2）一、中考中一次函数与几何1．定义：我们把一次函数y=kx+bk≠0的图象与正比例函数y=−x的图象的交点称为一次函数y=kx+bk≠0图象的“亮点”．例如：求一次函数y=−2x−1图象的“亮点”时，联立方程得y=−2x−1y=−x，解得x=−1y=1，则一次函数（1）一次函数y=2x−3图象的“亮点”为；（2）一次函数y=mx+n图象的“亮点”为2,n+1，求m，n的值；（3）若一次函数y=kx+4k≠0的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数y=kx+4的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，S2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=43x+83（1）求直线CD的解析式.（2）点P在第三象限的直线AB上，PQ∥x轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围.（3）在(2)的条件下，点F在第四象限的△PQE内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG(点F的对应点为G)，旋转角等于∠AED，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，∠PFE=90°，EF=PF，△FGQ的面积为8，求3．在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4文x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为(1（1）求直线BC的函数表达式.（2）点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的32时，求点D（3）点E坐标为(0,−2)，连接CE，点P为直线AB上一点，若4．【模型建立】如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数y=−x+10的图象与x轴、y轴分别交于B,A两点．【模型探索】（1）如图2，求证：△AOB是等腰直角三角形．（2）如图3，M,N是直线y=kx上的两动点，连接BM,AN．若BM⊥MN,BM=6，求AN的长的最小值．【模型应用】（3）如图4，经过点B的直线y=12x−5与y轴交于点C，H为线段OB上的一点，作射线CH．若∠BCH=45°5．定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：1,1，−2，2，3,−（1）求反比例函数.y=2（2）A、B是一次函数y=12x+m（3）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，ab<0)的图象经过点−b,c,且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为二、中考中一次函数与图形变换6．如图，在平面直角坐标系中，点A(−3,1)，点B(−1,1A．−3≤d≤−1 B．1≤d≤3 C．−4≤d≤−2 D．2≤d≤47．将直线y=3x−1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是（写出一个即可）．8．将一次函数y=4x−5向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为．9．如图，直线l1:y=−x+6经过点A(1,a)，将l1绕A点顺时针旋转，旋转角为α(45°<α<135°)，得到直线l2．点B(m,n)10．已知点A是正比例函数y=kx图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移kk>0个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则k=11．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A(m，n)为平面直角坐标系内一点.（1）若将点A(m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A的平移距离AA'的长度；（2）将直线l：y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A(m，n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离AA（3）将抛物线y1=x2−4x沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线y12．若函数“Y”图象上存在一点向左平移2个单位长度，正好落在函数“X”图象上，则称函数“Y”是函数“X”的“遥感函数”，这个点称为函数“Y”关于函数“X”的“遥感点”．（1）点2,p是函数“Y”：y=x+1关于函数“X”：y=−x+b的“遥感点”，求函数“X”的解析式．（2）函数“Y”：y=kx+b是函数“X1”：y=x+m的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“Y”：y=kx+b关于函数“X2”：y=bx有两个不同的“遥感点”，设它们为A，B．当（3）函数“Y”：y1=−12x2+tx−2（其中t为常数，且t>2）的顶点P恰为函数“Y”关于函数“X”：y=x−3b的“遥感点”．设抛物线y2=12x2−2x与函数“Y”：三、中考中一次函数与动态几何13．如图1，在△ABC中，点D是边AB的中点，动点E从点A出发，沿A→C→B运动，设点E运动的路程为x，△BED的面积为y，y与x之间的函数图象如图2所示．有下列结论：①AC=2；②△ABC的面积为1；③当x=3时，y=1A．①② B．①③ C．②③ D．①②③14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA，以OA为边在OA的右侧作矩形OACB，边CB所在直线交x轴于点E。设点B的坐标为（m，n)，若矩形OACB的面积始终为8，则下列说法不正确的是（)A．当点A在y轴上时，点C的坐标为（4，2)B．mn=4C．OE的长始终为4D．n的取值范围为-2≤n≤215．如图，点A是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点C在第一象限．AB=4，∠CAB=30°，∠CBA=120°．（1）求点C的坐标；（2）点P是y轴上的一个动点，当点P处于何位置时，PB+PC的值最小？16．如图，已知点A(2,0)，B(0,4)，∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t(0<t<2)秒．（1）用含t的代数式表示点M，N的坐标，M点的坐标为，N点的坐标为．（2）求C点的坐标．（3）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．试求S关于t的函数关系式．17．如图，AC为矩形ABCD的对角线，AB=4，BC=3．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AC－CB向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作PM⊥AD于点M，连接QM，以PM、QM为边作▱PMQN．设矩形ABCD与▱PMQN（1）当点N落在边BC上时，求x的值；（2）求y关于x的函数解析式；（3）连接MN，当直线MN将矩形ABCD的面积两等分时，直接写出x的值．18．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A4,0，（1）如图1，已知⊙M经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且⊙M的直径为42，求证：直线l1与（2）如图2，已知直线l2:y=kx−6分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线l2上的一个动点，以N为圆心，32为半径画圆，当点N与点C重合时，直线①求直线l2②设⊙N与直线l1相交于P、Q两点，连接PN、QN，请问是否存在这样的点N，使得△PQN四、中考中一次函数与规律问题19．如图，在平面直角坐标系中，函数y=3x和y=−x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点AA．(31010，C．(−31011，20．如图，平面直角坐标系中，在直线y=x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是（）A．298 B．299 C．219721．在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y=33x(x≥0)上．若点A1的坐标为(222．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB123．如图，在第一象限内的直线l：y=3x上取点A1，使OA1=1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B24．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=33x相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当r1=1时，r2022=

答案解析部分1．【答案】（1）1,−1（2）解：根据定义可得，点2,n+1在y=−x上，∴n+1=−2，解得n=−3，点2,n+1即2,−2在y=mx+n上，∴−2=2m−3，解得m=1（3）解：∵直线y=kx+4上没有“亮点”，

∴直线y=kx+4与y=−x平行，

∴k=−1，

∴y=−x+4，

令x=0，则y=4，

令y=0，则x=4，

∴A4,0,B0,4，

∴OA=4,OB=4，

∵SΔABP=34SΔAOB，

12×BP×OA=34【解析】【解答】（1）解：由定义可知，一次函数y=2x−3的“亮点”为一次函数解析式y=2x−3与正比例函数y=−x的交点，即y=−xy=2x−3，解得x=1y=−1，∴一次函数y=2x−3的“亮点”为【分析】（1）由“亮点”的概念联立一次函数解析式y=2x−3与正比例函数y=−x，再解二元一次方程组即可；

（2）由直线上点的坐标特征可得n+1=−2，再把求得的n的值代入到直线y=mx+n中求得m即可；

（3）由于同一平面不相交的两条直线平行，即k=−1，再由直线上点的坐标特征可得A4,0,B0,4，即OA=4,OB=4，再由已知S（1）解：由定义可知，一次函数y=2x−3的“亮点”为一次函数解析式y=2x−3与正比例函数y=−x的交点，即y=−xy=2x−3解得x=1y=−1一次函数y=2x−3的“亮点”为1,−1；（2）解：根据定义可得，点2,n+1在y=−x上，∴n+1=−2，解得n=−3，点2,n+1即2,−2在y=mx+n上，∴−2=2m−3，解得m=1（3）解：∵直线y=kx+4上没有“亮点”，∴直线y=kx+4与y=−x平行，∴k=−1，∴y=−x+4，令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，∴A4,0∴OA=4,OB=4，∵SΔ12∴BP=3∵4+3=7,4−3=1，∴P0,7或0,12．【答案】（1）解：y=43x+83当y=0时，43x+83∴A(−2,0∵DO=2AO,∴DO=4

.∵BC=OB,∴BC=83.

∴OC=设直线CD的解析式为y=kx+b(把D(4，0)，C(0,16∴∴直线CD的解析式为y=−4（2）S=（3）解：连接CQ，设EQ与FG的交点为R，∵∠AED=∠FEG，

∴∠PEF=∠GEQ.∵PE=EQ，EF=EG，

∴△EPF≅△EQG.∴∠EPF=∠EQG，PF=GQ，∠EFP=∠EQG=90∴EF=PF，

∴EG=EF=PF=GQ.∴∠GEQ=∠QGE=180°∵∠EFG+∠EGF+∠FEQ=180°，∠EPQ+∠PEQ+∠FEQ=180∴∠EPQ=∠EQP=∠EGF=∠EFG.∵∠ERG=∠HRQ，

∴∠QHR=∠GER=45过P作PM⊥HG于点M，过Q作QT⊥HG于点T.∴∠M=90°，∠QTM=∠QTG=90°∵∠PMF+∠EFG=90°，∴∠PFM=∠QGH，

∴△PFM≅△QGT.∴PM=TQ，FM=TG.∵∠M=∠QTH=90°，∴△PHM≅△QHT.

∴HM=HT，PH=HQ.∵∠PHM=∠THQ=45∴∠TQH=45°=∠THQ∴PM=MH=HT=TQ.

设QT=TH=m∴PM=HM=m

∴TG=MF=m+HF∴FG=TG+FT=m+FH+m−FH=2m.∴S△FGQ=12FG⋅TQ，∴m=22或m=−2∴PH=PM2+MH∴2−2t=8.

∴t=−3.∴S=4即△PQE的面积为643【解析】【解答】（2）解：过E作EK⊥AD于点K，延长EK交PQ于W，

联立y=43x+83,y=−43x+163，∴x=1,y=4.∴E(1,4).

∴K(1,0)，∴OK=1,EK=4.

∴AK=3,DK=4−1=3.

∴AK=DK.

∴EA=ED.

∴∠EAD=∠EDA.

∵PQ//AD，

∴∠EPQ=∠EAD,∠EDA=∠EQP,∠EKA=∠EWP.

∴∠EPQ=∠EQP.

∴EP=EQ.

∵EW⊥PQ.

∴PW=WQ.

∴点W的横坐标为1.

由题意，得P(t,43t+83).

∴PW=1−t.

∴PQ=2PW=2−2t.

∵PQ//AD，点P，W在PQ上，

∴点W的纵坐标与点P纵坐标相同.

即∴WK=−43t−83yW=43t+83..

∴EW=−43t−83+4=−43t+43

∴3．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，

∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

则b=4k+b=0，解得k=−4b=4，

∴（2）解：∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，

∴OA=2，OB=4，

∴S△OAB=12OA×OB=12×2×4=4，

∴S△BCD（3）解：过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，

则∠EOC=∠ECF=∠CGF=90°，

∴∠CEO+∠OCE=∠GCF+∠OCE=90°，

∴∠CEO=∠GCF，

又∵∠CEP=45°，

∴CE=CF，

∴△COE≌△FGC，∴FG=OC=1，CG=OE=2，

∴OG=OC+CG=3，

∴点F的坐标为(3，-1)，

根据（1）得到直线EF的解析式为y=13x−2，

解方程组y=13x−2y=−2x+4得

如图，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，同理可得点F的坐标为(-1，1)，

根据（1）得到直线EF的解析式为y=−3x−2，

解方程组y=−3x−2y=−2x+4得x=187y=−87

∴点P的坐标为：(−6,16)【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）先求出△OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；

（3）分为两种情况，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，证明△COE≌△FGC，求出点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.4．【答案】（1）证明：对于y=−x+10，当x=0时，y=10，当y=0时，x=10，即点A、B的坐标分别为：(0,10)、(10,0)，∴OA=OB，∵∠AOB为直角，∴△AOB是等腰直角三角形；（2）解：如图，当AN⊥MN时，AN最小，∵∠AOB=90°，∴∠AON+∠BOM=∠AON+∠NAO=90°，∴∠BOM=∠OAN，∵∠ANO=∠OMB=90°,AO=OB，∴△BOM≌△OAN∴AN=OM，在Rt△BOM中，OB=10，BM=6，∴OM=10即AN的长的最小值为8；（3）解：如图，过点B作BT⊥CH于点T，过点T作MN⊥y轴交于点N，交过点B和y轴的平行线于点M，∵∠TCB=45°，∴△TCB为等腰直角三角形，CT=BT，同（2）中原理可得，△ONT≌△TMBAAS∵∠NOB=∠ONM=∠NMB=90°，∴四边形NOBM为矩形，∴ON=MB,NM=OB，当x=0时，y=−5，∴C0,−5，即OC=5设Tx,y∴CN=TM=5+y，TN=BM=x，根据NT+TM=NM=OB，NT=BM，可得x+5+y=10x=y解得：x=y=52，即点设直线CT的解析式为y=kx−5把T52,解得k=3，所以直线CT的解析式为y=3x−5．【解析】【分析】（1）对于y=−x+10，当x=0时，y=10；当y=0时，x=10，即OA=OB，又∠AOB=90°，故结论成立；（2）由“一线三垂直”模型知，△ANO≌△OMB，则AN=OM，即可求解；（3）如图，过点B作BT⊥CH于点T，过点T作MN⊥y轴交于点N，交过点B和y轴的平行线于点M，由“一线三垂直”模型知，△ONT≌△TMB，设点T(x,y)，则ON=TM，TN=BM，即10−x=y+5且x=y，解得：x=y=2.5，即点T55．【答案】（1）解：∵反比例函数.y=2∴设“等距点”的坐标为m,mm>0∴m=2解得：m=2或m=−∴反比例函数.y=2xx>0（2）解：设Ap,p，Bp=12p+m解得：p=2m，q=−2∴A2m,2m，B当y=0时，0=1解得：x=−2m，∴直线y=12x+mS∴4m解得：m=±3∴一次函数解析式为：y=12x+（3）解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，ab<0∴c=a−b∴b2∵ab<0，∴a≠0，b≠0，∴a−1=0，解得：a=1，∵ab<0，∴b<0，∴二次函数解析式为：y=x当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，x=x∴x2Δ=当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，−x=x∴x2Δ=∵b<0，∴b−12∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，∴b+12−4c=0，∴4c=b+1∴b−12∴方程x2x=1−b+−4b2方程x2x=−1−b∵1−b+−4b∴1−b+−4b∵1−b+−4b2>∴x31−b−−4b当−1<b<0时，2−−4b2>0此时x2=1−b−x==−4b∵−1<b<0，∴0<−4b∴−1<−4b∴当−1<b<0时，−1<x当b=−1时，2−−4b2=0，1−b−当b<−1时，2−−4b2<0此时x1=1−b−x==2，∴当b<−1时，x1综上分析可知：当−1<b<0时，−1<x1+x3【解析】【分析】（1）先根据反比例函数解析式得出m=2m，求出m=2（2）先根据函数解析式得出p=2m，q=−23m，求出A2m,2m，B−23（3）先根据二次函数的图象经过点−b,c，求出a=1，b<0，再根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出b+12−4c=0，b−12−4c>0，然后求出x=1−b+−4b2或x=1−b−−4b2，比较大小得出x3（1）解：∵反比例函数.y=2∴设“等距点”的坐标为m,mm>0∴m=2解得：m=2或m=−∴反比例函数.y=2xx>0（2）解：设Ap,p，Bp=12p+m解得：p=2m，q=−2∴A2m,2m，B把y=0代入y=12x+m解得：x=−2m，∴直线y=12x+mS即4m解得：m=±3∴一次函数解析式为：y=12x+（3）解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，ab<0∴c=a−b即b2∵ab<0，∴a≠0，b≠0，∴a−1=0，解得：a=1，∵ab<0，∴b<0，∴二次函数解析式为：y=x当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，x=x整理得：x2此时Δ=当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，−x=x整理得：x2此时Δ=∵b<0，∴b−12∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，∴b+12−4c=0，∴4c=b+1∴b−12∴方程x2x=1−b+−4b2方程x2x=−1−b∵1−b+−4b∴1−b+−4b∵1−b+−4b2>∴x31−b−−4b当−1<b<0时，2−−4b2>0此时x2=1−b−x==−4b∵−1<b<0，∴0<−4b∴−1<−4b∴当−1<b<0时，−1<x当b=−1时，2−−4b2=0，1−b−当b<−1时，2−−4b2<0此时x1=1−b−x==2，∴当b<−1时，x1综上分析可知：当−1<b<0时，−1<x1+x36．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

将直线y=x向上平移d个单位长度后得到y=x+d

若过点A，则-3+d=1，解得：d=4若过点B，则-1+d=1，解得：d=2

∴将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则2≤d≤4

故答案为：D【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线y=x向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.7．【答案】2【解析】【解答】解：将直线y=3x−1向上平移m个单位长度可得：y=3x-1+m

∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限

∴-1+m>0，解得m>1故答案为：2（答案不唯一，满足m>1即可）【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.8．【答案】y=4x+1【解析】【解答】解：将一次函数y=4x−5向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为y=4x−5+6=4x+1，故答案为：y=4x+1．【分析】根据一次函数图象平移规律"上加下减常数项”保持斜率不变，将原函数常数项加上平移单位即可．9．【答案】6(答案不唯一)【解析】【解答】解：将点A(1，a)代入y=-x+6得，a=5，所以点A的坐标为(1，5).因为4则取α=9所以旋转前后的直线互相垂直，则令直线l2将点A(1，5)代入y=x+b得，b=4，所以此时直线l2因为点B(m，n)在直线l2不妨取m=2，则n=2+4=6，所以n的值可以是6.故答案为：6(答案不唯一).【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为90∘,10．【答案】2【解析】【解答】解：设Am,mk，则把点A向上平移4个单位，向右平移kk>0个单位后的点的坐标为∵m+k,mk+4在正比例函数y=kx的图象上，∴mk+4=k(m+k)，解得：k=±2，∵k>0∴k=2．故答案为：2．【分析】由正比例函数图象上点的坐标特征知，可设Am,mk，把点A向上平移4个单位，向右平移kk>0个单位后的点的坐标为m+k,mk+4，然后代入11．【答案】（1）解：由题意可知，A（2）解：如图，∵AA"平行于二四象限角平分线，∴∠∵A∴当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，∴y=当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，∴y=综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5（3）解：y设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，得y∴对称轴为直线x=2+a，平移距离d=当0≤x≤4时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，此时y2=解得−∴0≤d<【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可；(2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；(3)得到平移后的抛物线的解析式为y2=x−2−a12．【答案】（1）解：由题意得：点2,p在函数“Y”：y=x+1上，

∴p=2+1=3

∴2,3向左平移2个单位长度得到0,3，正好落在函数“X”y=−x+b的图象上，

∴b=3

∴y=−x+3；

即函数“X”的解析式为：y=−x+3.​​​​​​​（2）解：∵函数“Y”：y=kx+b是函数“X1”：y=x+m的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，

∴函数“Y”向左平移2个单位得到函数“X1”，

∴k=1，且2+b=m，

∴b=m−2，

∴函数“X2”：y=m−2x；

当m−2>0时，如图，

△ABC为钝角三角形，故不可能是等腰三角形，不符合题意；

当m−2<0时，如图，

∵b=m−2，

∴由bx=x+b可得：x2+bx−b=0，

设An,bn，

∵图中反比例函数y=bx关于直线y=−x对称，

∴B−bn,−n，

∵AB=OB，

∴n2+bn2=n+bn2+bn+n2，

整理得：n2+b2n2+4b=0，

∵x=n是x2+bx−b=0的根，

∴n2+bn−b=0，即n2=b−bn，

∴b−bn+（3）解：函数“Y”：y1=−12x2+tx−2（其中t为常数，且t>2）的顶点P恰为函数“Y”关于函数“X”：y=x−3b的“遥感点”

∴P向左平移两个单位后的点在y=x−3b上，

如图，P为y1=−12x2+tx−2的顶点，则Pt,12t2−2

∵抛物线y2=12x2−2x，

∴顶点横坐标为x=−−22×12=2，纵坐标为y=12×22−2×2=−2，

∴Q2,−2，

设Cx1,y1，Dx2,y2，

∵当−12x2+tx−2=12x2−2x时，

∴x2−2+tx+2=0，

∴x1+x2=2+t，x1x2=2，

而y1+y2【解析】【分析】（1）根据题意，把点2,p代入函数“Y”：y=x+1得，p=3，再代入函数“X”：y=−x+b，得b的值，即可求解；（2）由新定义可得k=1，且2+b=m，故函数“X2”：y=m−2x；再分两种情况进行讨论：当m−2>0时，△AOB是钝角三角形，此时不符合题意；当m−2<0时，联立函数再整理得x2+bx−b=0，设An,bn，根据反比例函数的对称性得B−bn（3）如图，求解Q2,−2，Pt,12t2−2，设Cx1,y1，Dx（1）解：∵点2,p是函数“Y”：y=x+1关于函数“X”：y=−x+b的“遥感点”∴p=2+1=3∴2,3向左平移2个单位长度得到0,3，正好落在函数“X”图象上，y=−x+b∴b=3∴y=−x+3；（2）解：∵函数“Y”：y=kx+b是函数“X1”：y=x+m∴k=1，且y=x+b向左平移2个单位得到y=x+m，∴函数“X1”：y=x+b+2，即b=m−2∴函数“X2”：y=如图，当m−2>0时，不符合题意；当m−2<0时，如图，∵b=m−2，∴y=bxy=x+b设An,∵等边三角形，反比例函数都关于直线y=−x对称，∴B−∵AB=OB，∴n2整理得：n2∵x=n是x2∴n2+bn−b=0，即∴b−bn+b∵b=0不符合题意，∴n2解得：n=3+3，n=3−∴xA=3+3∴3+3解得：b=−6，∴−63+∴A3+∴OA=3+∴等边三角形的面积为：34（3）解：函数“Y”：y1=−12x2+tx−2（其中t为常数，且t>2）的顶点P∴P向左平移两个单位后的点在y=x−3b上，如图，P为y1=−∵抛物线y2∴顶点横坐标为x=−−22×1∴Q2,−2设Cx1,∵当−1∴x2∴x1+x而y==1y===1−2=5−2t，∵四边形PCQD为矩形，∴PQ=CD，∴t−22∴t−22∴t−22∴t2解得：t1=1（舍去），∴P3,52∴P向左平移两个单位后的点为K1,5得，1−3b=5解得：−3b=3∴直线“X”的解析式为y=x+313．【答案】B【解析】【解答】解：根据图2中的点（2，1）可得AC=2，△BCD的面积为1，

∵D为边AB的中点，

∴△ABC的面积=2S△BCD=2，

设图2中的后半段图形解析式为y=kx+b，将点（2，1）（4，0）代入得，

2k+b=1，4k+b=0，解得，k=−12b=2，

∴y=−12x+2，

∴当x=3时，y=1214．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，当点A在y轴上时，如图，

∵点A是直线y＝2上的动点，

∴OA＝2，

又∵矩形的面积为8，

∴OA•AC＝8，

∴AC＝4，

∴C（4，2），

故选项A正确，不合题意；

设AC与y轴交于点F，分别过B作BG⊥y轴于G，作BH⊥x轴于H，

∵矩形OACB的面积为8，

∴S△BOF＝4．

∴S△BOG≤4．

又∵S△BOH＝S△BOG＝12mn，

∴12mn≤4．

∴mn≤8，故B错误，符合题意．

直线CB的斜率kCB＝yC−yBxC−xB．

又∵xA＝−2nm，

∴kCB＝2−2nm=−mn．

直线CB的方程为y−n＝−mn(x−m)．

点E是该直线与x轴的交点，令y＝0：−n＝mn(xE−m)，

n2＝m（xE−m），

xE−m＝n2m，

xE＝m＋n2m＝m2+n2m．

将m2＋n2＝4，

m代入上式：xE＝4mm＝4，

OE的长度即为|xE|，所以OF的长始终为4．

∴选项C是正确的．

关系式m2＋n2＝4m，可以写成m2−4m＋n2＝0．这是一个关于m的一元二次方程．

为了使m有实数解，判别式Δ必须大于等于0．

Δ＝（−4）2−4n2≥015．【答案】（1）解：过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，如图所示：

∵∠CAB=30°，∠CBA=120°，

∴∠ACB=180°−30°−120°=30°，∠CBE=180°−120°=60°，

∴∠BAC=∠ACB，

∴BC=AB=4，

∴BE=BC·cos60°=4×12=2，

CE=BC·sin60°=4×32=23（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则D−4，0，连接CD，CD与y轴交于点P，连接PB，

根据轴对称可知：PB=PD，

∴PB+PC=PD+PC，

∴当PD+PC最小时，PB+PC最小，

∵两点之间线段最短，

∴此时点P即为所求作的点，

设直线CD的解析式为：y=kx+b，

则−4k+b=06k+b=23，

解得：k=35b=435

∴y=35x+435

当x=0时，y=43（2）作点B关于y轴的对称点为D，连接CD与y轴交于点P，连接PB，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，然后利用待定系数法求直线CD的解析式，即可得到点P的坐标．（1）解：过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，如图所示：∵∠CAB=30°，∠CBA=120°，∴∠ACB=180°−30°−120°=30°，∠CBE=180°−120°=60°，∴∠BAC=∠ACB，∴BC=AB=4，∴BE=BC·cosCE=BC·sin∴AE=AB+BE=4+2=6，∴点C的坐标为6,23（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则D−4，0，连接CD，CD与y轴交于点P，连接PB根据轴对称可知：PB=PD，∴PB+PC=PD+PC，∴当PD+PC最小时，PB+PC最小，∵两点之间线段最短，∴此时点P即为所求作的点，设直线CD的解析式为：y=kx+b，则−4k+b=06k+b=2解得：k=∴y=当x=0时，y=∴当点P运动到0,43516．【答案】（1）M(2t,0)，N(0,t)．（2）解：过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，

∵∠AOB的平分线交AB于C，即对称轴OC为第一象限的角平分线，

∴CE=CF，∠EOC=∠FOC=45°

又∵CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，

∴∠CEO=∠CFO=∠AOB=90°

∴四边形CEOF是矩形

∵CE=CF

∴四边形CEOF是正方形，设正方形的边长为x，

∴BE=4−x

∵CE∥x轴

∴△BEC∽△BOA

∴BEBO=CEOA即4−x4=x2（3）解；当0<t≤1时，如图2所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMNS△CMN当1<t<2时，如图3所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN设直线MN的解析式为y=kx+b，将M(2t,0)，N(0,t)代入得2tk+b=0b=t解得k=−∴直线MN的解析式为y=−同理求得直线AB的解析式为：y=−2x+4．联立y=−12x+t与y=−2x+4，求得点DS△CDN综上可得，S关于t的函数关系式为S=−【解析】【解答】（1）解：∵点A(2,0)，B(0,4)，∴OA=2,OB=4∵PQ∥AB，∴OPOB=∴OP=2OQ∵动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，∵P(0,2t)，∴Q(t,0)．∵∠AOB的平分线交AB于C，即对称轴OC为第一象限的角平分线，∴ON=OQ,OM=OP∴M(2t,0)，N(0,t)．故答案为：（2t，0），(0，t).

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理“平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例”可得比例式OPOB=OQOA，于是可得OP=2OQ，然后可将（2）由题意易证四边形CEOF是正方形，设正方形的边长为x，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BEC∽△BOA，根据相似三角形的性质可列比例式BEBO（3）所求函数关系式为分段函数，由题意可分两种情况：图2，图3表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，分别求解即可．（1）∵点A(2,0)，B(0,4)，∴OA=2,OB=4∵PQ∥AB，∴OPOB=∴OP=2OQ∵动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，∵P(0,2t)，∴Q(t,0)．∵∠AOB的平分线交AB于C，即对称轴OC为第一象限的角平分线，∴ON=OQ,OM=OP∴M(2t,0)，N(0,t)．（2）解：过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，∵∠AOB的平分线交AB于C，即对称轴OC为第一象限的角平分线，∴CE=CF，∠EOC=∠FOC=45°又∵CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，∴∠CEO=∠CFO=∠AOB=90°∴四边形CEOF是矩形∵CE=CF∴四边形CEOF是正方形，设正方形的边长为x，∴BE=4−x∵CE∥x轴∴△BEC∽△BOA∴BEBO=解得：x=4∴C（3）当0<t≤1时，如图2所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMNS△CMN当1<t<2时，如图3所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN设直线MN的解析式为y=kx+b，将M(2t,0)，N(0,t)代入得2tk+b=0b=t解得k=−∴直线MN的解析式为y=−同理求得直线AB的解析式为：y=−2x+4．联立y=−12x+t与y=−2x+4，求得点DS△CDN综上所述，S关于t的函数关系式为S=−17．【答案】（1）解：当点N落在边BC上时，如图，作QE⊥AD于点E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠D=90°，

∴AC=32+42=5，

由题意得AP=x，

∵PM⊥AD，

∴△APM∽△ACD，

∴CDPM=ADAM=ACAP，即4PM=3AM=5x，

∴PM=45x，AM=35x，

∵PM⊥AD，点Q是AP的中点，

∴QE∥PM，

∴△AQE∽△APM，

∴（2）解：当0<x≤103时，y=PM×ME=45x⋅310x=625x2；

当103<x≤5时，如图，

FN=QE+QN−EF=25x+45x−4=65x−4，

∵AE=EM，QE⊥AM，

∴QE是线段QE的垂直平分线，

∴∠MQE=∠AQE，

∵▱PMQN，

∴∠N=∠PMQ=∠MQE=∠AQE=∠CAB，

∴tan∠N=tan∠CAB，

∴GFFN=BCAB，即GF65x−4=34，

∴GF=910x−4，

∴（3）x的值为103或【解析】【解答】（3）解：连接BD交AC于点O，当直线MN经过点O时，直线MN将矩形ABCD的面积两等分，当0<x≤5时，如图，∵▱PMQN，∴OP=OQ=1∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=1∴32解得x=10当5<x<8时，如图，作OR⊥PM于点R，直线MN交BC于点S，由（2）得AQ=MQ=PN=OQ，∴NF=QF，同理，OR是△MRS的中位线，同理，求得MO=OS=ON，∴SF=1∴PS=2∴CS=CP+PS=1∵AO=OC，∠MAO=∠SCO，∠MOA=∠SOC，∴△MOA≌△SOC，∴CS=AM，∴35解得x=80综上，x的值为103或80【分析】（1）延长NQ交AD于点E，由平行四边形的性质可得QE//PM//CD，则可证明△APM∽△ACD，则由相似比可得PM=45x，AM=35x，同理可证明△AQE∽△APM，则（2）可分三种情况进行计算，即当点P在AC上且点N在矩形ABCD内部时，此时0<x≤103，则y=S▱PMQN=PM·ME；当点P在AC上但点N在矩形ABCD外部时，此时103<x≤5，则y=（3）由于矩形是中心对称图形，则经过对角线交点的任一条直线均可等分矩形面积，因此可连接BD交AC于点O，当直线MN经过点O时，直线MN将矩形ABCD的面积两等分，此时可分两种情况分别计算，即当N在BC上时，此时0<x≤5和N在矩形ABCD外时，此时5<x<8时．（1）解：当点N落在边BC上时，如图，作QE⊥AD于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠D=90°，∴AC=3由题意得AP=x，∵PM⊥AD，∴△APM∽△ACD，∴CDPM=AD∴PM=45x∵PM⊥AD，点Q是AP的中点，∴QE∥PM，∴△AQE∽△APM，∴QEPM∴QE=12PM=∵▱PMQN，∴QN=PM=4由题意得QE+QN=EN=4，即25解得x=10（2）解：当0<x≤103时，当103FN=QE+QN−EF=2∵AE=EM，QE⊥AM，∴QE是线段QE的垂直平分线，∴∠MQE=∠AQE，∵▱PMQN，∴∠N=∠PMQ=∠MQE=∠AQE=∠CAB，∴tan∠N=∴GFFN=BC∴GF=9∴y=PM×ME−==39当5<x<8时，如图，由题意得BP=8−x，同理，FQ是△PAB的中位线，∴PF=12BP=4−12∴y=1综上，y=6（3）解：连接BD交AC于点O，当直线MN经过点O时，直线MN将矩形ABCD的面积两等分，当0<x≤5时，如图，∵▱PMQN，∴OP=OQ=1∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=1∴32解得x=10当5<x<8时，如图，作OR⊥PM于点R，直线MN交BC于点S，由（2）得AQ=MQ=PN=OQ，∴NF=QF，同理，OR是△MRS的中位线，同理，求得MO=OS=ON，∴SF=1∴PS=2∴CS=CP+PS=1∵AO=OC，∠MAO=∠SCO，∠MOA=∠SOC，∴△MOA≌△SOC，∴CS=AM，∴35解得x=80综上，x的值为103或8018．【答案】（1）证明：∵A4,0，B0,4，

∴OA=OB=4，则△AOB为等腰直角三角形，

∴∠ABO=45°，

连接MB，MO，

∵⊙M经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且⊙M的直径为42，

∴MB=MO=22，则MB2+MO2=OB2，

∴△MOB为等腰直角三角形，

∴（2）解：①当点N与点C重合时，直线l1与⊙N相切，令切点为D，连接CD，则CD⊥AB，

由（1）可知，△AOB为等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，则△ACD为等腰直角三角形，

∴CD=AD=32，AC=CD2+AD2=6，

则OC=2，

∴点C的坐标为−2,0，

将其代入直线l2:y=kx−6得−2k−6=0，解得：k=−3，

∴直线l2的解析式为y=−3x−6；

②存在点N的坐标为32−102,−92+182或−32−102,92+182时，使得△PQN是等腰直角三角形．理由如下：

设直线l1的解析式为y=mx+n，

代入A4,0，B0,4，得4m+n=0n=4，

解得：m=−1n=4

直线l1的解析式为y=−x+4，

当点N在直线l1，l2交点下方时，

∵△PQN是等腰直角三角形，且PN=NQ=32，

∴∠PNQ=∠ABO=45°，

∴NP∥OB，即NP∥y轴，

设点N的横坐标为t，则yN=−3t−6，yP=−t+4，

∴【解析】【分析】（1）由题意可知△AOB为等腰直角三角形，则∠ABO=45°，连接MB，MO，可知MB=MO=22，则MB2则∠OBM=45°，∠ABM=90°，即可证得结论；（2）①当点N与点C重合时，直线l1与⊙N相切，令切点为D，连接CD，则CD⊥AB，由（1）可知，△AOB为等腰直角三角形，同时可知△ACD为等腰直角三角形，用勾股定理求得AC的值，则OC=2，得点C的坐标为−2,0②由题意，用待定系数法求得直线l1的解析式，当点N在直线l1，由△PQN是等腰直角三角形，且PN=NQ=32，可知NP∥OB，即NP∥y轴，设点N的横坐标为t，则yN=−3t−6，yP=−t+4，列出关于t的方程，解方程可得点N的坐标；当点N（1）证明：∵A4,0，B∴OA=OB=4，则△AOB为等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，连接MB，MO，∵⊙M经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且⊙M的直径为42∴MB=MO=22，则M∴△MOB为等腰直角三角形，∴∠OBM=45°，则∠ABM=90°，∴直线l1与⊙M（2）①当点N与点C重合时，直线l1与⊙N相切，令切点为D，连接CD，则CD⊥AB由（1）可知，△AOB为等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，则△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AD=32，AC=则OC=2，∴点C的坐标为−2,0，将其代入直线l2:y=kx−6得−2k−6=0，解得：∴直线l2的解析式为y=−3x−6②存在点N的坐标为32−102,−9设直线l1的解析式为y=mx+n代入A4,0，B0,4，得4m+n=0直线l1的解析式为y=−x+4当点N在直线l1，l∵△PQN是等腰直角三角形，且PN=NQ=32∴∠PNQ=∠ABO=45°，∴NP∥OB，即NP∥y轴，设点N的横坐标为