2027届新高三数学热点突破复习导数的概念及运算

2027届新高三数学热点突破复习导数的概念及运算三年模拟考点1导数的概念及运算1.★(2026届湘豫名校联盟摸底,6)已知f(x)在R上可导,则f

'(1)=

()A.

B.

C.

D.

B

解析由导数的定义知

=f

'(1).故选B.2.★★(2026届安徽五校第一次联考,4)下列求导运算正确的是

()A.(ln2)'=

B.(3x+log3x)'=(3x+x)ln3C.(ex

)'=

D.

'=

D

解析

(ln2)'=0,A错误;(3x+log3x)'=3xln3+

,B错误;(ex

)'=ex

+

,C错误;

'=

=

,D正确.故选D.3.★★(2026届江西多校联考,4)已知函数f(x)的导函数为f

'(x),若f(x)=-f

'(-1)x3+2x2-2,则f(2)=

()A.20

B.18

C.16

D.14

D

解析由f(x)=-

f

'(-1)x3+2x2-2得f

'(x)=-3f

'(-1)x2+4x,所以f

'(-1)=-3f

'(-1)(-1)2+4×(-1),即f

'(-1)=-3f

'(-1)-4,解得f

'(-1)=-1,所以f(x)=x3+2x2-2,则f(2)=23+2×22-2=14.故选D.4.★★(2025届安徽肥东第一中学联考,2)已知函数f(x)的导函数为f

'(x),且f(x)=2xf

'

+sinx,则f

'

=

()A.-

B.

C.

D.-

A

解析因为f(x)=2xf

'

+sinx,所以f

'(x)=2f

'

+cosx,令x=

,则f

'

=2f

'

+cos

,解得f

'

=-

,则f

'(x)=-1+cosx,则f

'

=-1+cos

=-1-

=-

.故选A.5.★★(2026届广东湛江八校联考,7)某跳水运动员在10米高的跳台起跳后,其速度v(单

位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数关系式为v(t)=-9.8t+4.7,则该运动员(身高忽略不

计)在t=1秒时离水面的高度为

()A.9.6米

B.9.7米

C.9.8米

D.9.9米

C

解析由h'(t)=v(t)=-9.8t+4.7,可设h(t)=-4.9t2+4.7t+k(该式表示高度与时间的关系式),因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.9t2+

4.7t+10,则该运动员在t=1秒时离水面的高度为h(1)=-4.9+4.7+10=9.8米.故选C.6.★★★(2026届山西晋中开学考,8)已知f

'(x)为函数f(x)=x2+2cos2x的导函数,则f

'(x)的大

致图象是()

B

解析由题意有f

'(x)=2x-4sin2x,又x∈R,且f

'(-x)=-2x-4sin(-2x)=-f

'(x),所以f

'(x)为奇函数,排除A;由f

'

=2×

-4sin

=

-4<0,排除D;当x→+∞时,f

'(x)→+∞,排除C,故选B.7.★★★(2025届江西南昌模拟,7)我们知道一个常识:奇函数的导函数是偶函数,偶函数

的导函数是奇函数.推广到一般的情况:如果函数f(x)的图象有对称中心,那么其导函数f

'(x)的图象会有对称轴;如果函数f(x)的图象有对称轴,那么其导函数f

'(x)的图象会有对称

中心.请你运用以上性质研究函数f(x)=ln

的对称性,下列选项正确的是

()A.f(x)的图象有对称中心

B.f(x)的图象有对称中心

C.f(x)的图象有对称轴x=-

D.f(x)的图象有对称轴x=

B

解析因为函数f(x)=ln

,定义域为(-2,3),所以f

'(x)=

·

=

·

=

,其图象关于直线x=

对称,所以f(x)的图象关于

,即

对称,故选B.8.★★★(创新考法·估计三角函数值)(2025届陕西咸阳三模,8)英国数学家泰勒发现

的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时,f(x)=f(0)+f

'(0)x

+

x2+

x3+…+

xn+….该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算sin2的值为(精确到小数点后两位)()注:f

″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f

'(x)的导数,f

(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f

(n-1)(x)

(n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×n.A.0.85

B.0.88

C.0.91

D.0.95

C

解析由题意知f(x)=sinx,知f(0)=0.f

'(x)=cosx⇒f

'(0)=1;f

″(x)=-sinx⇒f

″(0)=0;f

(3)(x)=-cosx⇒f

(3)(0)=-1;f

(4)(x)=sinx⇒f

(4)(0)=0;f

(5)(x)=cosx⇒f

(5)(0)=1;f

(6)(x)=-sinx⇒f

(6)(0)=0;f

(7)(x)=-cosx⇒f

(7)(0)=-1,求出sinx=x-

+

-

+…,令x=2,得sin2=2-

×23+

×25-

×27+…=2-

+

-

+…≈0.91,故选C.五年高考考点2曲线的切线1.★★(2023全国甲文,8,5分)曲线y=

在点

处的切线方程为

()A.y=

x

B.y=

xC.y=

x+

D.y=

x+

C

解析由y=

,可得y'=

,则y'|x=1=

,∴曲线在点

处的切线方程为y-

=

(x-1),即y=

x+

,故选C.2.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)=

,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.

B.

C.

D.

A

解析

f

'(x)=

,∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率k=f

'(0)=3,∴切线的方程为y=3x+1,令x=0,得y=1;令y=0,得x=-

,∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=

×1×

=

.3.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则

()A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea

D

解析设切点坐标为(x0,y0),则y0=

.对y=ex求导得y'=ex,则切线斜率k=

,切线方程为y-

=

(x-x0),因为切线过点(a,b),所以b-

=

(a-x0),即

(a-x0+1)-b=0(*).由题意知方程(*)有两个解.【不能直接求方程(*)的解,考虑其对应函数有两个零点,利

用导数法求解】设g(x)=ex(a-x+1)-b,则g'(x)=ex(a-x),令g'(x)>0,得x<a,令g'(x)<0,得x>a,故函数g(x)在x=a处

取得极大值,也是最大值.要使g(x)有两个零点,则必有g(a)>0,即ea(a-a+1)-b>0,即b<ea.结合选项知选D.小题速解当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的

切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=

ex的下方,∴0<b<ea,故选D.

4.★★(2021全国甲理,13,5分)曲线y=

在点(-1,-3)处的切线方程为______________.

y=5x+2

解析

y=

=2-

,所以y'=

,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.5.★★★(2025全国一卷,12,5分)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=______.

4

解析由y=ex+x+a,得y'=ex+1.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a相切时的切点为(x0,y0),则

解得

6.★★★(2024新课标Ⅰ,13,5分)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a

的切线,则a=____________.

ln2

解析因为y=ex+x,所以y'=ex+1,所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的斜率k=2,又切线过点(0,1),所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的方程为y=2x+1,对y=ln(x+1)+a求导得y'=

,由直线y=2x+1也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,得

=2,解得x=-

,将x=-

代入y=ln(x+1)+a得y=a-ln2,所以曲线y=ln(x+1)+a与直线y=2x+1相切的切点坐标为

,代入y=2x+1,解得a=ln2.7.★★★(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________,

___________________.

y=- x(不分先后)

y= x

解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=lnx,设切点坐标为(x0,lnx0),∵y'=

,∴切线斜率k=y'

=

,故切线方程为y-lnx0=

(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-lnx0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=

(x-e),即y=

x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-

x,故过坐标原点的两条切线方程为y=

x和y=-

x.8.★★★(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值

范围是______________________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

解析设f(x)=y=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)

),因此切线方程为y-(x0+a)

=(x0+a+1)·

(x-x0),∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)

=(x0+a+1)

·(-x0),整理得

+ax0-a=0,由切线有两条,得关于x0的方程

+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.【经检验符合题意】思路导引设切点坐标为(x0,(x0+a)

),利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而得到切线方程,再把原点代入可得

+ax0-a=0,因为有两条切线,所以关于x0的方程有两个不等实根,由Δ>0即可求出a的取值范围.9.★★★(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则

的取值范围是_____________.

(0,1)

解析当x>0时,f(x)=ex-1,f

'(x)=ex,则kBN=

.当x<0时,f(x)=1-ex,f

'(x)=-ex,kAM=-

,由切线垂直可知kAM·kBN=-

·

=-1,得x1+x2=0,设kBN=k,则kAM=-

,则

=

=

=

,∵x2>0,∴

∈(0,1).故

的取值范围是(0,1).三年模拟1.★★(2026届安徽质量检测,4)已知函数f(x)=-x2+3x,则曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方

程为

()A.x+y-3=0

B.x-y+1=0C.x+y-2=0

D.x-y-1=0

B

解析∵f(x)=-x2+3x,∴f

'(x)=-2x+3,则f

'(1)=1,又f(1)=2,故曲线在点(1,f(1))处的切线方程

为y-2=x-1,即x-y+1=0.故选B.2.★★(2026届河北示范高中联盟月考,3)若直线y=kx+b是曲线y=2x-ln(x+1)+3的切线,则

k的取值范围是

()A.(1,2]

B.(-∞,2)

C.(-∞,1)

D.(1,2)

B

解析因为y=2x-ln(x+1)+3,所以y'=2-

(x>-1).设切点的横坐标为x,因为直线y=kx+b是该曲线的切线,所以k=2-

(x>-1).因为x+1>0,所以

>0,所以2-

<2,所以k∈(-∞,2).故选B.3.★★(2025届陕西安康考前最后一卷,5)已知函数f(x)=excosx的图象在x=x0

处的切线平行于x轴,则该切线的方程为

()A.y=1

B.y=

C.y=

D.y=

D

解析由f(x)=excosx,得f

'(x)=ex(cosx-sinx),依题意,得f

'(x0)=0,即

(cosx0-sinx0)=0,则tanx0=1,因为0<x0<

,所以x0=

,则f

=

cos

=

,所以该切线的方程为y=

.故选D.4.★★(2025届江苏南通高品质高中模拟预测,5)若曲线y=x4的一条切线l1与直线l2:4x-y-20=0平行,则l1与l2之间的距离为

()A.

B.2

C.5

D.10

A

解析设直线l1与曲线y=x4切于点P(x0,y0).y'=4x3,由直线l1与直线l2平行,且直线l2的斜率

为4,得4

=4,解得x0=1,则y0=1,所以直线l1:y-1=4(x-1),即4x-y-3=0,所以直线l1与l2之间的距离为

=

.故选A.5.★★★(2025届河南部分学校模拟,5)已知曲线f(x)=(x+k)ln(x+k)的一条切线的方程为y

=x,则k=()A.0

B.1

C.-1

D.e

B

解析由题意得f

'(x)=1+ln(x+k).由y=x与曲线f(x)相切,设切点为(x0,x0),则f

'(x0)=1+ln(x0+k)=1,故x0+k=1,由f(x0)=x0,得(x0+k)ln(x0+k)=x0,将x0+k=1代入上式,得x0=0,

故k=1.故选B.6.★★★(2026届广东广州花都调研,7)已知f(x)为奇函数,当x<-1时,f(x)=ln

,则曲线f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是

()A.x+4y-4ln2-3=0

B.x+2y+2ln2-3=0C.x-4y+4ln2-3=0

D.x-2y-2ln2-3=0

A

解析首先根据函数的奇偶性求出x>1时的函数解析式.若x>1,则-x<-1,则当-x<-1时,f(-x)=ln

=ln

,∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-ln

,即当x>1时,f(x)=-ln

.然后根据导数的几何意义求切线方程.f(3)=-ln

=-ln

=ln2,f

'(x)=-

,则f

'(3)=-

=-

,因此切线方程为y-ln2=-

(x-3),即x+4y-4ln2-3=0.故选A.7.★★★(2026届江西阶段检测,7)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),P为曲线y=2-lnx上

一动点,则AP的最小值为

()A.

B.2

C.

D.2

D

解析依题意,知当曲线y=2-lnx在P处的切线垂直于AP时,AP取得最小值,设P(x0,2-lnx0),对y=2-lnx求导得y'=-

,y'

=-

,则

·

=-1,整理得

+x0+lnx0-2=0,而函数f(x0)=

+x0+lnx0-2在(0,+∞)上单调递增,【y=

+x0-2与y=lnx0均在(0,+∞)上单调递增】又f(1)=0,因此x0=1,点P(1,2),所以APmin=2

.故选D.8.★★★(2026届河北沧州质量检测,7)已知函数f(x)=

,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

()A.

B.

C.

D.

D

解析由题意可得f'(x)=

,所以f

'(0)=

=-3,又知f(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为y=f

'(0)(x-0)+f(0)=-3x+2,与两坐标轴的交点分别为

,(0,2).所以三角形的面积为

×

×2=

.故选D.9.★★★(2026届河南安阳调研,7)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线,切点分别

为M,N,则直线MN的方程为

()A.2x+y-9=0

B.2x-y+9=0C.2x+y-1=0

D.2x-y+1=0

A

解析设切点坐标为(a,a2-2a+5).由y=x2-2x+5,得y'=2x-2,则曲线在切点(a,a2-2a+5)处的

切线方程为y-(a2-2a+5)=(2a-2)(x-a),即y=(2a-2)x-a2+5,把点P的坐标代入,得1=-a2+5,解得

a=2或a=-2,当a=2时,y=5,当a=-2时,y=13,不妨取M(2,5),N(-2,13),可得直线MN的方程为2x

+y-9=0.10.★★★(2025届陕西安康模拟预测,7)已知曲线f(x)=lnx+x2-ax

与倾斜角为45°且横截距为a的直线l相切,则a=

()A.1

B.2

C.3

D.4

B

解析倾斜角为45°且横截距为a的直线l的方程为y=x-a,设直线l与曲线f(x)=lnx+x2-ax

的切点为(x0,lnx0+

-ax0),因为f

'(x)=

+2x-a,所以

+2x0-a=1且lnx0+

-ax0=x0-a,所以lnx0+

-

x0=x0-

,所以lnx0-

+

+2x0-2=0,设g(t)=lnt-t2+

+2t-2,t≥

,则g'(t)=

-2t-

+2=

-2(t-1)=

,因为t≥

,所以1-2t2≤1-

<0,所以当t>1时,g'(t)<0,g(t)在(1,+∞)上单调递减,当

≤t<1时,g'(t)>0,g(t)在

上单调递增,所以g(t)max=g(1)=0,所以x0=1,所以1+2-a=1,解得a=2.故选B.11.★★★(2026届山东九五高中协作体质量检测,8)若不等式ex-2≥ax+b≥lnx恒成立,

则实数a的取值范围是

()A.

B.

C.[1,2]

D.[1,e]

D

解析设f(x)=ex-2,g(x)=lnx,则f

'(x)=ex,g'(x)=

,设曲线f(x)与g(x)的公切线的切点分别为(x1,

-2),(x2,lnx2),则切线方程为y-(

-2)=

(x-x1),

y-lnx2=

(x-x2),即y=

x-

x1+

-2,y=

x-1+lnx2,所以

=

①,-

x1+

-2=-1+lnx2②,由①得x1=ln

=-lnx2,代入②得-

x1+

-2=-1-x1,即(

-1)(1-x1)=0,解得x1=0或x1=1,所以公切线的斜率为1或e,由图可得a∈[1,e].故选D.12.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,8)已知函数f(x)=

若在点P可以作曲线y=f(x)的两条切线,则点P的坐标可以为

()A.(1,1)

B.(1,2)

C.(-1,1)

D.(2,2)

B

解析作出函数f(x)=

的图象,如图.

对f(x)求导得f

'(x)=

曲线f(x)=ex在x=0处的切线为y-f(0)=f

'(0)(x-0)⇒y-1=x⇒y=x+1,而曲线f(x)=ln(x+1)+1在x=

0处的切线为y-f(0)=f

'(0)(x-0)⇒y-1=x⇒y=x+1,由于分段函数在分界点处的切线相同,所以可取公切线y=x+1上的点P,再作曲线f(x)的另一条切线即可.根据选项分析,只有(1,2)在公切线y=x+1上,故选B.13.★★★★(创新风向·多想少算)(2025届江苏南京东山高级中学二模,8)已知y=(x

-a)2+(xlnx-a+3)2(a∈R),则y的最小值为

()A.2

B.1

C.

D.

A

解析设点P(x,xlnx)是函数f(x)=xlnx图象上的点,点Q(a,a-3)是直线l:y=x-3上的点,则|PQ|=

,所以y=|PQ|2.f

'(x)=lnx+1,设曲线f(x)在点M(x0,y0)处的切线l1与直线l平行,则f

'(x0)=lnx0+1=1,解得x0=1,则点M(1,0),所以|PQ|的最小值为点M(1,0)到直线l的距离d=

=

,所以y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2的最小值为2,故选A.14.★(2026届湖南益阳教学质量检测,12)曲线y=

在点(1,0)处的切线方程为_________.

y=x-1解析由题意得y'=

=

,所以y'|x=1=1,所以所求切线方程为y=x-1.15.★★(2026届河北石家庄一中摸底,12)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线

方程是y=

x+2,则f(1)+f

'(1)=_________.

3

解析因为函数f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=

x+2,所以f(1)=

×1+2=

,f

'(1)=

,所以f(1)+f

'(1)=

+

=3.16.★★(2026届山西长治质量监测,12)曲线y=x2+

在点(1,4)处的切线的倾斜角为____________.

135°

解析由y=x2+

得y'=2x-

,则y'|x=1=2-

=-1,所以曲线在点(1,4)处的切线的倾斜角为135°.17.★★★(2026届湖北武汉华中师大一附中月考,12)若曲线y=x+2

在点(1,3)处的切线也是曲线y=lnx+x+2a的切线,则a=_________.

1

解析由y=x+2

,得y'=1+

,y'|x=1=2,故曲线y=x+2

在(1,3)处的切线方程为y=2x+1;由y=lnx+x+2a,得y'=1+

,设直线y=2x+1与曲线y=lnx+x+2a相切于点(x0,lnx0+x0+2a),则1+

=2,解得x0=1,则切点为(1,1+2a),代入切线方程得1+2a=2+1,解得a=1.18.★★★★★(2026届广东深圳中学摸底,19)已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx+b(a,b∈R).(1)当b=1时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)证明:当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与y=g(x)总存在两条公切线;(3)若直线l1,l2是曲线y=f(x)与y=g(x)的两条公切线,且l1,l2的斜率之积为1,求a,b的关系式.解析

(1)当b=1时,由f(x)≥g(x)得aex≥lnx+1,即a≥

.设F(x)=

,则F'(x)=

,设p(x)=

-lnx-1,则p'(x)=-

-

=-

<0,∴p(x)在(0,+∞)上单调递减,∴当x∈(0,1)时,p(x)>p(1)=0,此时F

'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,p(x)<p(1)=0,此时F

'(x)<0,∴F(x)在(0,1)上单