2025-2026学年暑假八年级上学期数学预习填空题（北师大版） 含答案

/2025-2026学年暑假八年级上学期数学预习填空题答案答案与试题解析一．填空题（共24小题）1．一个直角三角形的两条边分别是3cm和5cm，那么这个直角三角形的第三条边是4或cm．【分析】此题给出了直角三角形的两条边的长，利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，5cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为cm时．然后利用勾股定理即可求得答案．解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，5cm时，则该三角形的斜边的长为：＝（cm）．当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为5cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：＝4（cm），故4或．【点评】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若DC＝5，AB＝12，则△ABD的面积是30．【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得DE＝CD＝5，即可解决问题．解：作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝5，∴△ABD的面积是×AB×DE＝×12×5＝30，故30．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为25，正方形ACFG的面积为49，则正方形BDEC的面积是74．【分析】根据勾股定理得AB2+AC2＝BC2，将AB2＝25，AC2＝144代入即可求得正方形BDEC的面积．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，∵正方形ABIH的面积为25，正方形ACFG的面积为49，∴AB2＝25，AC2＝49，∴BC2＝AB2+AC2＝25+49＝74，∴正方形BDEC的面积为BC2＝74．故74．【点评】本题主要考查了勾股定理和正方形面积的表示，熟记勾股定理是解题的关键，属于基础题．4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为3．【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），故答案是：3．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．5．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为49cm2．【分析】如下图，根据正方形的面积公式等于边长的平方，四边形A的面积是a2，四边形B的面积是b2，a、b是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有a2+b2＝e2；同理，四边形C的面积是c2，四边形D的面积是d2，c、d是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有c2+d2＝f2；根据正方形的对边相等，e、f就是下面大直角三角形的直角边，根据勾股定理，得到e2+f2＝g2，g是最大的正方形边长为7cm，所以正方形A、B、C、D面积之和为7×7平方厘米．解：7×7＝49（平方厘米）答：正方形A、B、C、D面积之和为49平方厘米．故49．【点评】此题考查勾股定理问题，灵活应用勾股定理以及正方形的性质来解决问题是关键．6．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F是垂足，且AB＝17，BC＝15，则OF、OE、OD的长度分别是3．【分析】连接OB，由角平分线的性质易得OE＝OF＝OD，再利用三角形全等证明AE＝AF，CE＝CD，BD＝BF，设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝15﹣x，AF＝AE＝8﹣x，所以15﹣x+8﹣x＝17，然后求出x即可．解：如图，连接OB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17，BC＝15，∴AC＝＝＝8，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，∴OE＝OF＝OD，又∵OB是公共边，∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），∴BD＝BF，同理AE＝AF，CE＝CD，∵∠C＝90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE，∴四边形OECD是正方形，设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝15﹣x，AF＝AE＝8﹣x，∴15﹣x+8﹣x＝17，解得x＝3．∴OE＝OF＝OD＝3．故3．【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质以及正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键．7．直角三角形的两边长分别为5和3，该三角形的第三边的长为4或．【分析】根据勾股定理，分两种情况解答：（1）第三边小于5；（2）第三边大于5，再利用勾股定理求出即可．解：（1）设第三边x＜5，∴x2+32＝52，∴x2＝52﹣32＝16，解得：x＝4；（2）设第三边y＞5，∴y2＝52+32＝34．∴y＝，故该三角形的第三边的长为：4或．故4或．【点评】此题主要考查了勾股定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．8．在直角三角形ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2＝8．【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝2，∴AC2+BC2＝AB2＝4，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝4+4＝8．故8【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于D点、E点，已知AC＝8，BC＝4，则EC＝3．【分析】连接BE，设EC＝x，由线段垂直平分线的性质定理，得到BE＝AE＝8﹣x，由勾股定理，列出关于x的方程，求出x，即可解决问题．解：连接EB，设EC＝x，∴AE＝AC﹣CE＝8﹣x，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BE2＝CE2+BC2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴CE＝3．故3．【点评】本题考查勾股定理，线段垂直平分线的性质定理，关键是连接EB构造直角三角形，应用勾股定理来解决问题．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，AE与BC交于点D，CD：BD＝3：5，AC＝3，BE⊥AE，则BE的长度为．【分析】设CD＝3x，BD＝5x，过D作DH⊥AB于H，根据HL定理证得Rt△ACD≌Rt△AHD，得到AH＝AC＝3，由勾股定理得到BH＝4x，再根据勾股定理求出x，进而求出AD，根据三角形的面积公式即可求得BE．解：设CD＝3x，BD＝5x，过D作DH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，∴DH＝CD＝3x，在Rt△ACD和Rt△AHD中，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH＝AC＝3，在Rt△BDH中，BH＝＝4x，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，∴（3+4x）2＝（5x+3x）2+32，解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝，∴BH＝2，DH＝CD＝，∴AB＝5，∴AD＝＝＝，∵S△ABD＝AB•DH＝AD•BE，∴BE＝＝＝，故．【点评】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，根据勾股定理构造方程是解决问题的关键．11．一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为150．【分析】先根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．解：∵152+202＝252，∴该三角形是直角三角形，∴其面积＝×15×20＝150．故答案为150．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及三角形面积的综合运用能力，难度适中．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8．【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AB＝3，S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，∴AB＝＝＝3，S△ABC＝AB•BC＝6．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB＝AP＝3时，如图①所示，S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，∴AD＝DP＝＝1.8，∴AP＝2AD＝3.6，∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；③当CB＝CP＝4时，如图③所示，S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8；④当BP＝CP时，点P在线段BC的垂直平分线上，根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点，∴BP是Rt△ABC斜边上的中线，∴BP＝AP，此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．故答案为3.6或4.32或4.8．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．13．一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是54．【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．解：设三角形的三边是3x：4x：5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴此三角形是直角三角形，∵它的周长是36，∴3x+4x+5x＝36，∴3x＝9，4x＝12，∴三角形的面积＝×9×12＝54，故54．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．14．已知△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，则最长边上的高为4.8．【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠A＝90°，再根据直角三角形的面积公式求出答案即可．解：∵AB＝8，AC＝6，BC＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠A＝90°，设△ABC最长边（斜边BC）上的高是h，则△ABC的面积S＝＝，∴＝h，解得：h＝4.8，即最长边上的高是4.8，故4.8．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出∠A＝90°是解此题的关键．15．有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是16或34．【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52＝34；当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52﹣32＝25﹣9＝16；故答案是：16或34．【点评】本题考查了勾股定理，分两种情况讨论是关键．16．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：11，60，61．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，故11，60，61．【点评】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．17．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：11，60，61．【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为x+1，根据勾股定理的逆定理，得：112+x2＝（x+1）2，解得x＝60．则得第5组数是：11，60，61．故11，60，61．【点评】本题考查了勾股数，关键是根据给出的数据找出规律是本题解题关键．18．若在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是90度．【分析】根据题意，画出图形，根据中线的定义，求出BD，由勾股定理的逆定理判断出△ABD为直角三角形，从而求得∠ADC的度数．解：∵AB＝5cm，BC＝6cm，AD＝4cm，又∵AD为BC边上的中线，∴BD＝6×＝3，∴AB2＝AD2+BD2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠ADC的度数是90度．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．19．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要17m．【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米．解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形的长为＝12米，∴地毯的长度为12+5＝17米．故17．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．20．如图所示，圆柱的高和底面的周长都为8，当AP＝1时，点P由此出发．沿着圆柱的侧面移动到CD的中点S，则点P与点S之间的最短距离是5．【分析】过P作PE⊥CD于E，根据勾股定理求出PS的长即可．解：如图所示，过P作PE⊥CD于E，∴DE＝AP＝1，PE＝AD＝4，∵圆柱的高和底面的周长都为8，∴AD＝4，∵S是CD的中点，∴SD＝4，∴PS＝＝5，故5．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，根据勾股定理求解即可．21．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为8cm，底面半径为cm，那么最短的路线长是10cm．【分析】首先根据画出示意图，连接AB，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，AC＝×底面圆的周长，再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AB的长即可．解：连接AB，∵圆柱的底面半径为cm，∴AC＝×2•π•＝6（cm），在Rt△ACB中，AB2＝AC2+CB2＝36+64＝100，∴AB＝10cm，即最短的路线长是10cm；故10cm．【点评】此题主要考查了圆柱的平面展开图，最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．22．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为4.5米．【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COG＝∠OAF，在△AOF与△OCG中，，∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG＝AF＝BD＝4米，设AO