湖北省孝感市重点高中教科研协作体2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页湖北省孝感市重点高中教科研协作体2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．设i为虚数单位，复数z满足，则（

）A． B． C． D．2．己知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（

）A． B． C． D．或3．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0-9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：102

798

391

925

173

845

812

529

769

683231

307

592

027

516

588

730

113

977

539则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（

）A． B． C． D．4．已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（

）A． B．4 C． D．35．从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（

）A． B．C． D．6．设向量，其中O为坐标原点，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．97．如图，正四棱台中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列判断中，正确的是（

）A．B，D，E，G共面 B．平面 C．平面 D．平面8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点P为椭圆C的上顶点，直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的短轴长为（

）A．2 B．4 C．3 D．6二、多选题9．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为偶数”，则（

）A．A与B互斥 B． C．A与C相互独立 D．10．圆和圆的交点为A，B，则有（

）A．公共弦所在直线方程为B．过上任意一点P作圆的切线，则切线长的最小值为C．公共弦的长为D．圆与圆C关于直线11．已如椭圆的左，右两焦点分别是，其中，直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（

）A．若，则B．若的中点为M，则C．的最小值为D．若，则椭圆的离心率的取值范围是12．正方体的棱长为2，动点P，Q分别在棱上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设，，其中，下列命题正确的是（

）A．当时，S的面积为B．当时，S为等腰梯形C．当时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值D．当时，S为矩形，其面积最大值为三、填空题13．已知向量，且，则．14．函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是．15．排球比赛的规则是5局3胜制，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，若前2局结束后乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是．四、双空题16．已知正方体的所有顶点均在体积为的球O上，则该正方体的棱长为，若动点P在四边形内运动，且满足直线与直线所成角的正弦值为，则的最小值为．五、解答题17．如图，在空间四边形中，己知E是线段的中点，G在上，且．(1)试用表示向量；(2)若，求的值．18．已知圆C的圆心为，直线与圆C相切．(1)求圆C的方程；(2)若直线l过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程．19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；(2)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．20．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积．(1)求A；(2)求周长的取值范围．21．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，O为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)线段上是否存在Q，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

参考答案1．【答案】B【分析】利用复数的代数运算法则，即可求出，再根据共轭复数的定义即可求得答案.【详解】，则=.故选：B2．【答案】A【分析】结合已知条件，利用直线间平行关系求出参数，然后利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】因为直线：与直线：平行，且，所以，即，此时直线：，：，即，由平行线间的距离公式可知，.故选：A.3．【答案】D【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的可以通过列举得到共5组随机数：798，769、588、977，共4组随机数，所求概率为，故选：D．4．【答案】A【分析】根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为，又为直线外一点，且直线过点，，，点到直线的距离为故选：A．5．【答案】C【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可.【详解】原点到直线的距离为不是定值，故A错误；原点到直线的距离为不是定值，故B错误；原点到直线的距离为定值，故C正确；原点到直线的距离为不是定值，故D错误；故选：C.6．【答案】D【分析】由，，的坐标，写出，的坐标，由A，B，C三点共线，得，共线，得，利用基本不等式求出的最小值.【详解】因为，，，所以，，又因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，得，又因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故选：D.7．【答案】D【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得.【详解】延长正四棱台的侧棱相交于，则三棱锥为正四棱锥，连接，因为，所以四点共面，由异面直线的定义知，直线与直线是异面直线，故B，D，E，G不共面，A不正确；因为分别是棱的中点，所以，由正棱锥的性质可知，所以，即平面，故B不正确；因为点分别是棱的中点，所以，，设，由正棱台的性质知，平面，平面，∴，平面，平面，∴平面，显然平面与平面不平行，故C不正确；因为，平面，平面，所以平面，故D正确.故选：D.8．【答案】B【分析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出短轴长．【详解】椭圆的面积，即①因为点P为椭圆C的上项点，所以因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②②联立解得：．所以椭圆C的短轴长为．故选：B9．【答案】BCD【分析】利用古典概型的概率公式求出、，即可判断B；根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D.【详解】解：由题意可得，，所以，故B正确；因为事件、可以同时发生或都不发生，故两事件不是互斥事件，故A错误；因为事件、互不影响，所以、为相互独立事件，则，因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以，又，所以与相互独立，故C正确；事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，它的对立事件为第一次奇数且第二次都是偶数，所以，故D正确.故选：BCD.10．【答案】ABD【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B选项，设上任意一点P为，设切点为，则，即可求出切线长的最小值；C选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；D选项，求出直线的斜率和中点即可验证.【详解】因为圆：和圆的交点为A，B，作差得，所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故A正确；设上任意一点P为，过点作圆的切线，则，设切点为，则，当时，.所以B正确.圆化为标准方程为：，则圆的圆心为，半径.圆心到直线的距离，圆与圆的公共弦AB的长为，故C错误；圆的圆心为，圆化为标准方程为，圆心若圆与圆C关于直线，则则关于直线的对称点为，则，的中点为在直线上，所以圆与圆C关于直线.故选：ABD.11．【答案】BD【分析】对于A，C，根据直恒过定点，结合椭圆的定义即可判断；对于B，用点差法即可得到结果；对于D，根据向量的坐标运算，结合椭圆的定义及离心率的定义代入计算即可判断.【详解】对于选项A，直线恒过点，即左焦点，由椭圆的定义可知：的周长为：，∴所以A不正确对于选项B，设，所以有，两式作差可得设，因为的中点为M，所以，因此，所以B正确；对于选项C，因为直线过定点，但是不包括直线，因为只有当时，才有最小值，所以C不正确；对于选项D，，而，所以，显然而，所以，故D正确，故选：BD12．【答案】BCD【分析】根据正方体截面的特征，结合各个选项逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：对于A，当时，为的中位线，，∵，∴，∴S为等腰梯形，过P作于E，如图，∴，∴，∴，∴，故A不正确；对于B，当时，，即，∵，∴，∴S为等腰梯形，故B正确；对于C，当时，以为顶点，S为底面的棱锥为，当时，以为定点，S为底面的棱锥为，如图，，故C正确；对于D，当时，点P与点B重合，∴，如图，此时S为矩形，当点Q与点重合时，S的面积最大，，故D正确.故选：BCD.13．【答案】10【分析】应用向量线性运算的坐标表示得，再由向量垂直有，应用坐标表示求参数x，即得坐标，应用坐标公式求其模长.【详解】由题设，，又，所以，可得，则，故.故答案为：14．【答案】【分析】画出函数的图象与函数的图象，结合图象求得的取值范围.【详解】解：，即，即，表示圆心在原点，半径为的圆在轴上方的部分（含点），画出函数的图象与函数的图象如下图所示，由消去并化简得，令，解得，由于函数的图象与函数的图象有两个交点，结合图象可知，的取值范围是，即.故答案为：15．【答案】【分析】最后乙队获胜，则需要在剩下的三局比赛中赢一局，分情况计算概率即可.【详解】最后乙队获胜，则需要在剩下的三局比赛中赢一局即可．若第三局乙队获胜，其概率为；若第三局乙队负，第四局乙队获胜，其概率为；若第三､四局乙队负，第五局乙队获胜，其概率为．所以最后乙队获胜的概率为．故答案为：．16．【答案】

2

【分析】先利用正方体体对角线与外接球半径的关系求得正方体的棱长，再由题设条件推得，即点的轨迹是一段弧，从而求得，进而可得的最小值.【详解】设正方体的棱长为，球的半径为，则由得，所以，故，因为，所以与所成角的正弦值也是，即，又因为面，面，所以，故，即，解得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆与四边形内的一段弧，如图所示，设正方形的中点为，连接，因为，所以，所以，即.故答案为：；..17．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得．【详解】（1）∵，∴，∴又∴（2）由（1）可得知．18．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】（1）因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即圆心到直线的距离为∴圆C的方程为：；（2）当l斜率不存在时，l的方程为，易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；当l斜率存在时，设l的方程为，则．又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则，所以，解得，所以直线l的方程为．综上：l的方程为或19．【答案】(1)，第80百分位数为86，平均数为74；(2)，.【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；（2）由和组的平均数和方差即可求得总平均数和总方差.【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1，∴解得：成绩落在内的频率为．落在内的频率为．设第80百分位数为m由，得，故第80百分位数为86.设平均数为，由图中数据可知：.（2）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为．故,.所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．20．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面积公式结合正弦定理、余弦定理得到，得到；（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式得到，结合，求出周长的取值范围；法二：由正弦定理化边为角，结合三角函数恒等变换得到，由，得到，求出周长的取值范围.【详解】（1）由题意得：，由正弦定理得：，根据余弦定理可知，又所以，得，因为，所以；（2）法一：，因为，即，即，解得：，当时等号成立，又，所以，所以，综上，周长的取值范围．方法二：=由正弦定理．∴又．∴∵，∴∴，∴，∴．综上