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文档简介

INNOVATIVE

DESIGN

第四章三角函数、解三角形

第4节简单的三角恒等变换

课标要求

1.会根据相关公式进行化简和求值.

2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.

索引

内容索引

01考点聚焦突破

02课时对点精练

索引

01考点聚焦突破

考点一三角函数式的化简

例1(1)(2026·哈尔滨调研)若<θ<,则等于(A)

��������

���+��+�𝐜��

A.sinB.cos

��

C.-s�inD.-c�os

��

��

∵<θ<,

����

∴�<<�,<<,

����������

������

索引

∴cosθ>0,cos<0,sin>0,

��

∴=��=

���+𝐜����

=-�c+os�,𝐜���𝐜��

∴=�

�����−𝐜��

�+��+�𝐜���

==sin.

���

𝐬���

索引

(2)·=____________.

���2

𝐭�

�−𝐭�

��+𝐭��·𝐭�

�𝐬�

原式=��·�

𝐜�

�𝐬�

�𝐬��𝐬��

���

𝐬�

�−𝐜�

��+𝐜��·𝐜��

����·��

𝐜��−𝐬��𝐜��𝐜��+𝐬��𝐬�

���

𝐬��𝐜��𝐜��𝐜��

=·�=.

�𝐜��𝐜���

𝐬��𝐜��𝐜��𝐬��

索引

感悟提升

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构

与特征.

2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、

互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

索引

训练1(1)2+等于(B)

A.2cos2�+𝐬���+�𝐜��B.2sin2

C.4sin2+2cos2D.2sin2+4cos2

2+

=2�+𝐬���+�𝐜��+

���

=2𝐬��+�𝐬���+���+𝐜���+�(�𝐜��−�)

=++��

2|si(n��2��c+os�2�|��2)|cos2�|.𝐜��

索引

∵<2<π,∴cos2<0,

∵s�in2+cos2=sin,<2+<π,

���

∴sin2+cos2>0,

��+���

∴原式=2(sin2+cos2)-2cos2=2sin2.

索引

-cosθ

(2)已知0<θ<π,则��=____________.

(�+𝐬��+𝐜��)𝐬�

�−𝐜�

�+�𝐜��

原式=

������

�𝐬�

�𝐜�

�+�𝐜��𝐬�

�−𝐜�

��

�𝐜��

=�����

�𝐜�

�𝐬�

�+𝐜�

�𝐬�

�−𝐜�

�𝐜�

=�=-cosθ.

−�𝐜�

�𝐜��

�𝐜�

索引

考点二三角函数式的求值

角度1给角求值

例2(1)(2026·南昌调研)等于(C)

𝐜���°+𝐬���°𝐬���°

𝐜���°

A.B.

��

��

C.D.1

𝐜���°+𝐬���°𝐬���°𝐜�(��°+��°)+𝐬���°𝐬���°

𝐜���°𝐜���°

===cos30°=.

𝐜���°𝐜���°−𝐬���°𝐬���°+𝐬���°𝐬���°𝐜���°𝐜���°�索引

𝐜���°𝐜���°�

(2)tan70°·cos10°(tan20°-1)=___-_1_____.

tan70°·cos10°(tan20°-1)=·cos10°

𝐬𝐢�°𝐬���°

=�=×𝐜�2�s�i°n(20°-30°�·)=𝐜���°−�=-

𝐜���°𝐜���°(�𝐬���°−𝐜���°)𝐜���°−�𝐜���°𝐬���°

=-1𝐜.���°𝐬���°𝐬���°𝐬���°

𝐬���°

𝐬���°

索引

角度2给值求值

例3(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tanα+tanβ=

,=+,则+=-

4tanαtanβ1sin(αβ)____�__�______.

由题知tan(α+β)===-2,

𝐭��+𝐭���

即sin(α+β)=-2�−c�o�s�(�α·�+��β�),�−�−��

又2++2+=,

sin(αβ)cos(�αβ)1

可得sin(α+β)=±.

��

索引

由2kπ<α<2kπ+,k∈Z,

2mπ+π<β<2mπ�+,m∈Z,

��

得2(k+m)π+π<α+�β<2(k+m)π+2π,

k+m∈Z.

又tan(α+β)<0,

所以α+β是第四象限角,

故sin(α+β)=-.

��

索引

新高考卷改编已知-=,=,则+=

(2)(2023·Ⅰ)sin(αβ)cosαsinβcos(2α2β)__1.

��

��9

法一依题意,得�

𝐬��𝐜��−𝐜��𝐬��=�,

所以sinαcosβ=,𝐜��𝐬��=�,

所以sin(α+β)=s�inαcosβ+cosαsinβ=+=,

���

所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2�×�=�.

���

��

索引

法二(积化和差公式)由条件,知

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

=�=,

���

解�得�si�n�((α�++β)�=)−,��

则+=+=-2+

cos(2α2β)�cos2(αβ)12sin(αβ)

=1-2×=.

���

��

索引

和差化积与积化和差教考衔接

1.教材母题人教A必修一P225例8与P226练习T4,T5题给出了两组公式:

(1)积化和差公式:

①sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],

②cosαsinβ=�[sin(α+β)-sin(α-β)],

③cosαcosβ=�[cos(α+β)+cos(α-β)],

④sinαsinβ=-�[cos(α+β)-cos(α-β)].

索引

(2)和差化积公式:

①sinθ+sinφ=2sincos,

�+��−�

②sinθ-sinφ=2cos�sin�,

�+��−�

③cosθ+cosφ=2cos�cos�,

�+��−�

④cosθ-cosφ=-2sin�sin�.

�+��−�

2.应用上述公式可实现三�角函数�式的积与和的相互转化.

索引

典例(1)sin20°+sin40°-sin80°=_____0_______;

sin20°+sin40°-sin80°

=2sin30°·cos10°-cos10°

=cos10°-cos10°=0.

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(2)(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=____________.

3

4

(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°

=(-2cos30°sin10°)2+(sin70°-sin30°)

=3sin210°+sin70°-�

��

=(1-cos20°�)+sin70�°-

���

=�-cos20°+�cos20°-�

����

=�.���

索引

角度3给值求角

例4已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-,则2α+β的值为(A)

��

���

A.B.πC.D.

������

���

因为α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-,

��

所以sinα=,cosα=,s�in(α+β)=,��

����

α∈,α�+β∈�,��

��

�,��,�

索引

所以2α+β∈,则sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cosα+

���

cos(α+β)sinα�,�

=×-×=,

������

所以��2α+�β=��,�故选�A.

��

索引

感悟提升

1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理,看需要求相关角的哪些三角函

数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入即可.

2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但

仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系,解题时,要利用观察得到

的关系,结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.

索引

感悟提升

3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.

遵照以下原则:

(1)已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;

若角的范围是,选正、余弦皆可;

(2)若角的范围是�,(�0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.

��

−�,�

索引

训练2(1)(2026·深圳模拟)已知=3,则=(C)

𝐬�(�+�)𝐭��

𝐬�(�−�)𝐭��

A.B.

��

C.2�D.�3

因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,

=3,

𝐬�(�+�)

�所��以(�−s�in)αcosβ+cosαsinβ=3sinαcosβ-3cosαsinβ,

即4cosαsinβ=2sinαcosβ,则=2.

𝐭��

𝐭��

索引

(2)(2025·九江模拟)已知cos=,则sin等于(C)

����

���

A.-+�B.+��

��

C.-��D.��

����

����

法一因为cos=,

��

所以sin�+=�sin�

����

=cos�+�=�2cos2�+�-+1�=�2×-1=-.

������

�+���+����

索引

法二(换元法)

令t=+α,则α=t-,cost=,

���

���

所以sin=sin

�����

�+���+��−�

=sin=cos2t=2cos2t-1=-.

���

�+����

索引

(3)(2025·北京卷)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α

答案不唯一答案不唯一

-,写出满足条件的一组=(),=()

β)α_�_____________β_�_____________.

��

因为sin(α+β)=sin(α-β),

cos(α+β)≠cos(α-β),

所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合,

故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠+mπ,m∈Z,

即α=+kπ,k∈Z,�

故取α=�,β=可满足题设要求.

��

��

索引

考点三三角恒等变换的综合应用

例5(2026·重庆调研)设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=sin.

(1)求函数f(x),g(x)的解析式;��+�

∵f(x)+g(x)=sin=sinx+cosx,①

∵f(x)为奇函数,�g(x)�为+偶�函数,

∴f(-x)+g(-x)=sin(-x)+cos(-x),

即-f(x)+g(x)=-sinx+cosx,②

联立①②,解得f(x)=sinx,g(x)=cosx.

索引

(2)设h(x)=f·g(x),x∈.当h(x)=时,求x的值.

���

�+��,��

∵h(x)=sin·cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+(1+cos2x)

�����

=sin�++�,����

���

当h�(x)=��+时�,sin�+=,得sin=.

�������

∵0≤x≤�,∴�≤2x�+�+≤�,����+��

�����

∴2x+=�或�,∴x�=0或�x=.

�����

����

索引

感悟提升

1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的

关系;注意公式的逆用和变形使用.

2.形如y=asinx+bcosx化为y=·sin(x+φ),可进一步研究函数的

性质��

.�+�

索引

训练3已知f(x)=sin+2sin·cos.

����

��−���−��+�

(1)求f的值;

由题意得

f(x)=sin+2sincos

����

=sin��−-�2sin��−co�s�+�

����

=sin��−�-2�sin�−�cos�−�+�

���

��−���−��−�

索引

=sin-sin

��

=sin2�x�co−s�-cos�2xsin��+−�cos2x

��

=sin2x+�cos2x��

��

=s�in�,

故f�=�s+in�=0.

���

���+�

索引

(2)若锐角α满足f(α)=,求sin2α的值.

∵α∈,∴2α+∈,

�����

又∵f(α�)=,�,∴f(α)=�sin�,�=,

���

又∵sin�=<,��+��

���

∴2α+∈��+�,��

���

��,�

索引

∴cos=-=-,

���

∴sin2�α�=+sin��−��

��

=sinco�s�+-�cos−�sin

����

=×��++�×=��.�+��

�����+��

�����

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02课时对点精练

一、单选题

1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0,π),cos(π-α)=-,则sin=(A)

�+��

A.B.��

�−��+�

C.�D.�

�−��+�

��

因为α∈(0,π),cos(π-α)=-,所以cosα=,

�+��+�

所以α为锐角,则cosα=1-2sin2�=,�

��+�

��

解得sin===.

��−�(�−�)�−�

�����

1234567891011121314索引

2.=(A)

𝐬��°+�𝐜��°

A.�𝐜���°B.1

C.D.

��

��

=��===.

𝐬��°+�𝐜��°��𝐬��°+�𝐜��°�𝐬�(�°+��°)�𝐬���°

�𝐜���°�𝐜���°�𝐜���°�𝐜���°�

1234567891011121314索引

3.化简等于()

�A

�𝐜��−�

���

A.1�𝐭��−�·𝐬��+�B.-1

C.cosαD.-sinα

原式===

���

�𝐜��−��𝐜��−��𝐜��−�

�𝐬�−����

����𝐬�−�·𝐜�−�𝐬�−��

����

𝐜�−�·𝐬��+�

==1�.

𝐜���

𝐜���

1234567891011121314索引

4.已知tanα,tanβ是方程x2-4x-3=0的两根,且α,β∈,则α+β的值

为(C)�,�

A.B.

���

C.�D.�

����

��

由题意,

𝐭��+𝐭��=�,

则+==

=,

tan(αβ�)���·𝐭��=−�,1

𝐭��+𝐭���

因α,β∈�−,𝐭则��·π𝐭<�α�+β�<−2(π−,�)故α+β=.

���

�,��

1234567891011121314索引

5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos=,则sin等于(B)

���

A.-�+��B.��−�

��

C.�D.�-

��

����

∵cos=,

��

可得sin�+��=-cos

���

=-cos��−�=1-2co�s+2��−=�1-2×=.

����

��+��+����

1234567891011121314索引

6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α-β)=-,tan=,则cos2α=(D)

���

���

A.-B.�+

����

C.-���D.���

����

������

tan==,解得tanβ=-,

�𝐭��+���

��−𝐭����

又tan�(α+-β)==�=-,解得tanα=-,

𝐭��−𝐭��𝐭��+����

�+𝐭��𝐭���−�𝐭�����

22

所以cos2α=cosα-sinα===���=.

���

𝐜��−𝐬���−𝐭���−−����

����

𝐜��+𝐬���+𝐭�������

�+−��

1234567891011121314索引

7.(2026·安徽A10联盟质检)已知2sinα-cosβ=,sinβ-2cosα=2,sin(α-β)

=,则=(C)�

�𝐭��

�𝐭��

A.B.7

C.-�D.-7

由2sinα-cosβ=得cos2β-4cosβsinα+4sin2α=2;①

由sinβ-2cosα=2得sin2β-4sinβcosα+4cos2α=4,②

①+②得sinαcosβ+cosαsinβ=-,

由sin(α-β)=得sinαcosβ-cosα·s�inβ=,

��

1�2345678910111213�14索引

则有�

𝐬��𝐜��+𝐜��𝐬��=−�,

𝐬��𝐜��−𝐜��𝐬��=�,

则�∴=𝐬��

𝐬��𝐜��=��,𝐭��𝐜��

�𝐬��

𝐭��𝐜��

=𝐜���=��-�=.故−选��C,.

𝐬��𝐜���

𝐜��𝐬���

1234567891011121314索引

二、多选题

8.(2026·岳阳质检)计算下列各式,结果为的是(BC)

A.sin15°cos15°�B.cos215°-sin215°

C.D.

𝐭���°�+𝐭���°

�−𝐭���°�−𝐭���°

对于A,sin15°cos15°=sin30°=,故A错误;

��

对于B,cos215°-sin215°�=cos30°=�,故B正确;

1234567891011121314索引

对于C,=�=,故C正确;

𝐭���°��

��

�−𝐭���°��

对于D,=�−�=

�+𝐭���°𝐭���°+𝐭���°

°+°=°=,故错误

tan(45�−�1�5���°)t�a−n��6�0��°·𝐭���°D.

1234567891011121314索引

9.(2026·武汉阶段考)已知0<β<α<,且sin(α-β)=,tanα=5tanβ,则(BC)

��

��

A.sinαcosβ=B.sinβcosα=

��

���

C.sin2αsin2β=D.α+β=

��

���

∵tanα=5tanβ,即=,

𝐬���𝐬��

∴sinαcosβ=5cosαs�i�n��β,𝐜��

∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

=4cosαsinβ=,

1234567891011121314索引

∴sinβcosα=,B正确;

sinαcosβ=,��A错误;

sin2αsin2β=��2sinαcosα·2sinβcosβ=4sinαcosβ·sinβcosα=4××=,

正确���

C;������

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα=+=,

���

∵0<β<α<,�����

∴0<β+α<�,

∴α+β=,�

D错误.故选�BC.

1234567891011121314索引

三、填空题

10.已知α∈,若sin+cos=0,则α=______�______.

������

�,��+���−�

由sin+cos

���

�+���−�

=-cos2α+(cosα+sinα)=0,

所以cos2α=c�os2α-sin2α

=(cosα+sinα)(cosα-sinα)

=(cosα+sinα),

1234567891011121314索引

又α∈,

�,�

所以cosα-sinα=,得cos=,

���

��+��

而α+∈,

����

所以α+�=�,�,得α=.

���

����

1234567891011121314索引

11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,则tan=

-��

____________.

��

���+

由tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,

则tanα=tan[(2α-β)-(α-β)]==�=-,

𝐭�(��−�)−𝐭�(�−�)�−��

�+𝐭�(��−�)𝐭�(�−�)�+�×��

所以tan2α==�=-,

�𝐭���×−��

��

�−𝐭����

�−−�

则tan=�=�=-.

�𝐭���+𝐭��−�+��

��

��+��−𝐭���𝐭���−−�×��

1234567891011121314索引

已知,均为锐角,=,=,则=,-=

12.αβcosαsinβcos2α___�___2αβ

����

__________.

����

因为cosα=,

��

所以cos2α=�2cos2α-1=.

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