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文档简介
INNOVATIVE
DESIGN
第四章三角函数、解三角形
第4节简单的三角恒等变换
数
学
高
考
总
复
习
课标要求
1.会根据相关公式进行化简和求值.
2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
索引
内容索引
01考点聚焦突破
02课时对点精练
索引
01考点聚焦突破
考点一三角函数式的化简
例1(1)(2026·哈尔滨调研)若<θ<,则等于(A)
��������
���+��+�𝐜��
A.sinB.cos
��
C.-s�inD.-c�os
��
��
∵<θ<,
����
∴�<<�,<<,
����������
������
索引
∴cosθ>0,cos<0,sin>0,
��
∴=��=
���+𝐜����
=-�c+os�,𝐜���𝐜��
�
�
∴=�
�����−𝐜��
�+��+�𝐜���
==sin.
���
𝐬���
索引
(2)·=____________.
���2
�
𝐭�
�−𝐭�
��+𝐭��·𝐭�
�𝐬�
�
原式=��·�
𝐜�
�𝐬�
�𝐬��𝐬��
���
𝐬�
�−𝐜�
��+𝐜��·𝐜��
=
����·��
𝐜��−𝐬��𝐜��𝐜��+𝐬��𝐬�
�
���
𝐬��𝐜��𝐜��𝐜��
=·�=.
�𝐜��𝐜���
�
𝐬��𝐜��𝐜��𝐬��
索引
感悟提升
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构
与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、
互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
索引
训练1(1)2+等于(B)
A.2cos2�+𝐬���+�𝐜��B.2sin2
C.4sin2+2cos2D.2sin2+4cos2
2+
=2�+𝐬���+�𝐜��+
���
=2𝐬��+�𝐬���+���+𝐜���+�(�𝐜��−�)
=++��
2|si(n��2��c+os�2�|��2)|cos2�|.𝐜��
索引
∵<2<π,∴cos2<0,
�
∵s�in2+cos2=sin,<2+<π,
���
∴sin2+cos2>0,
��+���
∴原式=2(sin2+cos2)-2cos2=2sin2.
索引
-cosθ
(2)已知0<θ<π,则��=____________.
(�+𝐬��+𝐜��)𝐬�
�−𝐜�
�
�+�𝐜��
原式=
������
�𝐬�
�𝐜�
�+�𝐜��𝐬�
�−𝐜�
�
��
�𝐜��
=�����
�𝐜�
�𝐬�
�+𝐜�
�𝐬�
�−𝐜�
�
�
�𝐜�
�
=�=-cosθ.
−�𝐜�
�𝐜��
�
�𝐜�
�
索引
考点二三角函数式的求值
角度1给角求值
例2(1)(2026·南昌调研)等于(C)
𝐜���°+𝐬���°𝐬���°
𝐜���°
A.B.
��
��
C.D.1
�
�
=
𝐜���°+𝐬���°𝐬���°𝐜�(��°+��°)+𝐬���°𝐬���°
𝐜���°𝐜���°
===cos30°=.
𝐜���°𝐜���°−𝐬���°𝐬���°+𝐬���°𝐬���°𝐜���°𝐜���°�索引
𝐜���°𝐜���°�
(2)tan70°·cos10°(tan20°-1)=___-_1_____.
�
tan70°·cos10°(tan20°-1)=·cos10°
𝐬𝐢�°𝐬���°
=�=×𝐜�2�s�i°n(20°-30°�·)=𝐜���°−�=-
𝐜���°𝐜���°(�𝐬���°−𝐜���°)𝐜���°−�𝐜���°𝐬���°
=-1𝐜.���°𝐬���°𝐬���°𝐬���°
𝐬���°
𝐬���°
索引
角度2给值求值
例3(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tanα+tanβ=
,=+,则+=-
4tanαtanβ1sin(αβ)____�__�______.
�
�
由题知tan(α+β)===-2,
𝐭��+𝐭���
即sin(α+β)=-2�−c�o�s�(�α·�+��β�),�−�−��
又2++2+=,
sin(αβ)cos(�αβ)1
可得sin(α+β)=±.
��
�
索引
由2kπ<α<2kπ+,k∈Z,
�
2mπ+π<β<2mπ�+,m∈Z,
��
得2(k+m)π+π<α+�β<2(k+m)π+2π,
k+m∈Z.
又tan(α+β)<0,
所以α+β是第四象限角,
故sin(α+β)=-.
��
�
索引
新高考卷改编已知-=,=,则+=
(2)(2023·Ⅰ)sin(αβ)cosαsinβcos(2α2β)__1.
��
��9
法一依题意,得�
𝐬��𝐜��−𝐜��𝐬��=�,
�
所以sinαcosβ=,𝐜��𝐬��=�,
�
所以sin(α+β)=s�inαcosβ+cosαsinβ=+=,
���
所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2�×�=�.
���
��
索引
法二(积化和差公式)由条件,知
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
�
=�=,
���
解�得�si�n�((α�++β)�=)−,��
�
则+=+=-2+
cos(2α2β)�cos2(αβ)12sin(αβ)
=1-2×=.
���
��
索引
和差化积与积化和差教考衔接
1.教材母题人教A必修一P225例8与P226练习T4,T5题给出了两组公式:
(1)积化和差公式:
①sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],
�
②cosαsinβ=�[sin(α+β)-sin(α-β)],
�
③cosαcosβ=�[cos(α+β)+cos(α-β)],
�
④sinαsinβ=-�[cos(α+β)-cos(α-β)].
�
�
索引
(2)和差化积公式:
①sinθ+sinφ=2sincos,
�+��−�
②sinθ-sinφ=2cos�sin�,
�+��−�
③cosθ+cosφ=2cos�cos�,
�+��−�
④cosθ-cosφ=-2sin�sin�.
�+��−�
2.应用上述公式可实现三�角函数�式的积与和的相互转化.
索引
典例(1)sin20°+sin40°-sin80°=_____0_______;
sin20°+sin40°-sin80°
=2sin30°·cos10°-cos10°
=cos10°-cos10°=0.
索引
(2)(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=____________.
3
4
(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°
=(-2cos30°sin10°)2+(sin70°-sin30°)
�
=3sin210°+sin70°-�
��
=(1-cos20°�)+sin70�°-
���
=�-cos20°+�cos20°-�
����
=�.���
�
�
索引
角度3给值求角
例4已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-,则2α+β的值为(A)
��
���
A.B.πC.D.
������
���
因为α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-,
��
所以sinα=,cosα=,s�in(α+β)=,��
����
α∈,α�+β∈�,��
��
�,��,�
索引
所以2α+β∈,则sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cosα+
���
cos(α+β)sinα�,�
=×-×=,
������
所以��2α+�β=��,�故选�A.
��
�
索引
感悟提升
1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理,看需要求相关角的哪些三角函
数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但
仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系,解题时,要利用观察得到
的关系,结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
索引
感悟提升
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.
遵照以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;
若角的范围是,选正、余弦皆可;
�
(2)若角的范围是�,(�0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.
��
−�,�
索引
训练2(1)(2026·深圳模拟)已知=3,则=(C)
𝐬�(�+�)𝐭��
𝐬�(�−�)𝐭��
A.B.
��
C.2�D.�3
因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
=3,
𝐬�(�+�)
�所��以(�−s�in)αcosβ+cosαsinβ=3sinαcosβ-3cosαsinβ,
即4cosαsinβ=2sinαcosβ,则=2.
𝐭��
𝐭��
索引
(2)(2025·九江模拟)已知cos=,则sin等于(C)
����
���
A.-+�B.+��
��
C.-��D.��
����
����
法一因为cos=,
��
所以sin�+=�sin�
����
=cos�+�=�2cos2�+�-+1�=�2×-1=-.
������
�+���+����
索引
法二(换元法)
令t=+α,则α=t-,cost=,
���
���
所以sin=sin
�����
�+���+��−�
=sin=cos2t=2cos2t-1=-.
���
�+����
索引
(3)(2025·北京卷)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α
答案不唯一答案不唯一
-,写出满足条件的一组=(),=()
β)α_�_____________β_�_____________.
��
因为sin(α+β)=sin(α-β),
cos(α+β)≠cos(α-β),
所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合,
故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠+mπ,m∈Z,
�
即α=+kπ,k∈Z,�
�
故取α=�,β=可满足题设要求.
��
��
索引
考点三三角恒等变换的综合应用
例5(2026·重庆调研)设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=sin.
�
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;��+�
∵f(x)+g(x)=sin=sinx+cosx,①
�
∵f(x)为奇函数,�g(x)�为+偶�函数,
∴f(-x)+g(-x)=sin(-x)+cos(-x),
即-f(x)+g(x)=-sinx+cosx,②
联立①②,解得f(x)=sinx,g(x)=cosx.
索引
(2)设h(x)=f·g(x),x∈.当h(x)=时,求x的值.
���
�+��,��
∵h(x)=sin·cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+(1+cos2x)
�����
=sin�++�,����
���
当h�(x)=��+时�,sin�+=,得sin=.
�������
∵0≤x≤�,∴�≤2x�+�+≤�,����+��
�����
∴2x+=�或�,∴x�=0或�x=.
�����
����
索引
感悟提升
1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的
关系;注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y=asinx+bcosx化为y=·sin(x+φ),可进一步研究函数的
性质��
.�+�
索引
训练3已知f(x)=sin+2sin·cos.
����
��−���−��+�
(1)求f的值;
�
�
由题意得
f(x)=sin+2sincos
����
=sin��−-�2sin��−co�s�+�
����
=sin��−�-2�sin�−�cos�−�+�
���
��−���−��−�
索引
=sin-sin
��
=sin2�x�co−s�-cos�2xsin��+−�cos2x
��
=sin2x+�cos2x��
��
=s�in�,
�
故f�=�s+in�=0.
���
���+�
索引
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin2α的值.
�
�
∵α∈,∴2α+∈,
�����
又∵f(α�)=,�,∴f(α)=�sin�,�=,
���
又∵sin�=<,��+��
���
∴2α+∈��+�,��
���
��,�
索引
∴cos=-=-,
�
���
∴sin2�α�=+sin��−��
��
=sinco�s�+-�cos−�sin
����
=×��++�×=��.�+��
�����+��
�����
索引
02课时对点精练
一、单选题
1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0,π),cos(π-α)=-,则sin=(A)
�+��
A.B.��
�−��+�
C.�D.�
�−��+�
��
因为α∈(0,π),cos(π-α)=-,所以cosα=,
�+��+�
所以α为锐角,则cosα=1-2sin2�=,�
��+�
��
解得sin===.
�
��−�(�−�)�−�
�����
1234567891011121314索引
2.=(A)
𝐬��°+�𝐜��°
A.�𝐜���°B.1
�
C.D.
��
��
=��===.
𝐬��°+�𝐜��°��𝐬��°+�𝐜��°�𝐬�(�°+��°)�𝐬���°
�𝐜���°�𝐜���°�𝐜���°�𝐜���°�
1234567891011121314索引
3.化简等于()
�A
�𝐜��−�
���
A.1�𝐭��−�·𝐬��+�B.-1
C.cosαD.-sinα
原式===
���
�𝐜��−��𝐜��−��𝐜��−�
�
�𝐬�−����
����𝐬�−�·𝐜�−�𝐬�−��
����
𝐜�−�·𝐬��+�
==1�.
𝐜���
𝐜���
1234567891011121314索引
4.已知tanα,tanβ是方程x2-4x-3=0的两根,且α,β∈,则α+β的值
�
为(C)�,�
A.B.
���
C.�D.�
����
��
由题意,
𝐭��+𝐭��=�,
则+==
=,
tan(αβ�)���·𝐭��=−�,1
𝐭��+𝐭���
因α,β∈�−,𝐭则��·π𝐭<�α�+β�<−2(π−,�)故α+β=.
���
�,��
1234567891011121314索引
5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos=,则sin等于(B)
���
A.-�+��B.��−�
��
C.�D.�-
��
����
∵cos=,
��
可得sin�+��=-cos
���
=-cos��−�=1-2co�s+2��−=�1-2×=.
����
��+��+����
1234567891011121314索引
6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α-β)=-,tan=,则cos2α=(D)
���
���
A.-B.�+
����
C.-���D.���
����
������
tan==,解得tanβ=-,
�𝐭��+���
��−𝐭����
又tan�(α+-β)==�=-,解得tanα=-,
𝐭��−𝐭��𝐭��+����
�
�+𝐭��𝐭���−�𝐭�����
22
所以cos2α=cosα-sinα===���=.
���
𝐜��−𝐬���−𝐭���−−����
����
𝐜��+𝐬���+𝐭�������
�+−��
1234567891011121314索引
7.(2026·安徽A10联盟质检)已知2sinα-cosβ=,sinβ-2cosα=2,sin(α-β)
=,则=(C)�
�𝐭��
�𝐭��
A.B.7
�
C.-�D.-7
�
�
由2sinα-cosβ=得cos2β-4cosβsinα+4sin2α=2;①
由sinβ-2cosα=2得sin2β-4sinβcosα+4cos2α=4,②
�
①+②得sinαcosβ+cosαsinβ=-,
�
由sin(α-β)=得sinαcosβ-cosα·s�inβ=,
��
1�2345678910111213�14索引
则有�
𝐬��𝐜��+𝐜��𝐬��=−�,
�
𝐬��𝐜��−𝐜��𝐬��=�,
则�∴=𝐬��
𝐬��𝐜��=��,𝐭��𝐜��
�𝐬��
𝐭��𝐜��
=𝐜���=��-�=.故−选��C,.
𝐬��𝐜���
𝐜��𝐬���
1234567891011121314索引
二、多选题
8.(2026·岳阳质检)计算下列各式,结果为的是(BC)
�
A.sin15°cos15°�B.cos215°-sin215°
C.D.
𝐭���°�+𝐭���°
�
�−𝐭���°�−𝐭���°
对于A,sin15°cos15°=sin30°=,故A错误;
��
对于B,cos215°-sin215°�=cos30°=�,故B正确;
�
�
1234567891011121314索引
对于C,=�=,故C正确;
𝐭���°��
��
�−𝐭���°��
对于D,=�−�=
�+𝐭���°𝐭���°+𝐭���°
°+°=°=,故错误
tan(45�−�1�5���°)t�a−n��6�0��°·𝐭���°D.
�
1234567891011121314索引
9.(2026·武汉阶段考)已知0<β<α<,且sin(α-β)=,tanα=5tanβ,则(BC)
��
��
A.sinαcosβ=B.sinβcosα=
��
���
C.sin2αsin2β=D.α+β=
��
���
∵tanα=5tanβ,即=,
𝐬���𝐬��
∴sinαcosβ=5cosαs�i�n��β,𝐜��
∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=4cosαsinβ=,
�
�
1234567891011121314索引
∴sinβcosα=,B正确;
�
sinαcosβ=,��A错误;
�
sin2αsin2β=��2sinαcosα·2sinβcosβ=4sinαcosβ·sinβcosα=4××=,
正确���
C;������
sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα=+=,
���
∵0<β<α<,�����
�
∴0<β+α<�,
�
∴α+β=,�
�
D错误.故选�BC.
1234567891011121314索引
三、填空题
10.已知α∈,若sin+cos=0,则α=______�______.
������
�,��+���−�
由sin+cos
���
�+���−�
=-cos2α+(cosα+sinα)=0,
�
所以cos2α=c�os2α-sin2α
=(cosα+sinα)(cosα-sinα)
=(cosα+sinα),
�
�
1234567891011121314索引
又α∈,
�
�,�
所以cosα-sinα=,得cos=,
���
��+��
而α+∈,
����
所以α+�=�,�,得α=.
���
����
1234567891011121314索引
11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,则tan=
-��
____________.
��
���+
�
由tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,
�
�
则tanα=tan[(2α-β)-(α-β)]==�=-,
𝐭�(��−�)−𝐭�(�−�)�−��
�
�+𝐭�(��−�)𝐭�(�−�)�+�×��
所以tan2α==�=-,
�𝐭���×−��
��
�−𝐭����
�−−�
则tan=�=�=-.
�𝐭���+𝐭��−�+��
��
��+��−𝐭���𝐭���−−�×��
1234567891011121314索引
已知,均为锐角,=,=,则=,-=
12.αβcosαsinβcos2α___�___2αβ
����
__________.
����
�
�
因为cosα=,
��
所以cos2α=�2cos2α-1=.
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