人教版八年级数学下册期末复习专项训练 专题08 函数与一次函数期末压轴8高频题型60题

专题08函数与一次函数期末压轴8高频题型题型1动点函数图象（选择压轴）题型2一次函数实际应用：行程问题（分段函数、最值）题型3一次函数实际应用：利润问题（分段函数、最值）题型4一次函数实际应用：方案选择问题（分段函数、最值）题型5一次函数与几何综合：求直线解析式+面积/坐标（解答压轴）题型6一次函数与几何综合：存在性问题（等腰/直角三角形、平行四边形）（解答压轴）题型7一次函数与几何综合：交点/参数范围、与不等式结合求区域（解答压轴）题型8一次函数与几何综合:全等三角形几何模型+一次函数（解答压轴）题型1动点函数图象（选择压轴）（共7小题）1．（24-25八年级上·北京·期末）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（

）A． B． C． D．4【答案】B【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，根据点的对称性，，则为最小，故，设正方形的边长为，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：（负值已舍去），故选：B．2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图①，动点P从菱形的顶点A出发，沿边匀速运动，到达点C时P停止；设点P运动的路程为x，它与对角线交点O之间的距离为，如图②是y与x之间的函数图象，当点P运动至边的中点时，函数值y等于（）A． B． C．4 D．6【答案】A【详解】解：根据函数图象，可得，，由菱形，得，，，当点P运动至边的中点时，是的中位线，，故选：A．3．（24-25八年级下·河南周口·月考）如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（

）A．6 B．12 C．9.6 D．8【答案】B【详解】解：如图，作于点H，由图2知，，，又，，，，，，，，故选B．4．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，过点作交于点，设菱形的边长为，在菱形中，，，在中，，∴，∴由图2得解得，（负值已舍去），所以，的长度为，故选：B．5．（23-24七年级下·山东济南·期末）一个动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（

）①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：当点H在上时，如图所示，

∴，∴，∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H在上时，如图所示，是的高，且，

∴，此时三角形面积不变，当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，

∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H在上时，如图所示，是的高，且，

∴，此时三角形面积不变，当点H在时，如图所示，

∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得时，点H在上，，∴，，∴动点H的速度是，故①正确，符合题意；当时，点H在上，此时三角形面积不变，∴动点H由点B运动到点C共用时，∴，故②错误，不符合题意；当，点H在上，，∴动点H由点D运动到点E共用时，∴，故③错误，不符合题意；当的面积是时，点H在上或上，点H在上时，，解得，点H在上时，，解得，∴，∴从点C运动到点H共用时，由点A到点C共用时，∴此时共用时，故④正确，符合题意；综合上所述：正确的有2个，故选：B．6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（

）A．当时，的面积为3平方米B．小车的运动速度为1米／秒C．长方形的周长为14米D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒【答案】D【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米，当时，的面积为平方米，该选项正确，不符合题意；B.假设运动速度为米／秒，，结合图象可得，，联立两个方程可得，，该选项正确，不符合题意；C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒，∴，∴长方形的周长为米，该选项正确，不符合题意；D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米，当的面积增加为2平方米时，，解得；当的面积减少为2平方米时，，解得；∴这两个时刻之和为，该选项错误，符合题意；故选：D．7．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法：①点N的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为．其中正确的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：，点的速度为，当点从点到点，用时，当时，过点作于点，，，在中，，，，，点的运动速度是；故①正确；点从到，用时，由图2可知，点从到用时，，故②正确；，故③正确；当点未到点时，过点作于点，，解得，负值舍去；当点在上时，过点作交延长线于点，此时，，，解得，当时，的值为或9．故④错误；故选：C．题型2一次函数实际应用：行程问题（共12小题）8．（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（

）A．甲车行驶小时时两车相遇B．甲车的速度为，乙车的速度为C．甲车出发小时后乙车才出发D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时【答案】D【详解】解：由图象可知：当时，，∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确；∵甲车的速度为：，乙车的速度为：，∴B选项正确；∵小时，∴甲车出发小时后乙车才出发，∴C选项正确；∵甲车的速度为：，乙车的速度为：，∴，∴当甲、乙两车相距时，，即：，解得：或，∴或，∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时.∴D选项错误.9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（

）①甲登山的速度是每分钟米；②乙在A地时距地面的高度为米；③乙登山分钟时追上甲；④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟），乙提速后的速度为：（米/分钟），，，故①②正确；设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为，∴，解得，∴函数关系式为．同理求得段对应的函数关系式为，当时，解得：，∴乙登山分钟时追上甲，故③错误；当时，解得：；当时，解得：；当时，解得：．故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④正确；故选：C．10．（25-26八年级上·四川成都·期末）2025年成都非遗文化展上，展馆的机器人甲和乙从入口出发，准备给相距的非遗手作展区送展示牌，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（

）①甲比乙先出发15秒；②乙提速后的速度为：③；④从甲出发至送展示牌结束，甲和乙最远相距．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【详解】解：结合图像，甲比乙早出发15秒，故正确；当时，，当时，，则乙提速前的速度是，∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍，∴乙提速后速度为，故正确；故提速后乙行走所用时间为：，，，∴甲的速度为，，故错误；当时，乙和甲的距离逐渐增大，当时达到最大为：，当时，乙和甲的距离先减小后增大，当时达到最大为：，当时，乙和甲的距离逐渐减小到0，，故正确则正确，故选：C．11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（

）A．小华的速度是B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇D．小华家到植物园的距离是【答案】D【详解】解：如图，A：由图象可知，小华走了，∴小华的速度为，故该选项不合题意；B：由题意知，爸爸开车的速度是，爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，故该选项不合题意；C：时，小华离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，由图可知爸爸和小华在点处相遇，当时，解得，，∴爸爸在出发25分钟后与小华相遇，故该选项不合题意；D：设家到植物园的路程为，则有，解得，故该选项符合题意．故选：D．12．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（

）①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④【答案】D【详解】解：对于①，由图可知，当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢，所以①错误；对于②，甲减速后的速度为（千米小时），所以②正确；对于③，乙的速度为（千米小时），根据题意，得解得所以当时，甲、乙两队相遇，所以③正确；对于④，设减速前甲队的函数关系式为，把代入，得，，减速前甲队的函数关系式为，设减速后甲队的函数关系式为，把，代入，得，解得，所以减速后甲队的函数关系式为，设乙队的函数解析式为，把代入，得，，所以乙队的函数解析式为，当时，令解得（舍去）；当时，令，，或，解得或，所以④正确；综上所述，说法正确的有②③④．故选：D．13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s．【答案】14【详解】解：如图，，设段的函数表达式为，把和代入，得，解得，∴函数段的解析式为；设段的函数表达式为，把和代入，得，解得，∴函数段的解析式为；同理段的函数表达式为；当时，甲乙在比赛途中相遇，即，解得；当时，甲乙在比赛途中相遇，即，解得，甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为，故答案为：14．14．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系．(1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______；(2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义．(3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？【答案】(1)60米/分，180米/分．(2)，爸爸骑车的速度为180米/分．(3)能追上【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分，爸爸骑车的速度为米/分，故答案为：60米/分，180米/分．（2）解：由题意设的表达式为，∵当时，；当时，．∴，解得：，∴的表达式为．由（1）可得：爸爸骑车的速度为180米/分．所以该表达式中一次项系数的实际含义为爸爸骑车的速度为180米/分．（3）解：由题意设的表达式为，∵当时，，，解得：，∴的表达式为，当时，解得：，把代入，得：，，∴能追上．15．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题：(1)甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______；(2)求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式；(3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距．【答案】(1)，，(2)(3)秒或秒或秒【详解】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/秒）由题意得：；由得：，当，，∴故答案为：，，．（2）解：依题意，（3）解：①：由，得，②：由，得，③当乙到达终点后，解得：甲出发秒或秒或秒，甲、乙相距米．16．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中，分别表示了李华和爸爸离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系．(1)李华步行的速度为___________米/分，爸爸骑车的速度为___________米/分，点A表示的实际意义是___________．(2)分别求出的函数表达式(3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？【答案】(1)60；180；李华出发10分钟时，李华离家600米(2)：；：(3)能追上【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分，爸爸骑车的速度为米/分，点A表示的实际意义是：李华出发10分钟时，李华离家600米．（2）解：由题意设的表达式为，当时，，解得：，的表达式为，由题意设的表达式为，当时，，，解得：，的表达式为．（3）解：当时，解得：，把代入，得：，，能追上．17．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示．(1)分别求出线段，所在直线的函数表达式．(2)求小明、小丽第二次相遇时的值．(3)当时，若，求的值．【答案】(1)线段，所在直线的函数表达式分别为、(2)小明、小丽第二次相遇时的值为(3)的值为或【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，令其表达式为，∵点，将点代入，得，解得，故线段所在直线的函数表达式为，根据题意，可观察出段的速度为，故段的速度也为，根据题意可知，点，故令线段所在直线的函数表达式为，将代入，解得，故线段所在直线的函数表达式为，综上，线段，所在直线的函数表达式分别为、．（2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点所对应的值，故，得，解得，故小明、小丽第二次相遇时的值为．（3）解：当时，得得此时，故当时，恰在线段所在范围内，若，即，∴，解得或，故的值为或．18．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象．(1)__________米；(2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义；(3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离．【答案】(1)1200(2)；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米(3)600米【详解】（1）解：根据函数图象可得：米；（2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分），小芳的速度为：（米/分），相遇时小红用的时间为：（分钟），相遇时小红跑的路程为：（米）∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米．（3）解：设A、B两地的距离为s米．由题意得，解得，答：A、B两地的距离为600米．19．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？(3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？【答案】(1)，(2)该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为100(3)该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，由题意可得解得∴y与x的函数关系式为，当时，，∴x的取值范围是；（2）解：y与x的函数关系式中常数项100的实际意义：该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为100；（3）解：在中，当时，，解得．当时，，解得．∴仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，汽车行驶的路程为．．答：该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了．题型3一次函数实际应用：利润问题（共3小题）20．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元．(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价；(2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？(3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______．【答案】(1)元，元(2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元；(3)【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，根据题意，得，解得，答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元．（2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，根据题意得：，解得：，，，随的减小而增大，，当时值最大，，（个），答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元；（3）解：，，若，则，即，随的增大而增大，当时值最大，得，解得：，为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为．21．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表：A地（元/吨）B地（元/吨）甲仓库1215乙仓库1018(1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？(3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值．【答案】(1)，自变量的取值范围是．(2)当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元．(3)【详解】（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资，∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资．．由题意，得解得．∴自变量的取值范围是；（2）解：对于，，随的减小而减小．∴当时，的值最小，．∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元；（3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费．①当时，，随的减小而减小．∴当时，最小，即，解得（舍去）；②当时，（舍去）；③当时，随的增大而减小．∴当时，最小，即，解得．综上，．22．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示：车型ABC最大装载量（吨/辆）5吨3吨2吨运输费用（元/辆）20001500800要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题：(1)求与之间的函数关系式；(2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用）(3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值．【答案】(1)（，且为整数）(2)（，且为整数），当使用型车辆、型车辆、型车辆时，获得最大利润元(3)【详解】（1）解：∵总车辆数为20辆，∴C型车数量为，∵总装载量为60吨，∴，，，∴；（2）解：∵转运初始总费用为元，运输总费用为，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，且，，∴，∵B型车装载量不超过A型车和C型车装载量总和，∴即，解得，∵为整数，∴，∵，，∴随的增大而增大，∴当时，取得最大值，此时，，最大利润元，∴（，且为整数），当使用A型车6辆、B型车2辆、C型车12辆时，获得最大利润23400元；（3）解：∵每辆A型车运输费用增加元，，∴，∴，，∵最大利润为17400元，且，∴随的增大而减小，∴，即，∴当时，取得最大值17400，∴，解得．题型4一次函数实际应用：方案选择问题（共4小题）23．（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践主题：借助函数分析解决生活中的决策问题某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案：公司方案A公司首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费．B公司无首重，统一按每千克7元计费．C公司每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）．(1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象；(2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？(3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？【详解】（1）解：由题意，，，，对于，当时，，当时，；故过点；对于，当时，，当时，；∴过点；画图如下：（2）解：当时，；由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱；（3）解：由题意，当时，，此时，调整后，当经过时，则：，故当时，令，，当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱；当时，令，，此时，则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱．24．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合实践购买方案问题背景随着的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者，市场调查图书馆准备引进智能机器人，同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现购买100个甲种型号机器人和购买130个乙种型号的机器人所花费用一样．解决问题任务一求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？任务二图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10个（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少个，所花资金最少？【答案】（1）甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元；（2）有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少．【详解】（1）解：设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元，根据题意得：，解得：，∴（万元）．答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元；（2）解：设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套，根据题意得：，解得：，又∵m，均为正整数，∴m可以为1，2，3，4，5，∴有5种购买方案．设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则，即，∵，∴w随m的增大而减小，∴当时，w取得最小值．答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少．25．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）2025年11月14日，神舟二十号航天员乘组完成在轨204天的载人飞行任务后，安全返航，激发了航空模型的购买热潮，某航模店准备采购“神舟”和“天宫”两款航空模型，经调查，每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费300元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多15个．(1)求两款航空模型每个进价分别是多少元？(2)若航模店欲采购两款航空模型共200个，投入资金不超过2600元，且“天宫”模型的数量不超过160个（购进两款航空模型的数量都是10的整数倍），则该航模店有哪几种购进方案？(3)在（2）条件下，“神舟”和“天宫”两款航空模型的售价分别是30元/个和15元/个，航模店从200个航空模型中拿出3个航空模型奖励优秀员工，其余航空模型全部售出，仍获利1140元，请直接写出（2）中的购进方案．【答案】(1)“天宫”模型每个进价10元，“神舟”模型每个进价20元(2)有三种购进方案：方案一：购进“天宫”模型140个，“神舟”模型60个；方案二：购进“天宫”模型150个，“神舟”模型50个；方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个(3)购进方案为方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个【详解】（1）解：设“天宫”模型每个进价x元，则“神舟”模型每个进价元，根据题意得：，整理得：，解得∶，经检验：均是原方程的解，但不符合题意，此时，答：“天宫”模型每个进价10元，“神舟”模型每个进价20元；（2）解：设购买“天宫”模型的数量为m个，则购买“神舟”模型的数量为个，根据题意得：，解得：，∵购进两款航空模型的数量都是10的整数倍，∴m取140，150，160，此时分别为60，50，40，答：有三种购进方案：方案一：购进“天宫”模型140个，“神舟”模型60个；方案二：购进“天宫”模型150个，“神舟”模型50个；方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个；（3）解：设有个“天宫”模型作为奖品，所获的利润为w元，则有个“神舟”模型作为奖品，则，根据题意得：方案一：，∵，∴w随a的增大而增大，当时，w最小，为1210；当时，w最大，为1255，∵仍获利1140元，∴方案一不符合题意；方案二：，∵，∴w随a的增大而增大，当时，w最小，为1160；当时，w最大，为1205，∵仍获利1140元，∴方案二不符合题意；方案三：，∵，∴w随a的增大而增大，当时，w最小，为1110；当时，w最大，为1155，∵仍获利1140元，∴方案三符合题意；答：购进方案为方案三：购进“天宫”模型160个，“神舟”模型40个．26．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务.如何设计采购方案？素材1宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等．素材2小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元；小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元．问题解决任务1确定单价求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？任务2探究函数关系临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式．任务3拟定购买方案现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？【答案】（1）购买1套书签10元，1套贴纸20元（2）（3）购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元【详解】解：（1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据题意得，解得∴购买1套书签10元，1套贴纸20元；（2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套，∴总费用为元；（3）根据题意得，，解得，∵，∴随的增大而减小，∴当时，的值最小，最小值为（元），∴购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元．题型5一次函数与几何综合：求直线解析式+面积/坐标（解答压轴）（共7小题）27．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求的长；(3)P为直线上一点，，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：，∵直线交坐标轴于点，，∴，解得：，∴直线对应的函数表达式为：．（2）解：由题意可知：，，，∴，∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合，，，∴，设，则，在中，由勾股定理得，解得，即．（3）解：∵P在直线上，∴设，∵，∴，解得或，①当时，，②当时，，∴或．28．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点．(1)直接写出点的坐标；(2)求直线的解析式；(3)点P是直线上一点（不与点重合），当与的面积相等时，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：把代入，得，∴；（2）解：把，，代入，得：，解得，∴；（3）解：∵与的面积相等，且点P与点不重合，∴点在点上方，为的中线，∴为的中点，∵，∴当时，，∴，∵，∴，即．29．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与实践问题情景：如图，已知直线与交于点，且点的坐标为．(1)求直线的表达式及点的坐标；(2)求的面积；(3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标．【答案】(1)直线的表达式为，(2)的面积为3(3)点的坐标为或【详解】（1）解：设直线的表达式为，把和代入得，，解得．∴直线的表达式为．把代入，得：，∴；（2）解：把代入，得，∴．把代入，得，解得，∴．∴．∴；（3）解：设，则，∵，∴．解得或．∴点的坐标为或．30．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为．(1)求直线的函数表达式．(2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标．(3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：点在上，且横坐标为，当，，点的坐标为，设直线的解析式为，将点，代入，可得，解得，则直线的解析式为．答：．（2）解：如图，过点作轴，交于点，为直线在第一象限上的一点，设点的坐标为，令的，可得，点的坐标为，，令的，可得，点的坐标为，即，，，即或，解得或（不合题意，舍去），则的坐标为．答：．（3）解：如图，过点作轴，交于点，点的坐标为，点的坐标为，，为等腰直角三角形，，令的，可得，点的坐标为，即，在轴上取点，使，连接，交于点，在和中，，，，，，设所在直线为，将点和点代入，可得，解得，直线为，将直线与直线联立可得，解得，点的坐标为．答：．31．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点．(1)直接写出点，点，点的坐标；(2)连接，若，求出长度，并计算的面积；(3)若，直接写出点的坐标．【答案】(1)，，；(2)，的面积为；(3)【详解】（1）解：对于直线，令，则，解得，；令，则，；对于直线，令，则，；故，，．（2）解：设，则，，，，，∴，，，解得，即；，，的面积；（3）解：过点作于点，连接，在中，由勾股定理得，∵，且，，∴，解得；在中，由勾股定理得，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴；设点的坐标为()，则，解得(舍去负根)；当时，，∴点的坐标为．32．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点．(1)点的坐标是__________，点的坐标是__________．(2)若点是直线上一点，求直线的解析式．(3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【详解】（1）解：令，令，∴点的坐标是．点的坐标是；故答案为：．（2）解：∵点是直线上一点，∴，解得：，∴点，设直线的解析式是，把点代入得：，解得：，∴直线的解析式是，故答案为：．（3）解：存在，由（1）得：点的坐标是，点的坐标是，，设点的坐标为，∵的面积等于面积的2倍，，整理得，或，解得：或，∴点的坐标为或．33．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴和y轴交于A、B两点．直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，与交于点G，其中且．

(1)求直线的解析式；(2)点P为直线上一个动点，连接，，当时，求点P的坐标；(3)已知点K为直线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)或(3)和，过程见解析【详解】（1）解：直线与y轴交于点，令，得，，，，，，直线过、两点，，解得，直线的解析式为：；（2）解：直线与直线交于点，，解得，，直线与轴交于点，令，得，解得，，过作轴垂线交于点，交轴于点，设，则，，情况1，如下图，当点在点和点之间，即时，，即，，化简得，，解得，，；情况2，如下图，当点在点右侧，即时，，即，，化简得，，解得，，不符合题意，舍去；情况3，如下图，当点在点和点之间，即时，，即，，化简得，，解得，，不符合题意，舍去；情况4，如下图，当点点左侧点右侧，即时，，即，，化简得，，解得，，；情况5，如下图，当点点左侧，即时，，即，，化简得，，解得，，不符合题意，舍去；综上所述，点坐标为：或；（3）解：由（2）得，，则，由（1）得，，点为直线上的一个动点，设，，，，记直线与直线交于点，过点作轴于点，交直线于点，则，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，当在轴右侧即时，如下图，，，，，，解得，符合，，当在轴左侧即时，如下图，，，，，，解得，符合，，综上所述，的坐标为和．题型6一次函数与几何综合：存在性问题（等腰/直角三角形、平行四边形）（解答压轴）（共15小题）34．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，．(1)用待定系数法求直线的解析式；(2)F是直线上一点，若，求点F的坐标；(3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或【详解】（1）解：将点代入得，，∴，当时，，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为：，∴，∴，∴；（2）解：如图1，作轴于G，交于H，设，则，∴，当时，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴或，∴或；（3）解：如图2-1，∵，，∴直线的解析式为：，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，∴，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，，∴，∴，当时，由得，，∴，∴直线的解析式为：，将点代入得，，∴，∴，，∴，如图2-2，当时，∵，，∴直线的解析式为：，将代入得，，∴，∴，，∴，综上所述：或．35．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．(1)分别求点的坐标；(2)连接求的面积；(3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)或【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，，，轴，∵直线与交于点，与轴交于点，∴当时，，解得，当时，，，：（2）解：如图，令与轴的交点为，令，解得，，，，，；，，，，；（3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，∴设，如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，①若点在上方，是等腰直角三角形，且，，，，，，在与中，，，，，，解得：，；②若点在下方，同理可证，，，，即，解得，，综上可知，点的坐标为或．36．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．(1)求点C的坐标及直线的表达式；(2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积；(3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标．【答案】(1)；(2)6(3)H的坐标为或或【详解】（1）解：∵点在直线上，，解得，∴；将，代入直线得，，解得，∴直线的解析式为；（2）解：，∴，，，．（3）解：设，∵直线的解析式为与y轴交于点B，，，∴，∵在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，①当为对角线，∴，则∵，，，∴，∴；②当为对角线，∴，则，∵，，，∴，∴H；③当为对角线，∴，∵，，，∴，∴；综上：H的坐标为或或．37．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．(1)如图1，求点、两点的坐标；(2)如图2，求直线的表达式；(3)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，的坐标为或【详解】（1）解：在中，令得，令得，解得．，．（2）解：由（1）知，，．．将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处，，．．．设，则，．，，解得．即．设直线的表达式为．把，代入，得，解得．直线的表达式为．（3）解：在第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下：设，当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，如图．为等腰直角三角形，，．，，．在和中，．，．．解得，；当P为直角顶点时，过P作轴交y轴于H，过A作于G，同理可得．，．．解得，；综上所述，的坐标为或．38．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，每一个点的位置都由一个有序数对来表示，直线是所有横坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线；同理，直线则是指所有纵坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线．作点关于直线的对称点，记为变换；作点关于直线的对称点，记为变换．已知，．(1)点作变换得到，点作变换得到，那么_____．(2)已知点，平面直角坐标系中有一点，将先作变换，再作变换得到点．①若点在线段上运动，当时，求的坐标．②若点在射线上运动，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)①；②点的坐标为或或或【详解】（1）解：∵，，点作变换得到，点作变换得到，∴点作变换得到，点作变换得到，∴；（2）解：①∵点的坐标为，点的坐标为，∴直线的解析式为，∵点在线段上运动，∴设，∴点先作变换得到，再作变换得到点，∵，∴，∴，，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，令直线交轴于点，令，则，解得：，∴，∴，∴，∵，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴的坐标为；②∵点在射线上运动，∴设，∴点先作变换得到，再作变换得到点，∵，，∴，，，∵为等腰三角形，∴当时，，解得：（不符合题意，舍去）或，此时，当时，，解得：或，此时或；当时，，解得：，此时；综上所述，点的坐标为或或或．39．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，经过点的直线与x轴交于点C，与正比例函数的图象交于点(1)求直线和直线的函数的表达式；(2)点D为直线上有一点，如有，请求出点D的坐标；(3)点P是直线上的一点，且知是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．【答案】(1)，(2)或(3)或或或【详解】（1）解：把代入，得：，∴，∴直线的解析式为；把和代入，则，解得，∴直线的解析式为；（2）解：∵，∴当时，，∴，∵，∴，当点在线段上时，∵，∴，∴，∴，当时，则，∴；当点在线段的延长线上时，则，∴，∴，∴，当时，则，∴；综上：或；（3）解：由（2）知：，∵，∴，∴；当是等腰三角形时，分3种情况：①当时，则点与点重合，故；②当时，作，则，∵，∴当时，，∴；③当时，过点作轴，则为等腰直角三角形，∴，∴或，当时，；当时，；∴或；综上：或或或40．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，．(1)求直线的解析表达式；(2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值；(3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标．【答案】(1)(2)，的最小值为(3)N点坐标为或或【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，∴当时，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴将代入得，解得，∴直线的解析表达式为；（2）解：联立直线和直线得，，解得，∴，∴，∵，∴，设直线与y轴的交点为F，将代入得，∴，∵直线交y轴于点B，∴当时，，∴，∴，∴，解得，∴，作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则，∴，∴，当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度∵，，∴，∴的最小值为，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∴当时，解得∴；（3）解：将直线向上平移3个单位得到直线，∴直线的解析式为，设，，∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，∴当为平行四边形的对角线时，解得，∴；当为平行四边形的对角线时，解得，∴；当为平行四边形的对角线时，解得，∴；综上所述：N点坐标为或或．41．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，直线经过点，并且与直线平行，与轴交于点．(1)求直线的解析式和点的坐标．(2)若点是直线上的一个动点，过点分别作轴于，轴于，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形．(3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，能使四边形为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，点坐标是(2)见解析(3)存在,点坐标或．【详解】（1）解：∵直线与平行，且过点，，一次函数解析式为，当时，，点坐标是；（2）证明：轴，轴，四边形是矩形，，，，，，，，，，，在和中，，，同理可证：，四边形是平行四边形；（3）存在这样的点，理由如下：设点∵，∴，当四边形为正方形时，则，，而，，，而，，，即解得：或，所以：存在这样的点，点坐标是或．42．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作直线轴，交直线于点，连接．设动点的横坐标为．(1)求直线的解析式；(2)求四边形的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(4)在线段上存在点，使得四边形是菱形，直接写出此时点的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【详解】（1）解：对于直线，令，则，，设直线的解析式为，把，代入得，把代入，得，解得．直线的解析式为．（2）解：中，令，则，解得，∴，∵点的横坐标为，且在直线上，∴．∵轴，∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为．把代入，得，解得，．，又∵点与点、不重合，，，∴．∴；（3）解：∵，四边形是平行四边形，∴．由（）得，，，∵，∴．解得．把代入，得，．（4）解：令交于点，设，∵四边形是菱形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴点是的中点．∴，解得．把代入的坐标，得．∵垂直平分，∴，∴，．43．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，C为y轴正半轴一点，满足．(1)求直线的解析式；(2)x轴负半轴有一点动点D，满足四边形的面积为10，求点D的坐标；(3)点P为直线下方一点，满足以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的P点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点P的坐标为或或【详解】（1）解：把代入得：，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（2）解：把代入得：，∴，∴，设点D的坐标为，则，∵，∴，解得：，∴点D的坐标为；（3）解：当点B为直角顶点时，过点P作轴于点Q，如图所示：∵为等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴此时点P的坐标为；当点A为直角顶点时，过点P作轴于点Q，如图所示：∵为等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴此时点P的坐标为；当点P为直角顶点时，如图所示：∵为等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，∴此时点P的坐标为；综上分析可知，点P的坐标为或或．44．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B．(1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标；(2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)，(2)(3)或或【详解】（1）解：其中，其“守望一次函数”为：代入得：∴的“守望一次函数”为；联立原函数与“守望一次函数”求交点C：解得，故C点坐标为；（2）解：，令，求得，令，求得，∴，，作，由勾股定理得，，∵，即，，的运动速度每秒个单位长度，当在上运动，即时，，；当在上运动，即时，，；综上，函数解析式为：；（3）解：在（2）条件下，当时，在点处，点N在坐标轴上，根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形，当时，如图，在原点处，此时；当时，如图，设，∴，，，，，设，由矩形性质可知对角线的中点重合，由中点公式得：，解得，；当时，如图，设，∴，∵，，解得：，，设，由矩形性质可知对角线的中点重合，由中点公式得：，解得，；综上所述，或或．45．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点．(1)求、的值；(2)点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【详解】（1）解：当时，，，，为线段的中点，，当时，，，将点、代入，，解得；（2）解：，；（3）解：当时，，解得，代入解析式得，∴，由题意以、、、为顶点的四边形是平行四边形，当以为边时，则，∴代入得，∴，则，∵，∴或；当以为对角线时，则中点重合，设，，由中点公式知，解得∴，综上所述或或．46．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，．(1)求的面积．(2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式(3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标．【答案】(1)6(2)(3)或或【详解】（1）解：∵，∴当时，，∴，当时，，∴，∴，由图知，∴，∴，∴．（2）解：由（1）知，，∴，∵，∴，∵为等腰直角三角形，∴，，如图，过点D作轴于F，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴．（3）解：如图，∵以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴当为边时，，由（2）知，，，∴，，∵，∴，，∴，∵，，∴，当为对角线时，互相平分，∵,，∴．∴点E的坐标为f或或．47．（24-25八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴相交于A、B两点，直线与x轴、y轴相交于C、D两点，与直线l交于点E．(1)求E点的坐标；(2)点P在射线上，使得的面积等于面积的2倍．求出P点的坐标；直线上有两动点G，H（G在H下方），，求的最小值．(3)作点O关于直线的对称点，点M为直线上一动点，在y轴上是否存在一点N，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，的最小值(3)存在，或【详解】（1）解：由题意可得：联立直线和直线的解析式可得解得，∴点E的坐标为；（2）解：如图，过点P作轴，交x轴于点F，设点P坐标为，∵直线与x轴，y轴相交于A、B两点，时，；时，∴，，，∵直线与x轴、y轴相交于C、D两点，时，；时，∴，，，由（1）可知点E的坐标为，，，，，则，，，，，∵的面积等于面积的2倍，，，即，∵点P在直线上，时，∴；时，∴，∵在射线上，∴，∴（舍），∴点P的坐标为；取的中点记为点，∵，∴，∴，∴，过点作直线的对称点，连接，则，，∴，∴为等边三角形，过点作于点，则，∴，∴，将点沿着射线方向平移至点，使得，∴，∴直线与轴的夹角为，四边形为平行四边形，∴的竖直距离为，，∴由勾股定理得的水平距离为，∵点P的坐标为，∴点P向下平移个单位，向左平移个单位得到点，∴坐标为由对称可得，∴当且仅当点三点共线时，取得最小值，为；（3）解：存在，理由如下：作O点关于直线的对称点，，，则，，∴由勾股定理得，同上可得，∵点O、关于直线对称，，，在中，，，，，过点作轴，轴，则在中，，，∴的坐标为，①当点M在x轴的下方，如图1，过点M作轴，延长交的延长线于点K，设点M的坐标为，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，解得：，则，∴点M的坐标为；②当点M在直线的上方，如图2，过点M作轴，过点作交的延长线于点Q，设点M的坐标为，轴，，是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，解得，则，∴点M的坐标为：，综上所述，点M的坐标为：；．48．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且．(1)求点的坐标．(2)求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上．(3)在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，点在直线上(3)存在，点的坐标为或或【详解】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，∵，∴，∵，∴∵为等腰直角三角形，∴∴，∴，∴；（2）解：设直线，代入点，，则，解得：，∴直线，当，∴，即，当，则，解得：，∴，即，∵，∴，，设直线，则，解得：，∴直线，当时，，∴点在直线上；（3）解：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，如图，当时，则，∴点向点的平移方式与点向的平移方式一样，∵，，，∴点向左平移8个单位，向下平移6个单位至点，∴；当时，则，同理可求：；当时，则，同理可求：，综上：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．题型7一次函数与几何综合：交点/参数范围、与不等式结合求区域（解答压轴）（共5小题）49．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点．(1)_____，不等式的解集为_____；(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．(3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标．【答案】(1)1；(2)(3)存在；或【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，解得，∵不等式，∴解得，解得，∴不等式的解集为；（2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上，，，，，，当时，有最大值，的最大值为；（3）解：存在．直线，令得，．点在直线上，设点坐标为，①当时，点在轴的下方,，解得，点坐标为，②当时，点在轴的上方,，解得，此时点坐标为．点的坐标为或．50．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点．(1)求直线的表达式；(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；(3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：把代入，得，，直线过点、，，解得，直线的表达式为．（2）解：不等式即，由图像可知：当时，直线在直线上方，不等式的解集为．（3）解：在中，令，得，，在中，令，得，，，，，．设，，，，的高为点纵坐标，，，解得或，点的坐标为或．51．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴交于点．(1)；不等式的解集为，(2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值．(3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标．【答案】(1)1，(2)(3)存在，点的坐标为或【详解】（1）解：由题意可得：直线与直线交于点，解得，一次函数解析式为，令得，解得，一次函数与轴交点为，不等式的解集为，故答案为：1，；（2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上，，，，，的最小值为，故答案为：．（3）解：存在，直线，令得，．设点在直线上，其坐标为，其面积等于6，则有：，即或．解得或，所以坐标为或．52．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，函数与的图象交于．(1)求出的值；(2)直接写出不等式的解集；(3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标．【答案】(1)；(2)(3)的坐标为或【详解】（1）解：把代入得：，解得；∴，把代得：，解得；（2）解：不等式的解集为；（3）解：∵的面积等于面积一半，∴，∴，当时，；当时，，∴的坐标为或．53．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，已知直线经过点，．(1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标；(2)根据图象，直接写出的解集；(3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：根据题意，直线，经过点，，根据题意，得，解得，∴的解析式为，根据题意，得，解得，故．（2）解：根据题意，得，由，得，由图象知①的解集为，解不等式②得，，故不等式组的解集，得．（3）解：设点P的坐标为，，解得或，∴点P的坐标为或．题型8一次函数与几何综合:全等三角形几何模型+一次函数（解答压轴）（共7小题）54．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果）【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点．由点坐标可知，为等腰直角三角形，∴，，∵轴，轴，∴，又，，∴，∴，∴，，∴点坐标为：；【感悟应用】如图，过点作轴于点H．∵点，点，∴，，∵为等腰直角三角形∴，，轴，∴，∵，，，∴，∴，∴，，∴，∴，设直线的表达式为将和代入，得，解得，∴直线的函数表达式为：．【拓展探究】存在；由F是函数与轴的交点，可知，点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点，设，，以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示：由感悟应用类比可得：，，∴，解得：故此时：；以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意；以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示：由感悟应用类比可得：，，，解得：故：不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形，综上，点E的坐标为：或．55．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形．（1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________．【基本技能】（2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点．①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式；②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由．【应用拓展】（3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标．【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或【详解】解：（1）．证明：，过点作交于点，过点作交于点，，，在和中，，∴．（2）①当时，则直线为直线，当时，，∴，当时，，∴，∴，过点E作于，如图所示：

，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，，，∴点的坐标为，设直线的解析式为，把与代入得：，解得：，∴直线的解析式为．②当变化时，的面积是定值，，理由如下：∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，，过点作于，，，，，，，，，，，变化时，的面积是定值，；（3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点，∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴点的坐标是，点的坐标是，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，令，则，解得：，则；②如图，如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，∵点在直线的图象上，∴，∴，∴．综上，或．56．（25-26八年级上·河南郑州·期末）【全等模型】如图1，已知在中，，，，，垂足分别为点，．易证：．（1）如图1，若，则_____；【迁移应用】（2）已知：如图2，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，当的取值变化，点随之在轴正半轴上运动时，在轴右侧过点作，并且，连接，的面积_____（填“会”或“不会”）发生变化？若不变，请直接写出其面积的值；若变，请说明理由；（3）如图3，，，点的坐标为，连接交轴，轴于点，将所在直线绕点旋转得到直线，求直线的函数表达式；【拓展探究】（4）如图4，四边形为长方形，其中点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．【答案】（1）9；（2）不会，8；（3）直线的函数表达式为或；（4）点的坐标为或【详解】解：（1）∵，，，∴，，∴，故答案为：9；（2）令，则，∴点的坐标为，∴，作轴于点，∵，，由【全等模型】知，∴，∴的面积，∴的面积不会发生