河北省保定市六校联考2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学

河北省保定市六校联考2024～2025学年度高二年级6月质量检测

数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．作．答．无．效．．

4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一

章~第四章．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

Ax|x2x60

1.已知集合，B{2,1,0,1,3,5}，则AB（）

A.{1,0,1,2,3}B.{2,1,0,1,3}

C{2,1,0,1}D.{1,0,1}

【答案】D

【详解】由x2x60，得2x3，则A2,3，所以AB1,0,1．

故选：D

2.已知一组数据xi,yii1,2,,20满足线性回归关系，且经验回归方程为y10x30，若

12020

，则（）

xi3yi

20i1i1

A.30B.60C.630D.1200

【答案】D

【详解】易知样本数据的中心点x,y在回归直线方程y10x30上，

120

易知，所以，

xxi3y10x3060

20i1

12020

即yy60，可得.

iyi1200

20

i1i1

故选：D

6

2

3.x的展开式中的常数项为（）

x

A.240B.240C.160D.160

【答案】D

6

2

【详解】x展开式的通项公式为：

x

r

r6r2r6rrrrr62r.

Tr1C6x·C6x·2·x2·C6x

x

令x的次数为0，则r3.

将r3代入通项公式中，可得：

3654

T2·C38160.

46321

故选：D.

4.篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某

篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则DX（）

A.1.2B.2.4C.2.16D.2.52

【答案】C

【详解】由已知可得，X的分布列为

X03

P0.60.4

所以，EX1.2，

22

DX01.20.631.20.42.16.

故选：C.

5.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．记事件A：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事

件B：“两枚骰子的点数之和是6”，则P(B|A)（）

1125

A.B.C.D.

531512

【答案】C

【详解】事件A含有的基本事件数为1234515，

事件AB含有红1蓝5和红2蓝4两个基本事件，

n(AB)2

所以P(B∣A)．

n(A)15

故选：C

11

6.“”是“33”的（）

a3b3ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

1

【详解】因为幂函数f(x)x3在R上单调递增，

11

所以等价于，

a3b3ab

因为幂函数g(x)x3在(,0)和(0,)上单调递减且x(,0)时，g(x)0，x(0,)时

g(x)0，

所以a3b3等价于ab0或0ab或a0b，

当a1，b1时ab，

但不能推出ab0或0ab或a0b，

所以充分性不成立，

当a1，b1时a0b，但不能推出ab，

所以必要性不成立．

11

综上所述，“”是“33”的既不充分也不必要条件．

a3b3ab

故选：D．

7.一只智能玩具狗在起点处，每次向前或向后跳动一个单位长度，且每次向前、向后跳动的概率均为1，

2

记第6次跳动后到起点处的距离为X个单位长度，则E(X)（）

35315

A.3B.C.D.

1628

【答案】D

【详解】由题意知X的取值依次为0，2，4，6，其中

33

3115

P(X0)C6,

2216

2442

21141115

P(X2)C6C6,

222232

55

1115113

P(X4)C6C6,

222216

66

01611，

P(X6)C6C6

2232

5153115

所以E(X)0246．

163216328

故选：D.

1

8.已知ae0.11，b，cln1.1，则（）

9

A.cabB.abcC.cbaD.acb

【答案】A

x2

11ex11

【详解】令x，则x，

fxe,x0,1fxe22

1xx1x1

2

令xexx11，则xexx1x1，

当x0,1时，x0，所以x在0,1上单调递减，

所以x00，即fx0，所以fx在0,1上单调递减，

11

所以f0.1f0，即e0.10，所以e0.11，即ab；

10.19

1

令gxexlnx11,x0,1，则gxex，

x1

1

x1x

令xe，则xe20，所以x在0,1上单调递增，

x1x1

所以x00，即gx0，所以gx在0,1上单调递增，

所以g0.1g00，即e0.1ln1.110，所以e0.11ln1.1，即ac.

所以cab.

故选:A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：0.87，0.72，0.78，

0.85，则正相关的变量x，y所对应的线性相关系数是（）

A.0.87B.0.72C.0.78D.0.85

【答案】BD

【详解】若线性相关系数是正数，则变量x，y正相关．

所以0.72，0.85符合题意，

故选:BD

10.学生食堂提供A,B,C,D共4种主食和a,b,c,d,e共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则

（）

A.不选主食A的方法种数为30B.主食B和配菜b都选的方法种数为12

C.配菜c,d至少选1种的方法种数为54D.主食D，配菜d,e只选2种的方法种数为21

【答案】ABD

22

【详解】对于A，不选主食A的方法种数为C3C530，A正确；

11

对于B，主食B和配菜b都选的方法种数为C3C412，B正确；

2211

对于C，配菜c,d至少选1种的方法种数为C4C2C2C342，C错误；

11122

对于D，主食D，配菜d,e只选2种的方法种数为C3C2C3C3C221，D正确．

故选：ABD．

2

11.若函数f(x)2axlnx的两个极值点分别为x1，x2，且x1x2，则（）

12

A.0aB.x1eC.fx11D.xxe

e12

【答案】ACD

2lnx2ax2lnx

【详解】由题意知，f(x)2a0在(0,)上有2个不同的根，

xx

ya

即等价于lnx在(0,)上有2个不同的交点．

y

x

lnx1lnx

令h(x)(x0)，则h(x)，

xx2

h(x)00xe，h(x)0xe，

所以h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，

1

又因为h(e)，h(1)0，当x0时，h(x)，当x时，h(x)0，

e

1lnx

所以当0a时，ya与h(x)在(0,)上有2个不同的交点，且1x1ex2，故A正确，

ex

B错误；

lnx1

对于C，由题意知，ahx1，

x1

所以222，

fx12ax1lnx12lnx1lnx1lnx111

又因为1x1e，所以0lnx11，则fx11，故C正确；

xlnxlnxlntx

对于D，设t21，所以a121，

x1x1x2tx1

lnttlnt(t1)lnt

解得lnx，lnx，所以lnxlnx，

1t12t112t1

2(t1)14(t1)2

令g(t)lnt，则g(t)0，

t1t(t1)2t(t1)2

所以g(t)在(1,)上单调递增，则g(t)g(1)0，

2(t1)(t1)lnt

所以lnt2lnxlnx2xxe2，故D正确．

t1t11212

故选：ACD．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

x2

12.函数f(x)2lnx的图象在x1处的切线方程是____________．

2

【答案】6x2y50

12

【详解】由已知，得f(1),f(x)x，所以f(1)3，

2x

1

所以所求切线方程为y3(x1)，即6x2y50.

2

故答案为：6x2y50.

2025232025

13.若(2x1)a0a1xa2xa3xa2025xxR，则a0a1a2a2025的值被4

除的余数为__________．

【答案】3

2025

【详解】令x1，得a0a1a2a3a2024a20253，

r2025rr

因为Tr1C2025(2x)(1)，

所以当r为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即a2k0kN，

当r为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即a2k10kN，

2025

所以a0a1a2a2025a0a1a2a3a2024a20253，

20252025020251202422023320222024

又3(41)C20254C20254C20254C20254C202541，

故a1a2a3a2025被4除余3．

故答案为：3.

x2y22xy1

14.已知x,y0，且xy1，则的最小值为________．

xy

【答案】7

【详解】因为x,y0，xy1，所以

x2y22xy1x2y22x(xy)y(xy)(xy)2

xyxy

4x2y23xy4xy4xy

3237，

xyyxyx

4xy12x2y22xy1

当且仅当，即x，y时，等号成立，所以的最小值为7．

yx33xy

故答案为：7.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动．（用数字作答下列

问题）

（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配

方案的种数；

（2）活动后5人从左到右排成一排拍照，求甲不在正中间，乙不在排头的排法种数．

【答案】（1）120

（2）78

【小问1详解】

5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为

5

A5120．

【小问2详解】

54

方法一：5人随机排有A5120种排法，其中甲在正中间，其他4人随机排，有A424种排法，乙在排

43

头，其他4人随机排，有A424种排法，甲在正中间，乙在排头，其他3人随机排，有A36种排法．

综上所述，甲不在正中间，乙不在排头的排法种数共有1202424678种．

方法二：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：

4

①甲在排头，其他4人随机排，则有A424种排法；

②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，

113

则有C3C3A354种排法.

综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有245478种.

16.某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，

将数据整理后得到如下22列联表：

近视学生非近视学生合计

每天使用时长不低于2小

105250

时

每天使用时长低于2小时

合计175400

（1）完善22列联表，并根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电

子产品的时长是否低于2小时”有关联？

（2）按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人

进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记X为所抽5人中每天使用电子产品不低于2

小时的人数，求X的分布列和数学期望．

n(adbc)2

参考公式：2，其中，nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)

0.10.050.010.0050.001

x2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列联表见解析，有关联；

7

（2）分布列见解析，.

3

【小问1详解】

22列联表如下：

近视学生非近视学生合计

每天使用时长不低于2小

145105250

时

每天使用时长低于2小时30120150

合计175225400

零假设H0：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联．

4002

因为255.01010.828x，

2501501752250.001

根据小概率值0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，

即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过

0.001．

【小问2详解】

15

由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取1057人，

225

15

在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取1208人．

225

所以X的可能取值为0，1，2，3，4，5，

C58C4C170C3C216856

所以88787，

P(X0)5,P(X1)5,P(X2)5

C15429C15429C15429143

C2C3140C1C440C0C51

878787，

P(X3)5,P(X4)5,P(X5)5

C15429C15429C15143

故X的分布列为：

X012345

87056140401

P

429429143429429143

8705614040110017

所以E(X)012345.

4294291434294291434293

17.已知函数f(x)log2(4x)log2(4aax)是奇函数．

（1）求a的值；

2812

（2）若g(x)[f(x)]2m|f(x)|8，当x[,]时，g(x)0恒成立，求m的取值范围．

95

【答案】（1）a1；

（2）(,42).

【小问1详解】

方法一：由f(x)为奇函数，得f(x)f(x)，

即log2(4x)log2(4aax)log2(4x)log2(4aax)，

4x4aax4x4aax

则loglog，即，整理得(a21)x216(1a2)0，

24aax24x4aax4x

由上式对定义域内一切x都成立，得a210，解得a1或a1，

当a1时，f(x)的定义域为(4,4)，关于原点对称，f(x)f(x)，满足f(x)为奇函数；

当a1时，f(x)的定义域为(,4)，不关于原点对称，不满足f(x)为奇函数，

所以a1.

方法二：当a0时，f(x)的定义域为(4,4)，关于原点对称，

由f(x)为奇函数，得f(0)0，即log24log2(4a)0，解得a1，

当a1时，f(x)log2(4x)log2(4x)，f(x)log2(4x)log2(4x)，

因此f(x)f(x)，f(x)为奇函数，满足题意，

当a0时，f(x)的定义域为(,4)，不关于原点对称，不满足f(x)为奇函数，

所以a1.

【小问2详解】

4x8

由（1）知f(x)log(4x)log(4x)loglog(1)，定义域为(4,4)，

2224x24x

2812881

当x[,]时，函数y1单调递减，且1[,8]，则f(x)[2,3]，

954x4x4

令|f(x)|t，则t[0,3]，g(x)0恒成立等价于t2mt80恒成立，

8

当t0时，t2mt880，当t(0,3]时，t2mt80恒成立，即mt恒成立，

t

888

又t2t42，当且仅当t，即t22时取等号，因此m42，

ttt

所以m的取值范围是(,42).

18.已知函数fxkxlnxkR.

（1）讨论fx的单调性；

（2）当k1时，若gxfx1a存在零点，求实数a的取值范围；

1

123n1

（3）证明：n*.

12121212enN

nnnn

【答案】（1）答案见解析

（2）1,

（3）证明见解析

【小问1详解】

1kx1

fx的定义域为0,，fxk，

xx

当k0时，因x0，所以fx0恒成立，即fx在0,为单调递减函数；

11

当k0时，令fx0x，所以当x0,时，fx0，fx为单调递减函数；当

kk

1

x,时，fx0，fx为单调递增函数，

k

综上，当k0时，fx在0,为单调递减函数；

11

当k0时，x0,时，fx为单调递减函数；x,时，fx为单调递增函数.

kk

【小问2详解】

当k1时，fxxlnx，gxfx1ax1lnx1a，x1，

1x

则gx1，

x1x1

令gx0x0，

所以当x1,0时，gx0，gx单调递减；当x0,时，gx0，gx单调递增，

所以，

gxming01a

因为gx存在零点，所以1a0，

即实数a的取值范围为1,.

【小问3详解】

由（2）可得，当a1时，gxx1lnx11xlnx10，

kkk

令，则，

x,kN+ln1

n2n2n2

12n12n

所以ln1ln1ln1

n2n2n2n2n2n2

nn1

21n111，

1

n22n2n

12n11

即，

ln1212121

nnn2n

111

12n11

两边同时取指数可得2nn，

121212ee

nnn

1

123n1

又上式中，所以n*.

n012121212enN

nnnn

19.泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随

机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量X服从参数为(λ>0)的泊松分布，记作

k

X~Poisson（），则其概率分布为P(Xk)e,kN．

k!

（1）当≥20时，泊松分布可以近似为正态分布N(,)．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数X服

从25的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若

X~N,2，则P(X)0