2025~2026学年广东广州市象贤中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/象贤中学2025-2026学年度第二学期中段考高二级数学科试题一、单选题：本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据对数的单调性解对数不等式，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】，所以，故选：D2.已知复数z满足，则（）A. B. C.4 D.8【正确答案】B【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．【详解】由可得，，所以，故选：B.3.记等差数列的前项和为，若，，则（）A.6 B.8 C.10 D.12【正确答案】A【分析】设出公差，利用等差数列前项和公式，结合已知列出方程求解.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，由，得，则，所以.故选：A4.已知，且，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.

故选：A.本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（）A. B.评分的众数估值为70C.评分的第25百分位数估值为67.5 D.评分的平均数估值为76【正确答案】C【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得.【详解】由题意：，解得，A错误，所以平均数为，故D错误；众数为，故B错误；因为，第百分位数估计为，故C正确；故选：C6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件“取出的重卦中恰有3个阳爻”.则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】记事件“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件“取出的重卦中恰有3个阳爻”．推导出（A），，则，由此能求出结果．【详解】每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“”，在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件“取出的重卦中恰有3个阳爻”．（A），，则．故选：D本题主要考查概率的求法，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.8.已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积.【详解】边长为6的正三角形的内切圆半径为：，所以正三棱柱的高为，则外接球半径，所以外接球的表面积为：，故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知函数，则（）A.的定义域为 B.为奇函数C.为上的减函数 D.无最值【正确答案】ABD【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可.【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确；对于B项，，显然，所以为奇函数，B正确；对于C项，由A项结论可知显然错误；对于D项，由指数函数的性质知：当时，，所以，则，故D正确；故选：ABD10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象关于点对称D.在区间上单调递增【正确答案】ACD【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】，，由于，所以，所以A选项正确，B选项错误.，当时，得，所以关于对称，C选项正确，，当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD11.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（）A.点的轨迹方程是B.直线是“最远距离直线”C.点的轨迹与圆没有交点D.平面上有一点，则的最小值为【正确答案】AC【分析】对A：设出，结合题意计算即可得；对B、C：联立两方程，借助判断有无交点即可得；对D：借助题目定义，将转化为点到直线的距离，从而得到，计算出的最小值即可得.【详解】对于A，设，则有，整理可得，故点的轨迹方程是，故A正确；对于B，联立直线与点的轨迹方程，有，可得，，故直线与点的轨迹方程没有交点，则直线不是“最远距离直线”，故B错误；对于C，联立圆与点的轨迹方程，有，可得，，故点的轨迹与圆没有交点，故C正确；对于D，过点作直线于点，由题意可得，故，则当、、三点共线，即直线时，有，故的最小值为，故D错误.故选：AC..关键点点睛：本题中D选项的判断需要注意结合题目所给定义，将转化为点到直线的距离，从而得到.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线交圆于A，B两点，则的弦长为______.【正确答案】【详解】圆的圆心为，半径为.圆心到直线的距离为

.弦长为.13.的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【正确答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故-2814.已知直线是曲线和的公切线，则实数____________.【正确答案】3【分析】因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件.【详解】设直线与曲线相切于点，因为切点既在曲线上也在切线上，所以.又，所以，且，即切线的斜率且.由解得，所以切线为.设直线与曲线相切于点，因为，所以，即，又切点既在曲线上也在切线上，所以.由解得.故3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得.【小问1详解】设等比数列的公比为，由题意得，解得（舍去），所以.即数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知①，所以②.①－②得所以.16.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）点在边上，且，求的周长．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解；（2）应用余弦定理得出，，即可求解.【小问1详解】由及正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以．【小问2详解】在中，，解得，在中，，所以，所以周长．17.如图，内接于圆为圆的直径，平面为线段中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）易证，，故平面，由面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量即可求空间角.【小问1详解】因为内接于圆为圆的直径，所以.因为平面平面，所以.又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为平面平面，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，所以.设平面的法向量，由得不妨设，则，所以平面的一个法向量.又，设平面的法向量，由得不妨设，则，所以平面的一个法向量.所以，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.18.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的取值；（2）讨论的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.【正确答案】（1）−1（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（3）【分析】（1）由为极值点,先利用处导数为0求出,再回代验证确为极值点.（2）求导后讨论在上的符号.（3）将“对任意，均存在”转化为恒成立，再利用导数求的最大值.【小问1详解】由,得.因为是函数的极值点,所以,即,得.当时,.当时,；当时,..所以是的极大值点,符合题意.【小问2详解】由，且.当时，，所以，故在上单调递增.当时，由得.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.【小问3详解】因为，所以在上的最大值为.题意等价于对任意，都有，即在上恒成立.若，则当时，，不符合题意.若，由小问2知在处取得最大值，且最大值为所以需，即，得.又，所以，即.故的取值范围为.第（3）问中“任意均存在”的关键是利用在上的最大值，将问题转化为在上恒成立.19.已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分