2025~2026学年湖南衡阳市衡阳县第五中学高一下册数学模块综合测评卷 含答案

/衡阳县五中2026年春高一模块综合测评卷数学分值：150分时间：120分钟考试范围：人教A版必修二全册一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.1.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A. B.C.或 D.或【正确答案】A【分析】根据纯虚数的定义列出式子即可求出.【详解】因为是纯虚数，所以，则，所以.故选：A.2.已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则（

）A.86 B.87 C.88 D.89【正确答案】C【分析】根据第百分位数的概念，求出结果即可.【详解】由题意可知共有10个数，因为，则第70百分位数是第七个和第八个数的平均数，即，解得.故选：C.3.已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（）A. B.C. D.【正确答案】D【详解】与位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意；与不一定垂直，B项不合题意；与可以平行，不一定垂直，C项不合题意；，则在平面内存在直线，且，则，又，则，D项符合题意．4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【正确答案】D【分析】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.【详解】设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.5.如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可.【详解】连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，，因为为中点，所以.故选：C6.已知向量满足，，且，则（）A. B. C.2 D.3【正确答案】C【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解.【详解】因为，，所以.由，得，即，整理得，解得，或（舍去）．故选：C．7.在中，已知，，，则（）A.1 B. C.2 D.【正确答案】C【分析】利用余弦定理计算可得.【详解】解：在中，因为，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故选：C8.的面积为S.若，，则角B等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据正弦定理边角互化以及两角和正弦可求得的度数，再根据面积公式以及余弦定理可求得，即可求得角B【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知，，化简可得，在中，所以，则，所以得，由，可得，，所以，所以.故选：C二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（）A.甲队获胜的概率为 B.乙队以3：0获胜的概率为C.乙队以3：1获胜的概率为 D.乙队以3：2获胜的概率为【正确答案】AB【分析】由概率的乘法公式对选项逐一判断，【详解】对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；对于B，乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；对于C，乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误．故选：AB10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，若，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【详解】解析：，，即，，.，根据正弦定理可得，即，又，.，，，.11.如下图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（）A. B.C. D.【正确答案】BD【分析】根据线面平行判定定理逐项验证即可.【详解】对于A，如下图，连接，则，又平面，则平面，所以不平行平面，故A不正确；对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，如下图，取中点，连接，由正方体得，又，所以六点共面，故C不正确；对于D，如下图，连接交于，连接，在正方体中，由于四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以，平面，平面，所以平面，故D正确.故选：BD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n．【正确答案】【分析】利用正弦定理求的长度即可.【详解】由题设，n且，正弦定理有，则，可得n.故13.中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________【正确答案】【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积.【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥，且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为.由题设有，故，故两个直三棱柱的表面积和为，两者有公共侧面，其面积为，而四棱锥的侧面积为，故几何体的表面积为，故答案为.14.已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为______________.【正确答案】【分析】先由正的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到，，再结合，可得到，再根据图像利用临界值法，求出的取值范围.【详解】如图所示，O为正内切圆圆心，OD为内切圆半径，在中，，，可求得内切圆半径.又PQ为圆O的直径,，利用向量的线性表示可得，，，，又M为边上的动点，由图可知，当M为边的中点时，最小为，即；当M为的顶点时，最大为，即.的取值范围为.故答案为.本题主要考查向量知识在几何中的应用，一般在求解此类问题时，常用三角形法则或平行四边形法则把问题转化，结合数形结合思想解决问题.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）且【分析】（1）先求出，再利用平方法求；（2）根据，且与不能同向共线，即可得出结果【小问1详解】，，又，，，.【小问2详解】与的夹角为锐角，，，，，，，，.又与不共线，，，且.16.已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）证明：A＝2B；（2）若a＝3，b＝2，求的面积．【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合余弦定理可得，再化边为角结合三角恒等变换即可证明；(2)结合(1)求得，由余弦定理求，再求，利用面积公式即可求解.【小问1详解】因为，所以，即，，，，，所以或，，又，所以；【小问2详解】由(1)，又a＝3，b＝2，所以，由余弦定理可得，因为，所以，所以的面积.17.如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．（1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB；（2）若平面AEC，求证：E是PD中点．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面；（2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点．【小问1详解】证明：取中点，连接，，在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且，又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】连接，交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，在中，为中点，所以为中点.18.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．【正确答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.【详解】解：(1)第六组的频率为，∴第七组的频率为．(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，由得，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为．(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．（1）求证：平面；（2）求证：F为的中点；（3）在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在N使得平面，，理由见解析.【分析】（1）连接交于，连接，易知，再由线面平行的判定证结论；（2）由，根据线面平行的判定有面，再由线面平行的性质可得，结合已知即可证结论.（3）为中点，连接