中科大机械工程力学教案11合成运动

*第十一章合成运动*§6-1点的合成运动P174如图所示的轮船向前行驶的速度ve=4m/s，A、B、C三个人跑步的速度均为vr=3m/s船上的人D观察这三人的运动方向不同，A向前，B向后，C向右舷。但速度快慢相同，均为vr=3m/s岸上的人E观察这三人的运动大致方向都随船前进。但由船速和人跑速合成每个人不同的速度分别为：向着船首跑步的人A的运动速度为vaA=ve+vr=4+3=7m/s向着船尾跑步的人B的运动速度为vaB=ve-vr=4-3=1m/s向船右舷跑步的人C的运动速度为虽然在人体和四肢不同部位各点的运动速度还有一些差别但是上述人D和人E观察别人的运动时，都将每个人视为一个运动的质点，运动的质点称为动点在DE不同位置观察船上同一个跑步的人，得到的运动规律不同，这是因为两人选择了不同的参考系站立在岸上的人E，将别人位置移动的轨迹、速度的快慢及其方向，和自已的位置作比较实际是和静止不动的陆地作比较，选择静止不动的物体作为参考系这样的参考系称为静参考系，简称为静系站立在船上的人D，将别人位置移动的情况，也和自已的位置作比较船速ve=4m/s一个动点速度合成定理ABC三人速度vr=3m/s两种参考系:静参考系静系va=ve+vrD人看三人速度vr=3m/s动参考系动系E人看三人速度三种运动:动点的绝对运动绝对速度vaA=4+3=7m/s动点的相对运动相对速度vaB=4-3=1m/s动系的牵连运动实际是和运动的轮船作比较，选择运动的物体作为参考系这样的参考系称为动参考系，简称为动系牵连点牵连速度

上述例子说明，同一个动点相对于这两种参考系的运动规律不同:动点相对于静系的运动称为绝对运动。动点相对静系的运动速度称为动点的绝对速度，用符号va表示在上例中，站立在岸上的人E观察到的各个人以大小和方向不同的速度前进的运动，就是绝对运动前进的速度vaA=7m/s、vaB=1m/s、vaC=5m/s分别是A、B、C三个人的绝对速度的数值动点相对于动系的运动称为相对运动。动点相对动系的运动速度称为动点的相对速度，用符号vr表示。在上例中，站立在船上的人D观察到的各个人向前、向后和向着右舷不同方向的运动，就是相对运动人跑步的速度vr=3m/s就是A、B、C三个人的相对速度的数值动系相对于静系的运动称为牵连运动。注意，动系的运动，不是动点的运动！某瞬时，动系上与动点位置相重合的点称为牵连点。注意，动系上的点，牵连点不在动点上！牵连点相对于静系的运动速度称为动点的牵连速度，用符号表示。注意，动系上的点的运动速度！在上例中，轮船向前行驶就是牵连运动牵连点在轮船的甲板上，轮船甲板表面被人的脚底踩着的点是牵连点。船上每人牵连点的位置不同因为这艘轮船作平行移动，虽然每人的牵连点位置不同，牵连速度却相同，均为ve=4m/s上述例子可以说明：动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理其矢量表达式为P175（11-1）同向va=ve+vr；反向va=ve-vr；垂直；任意夹角矢量合成平行四边形法则注意：绝对运动和相对运动都是动点的运动,但是牵连运动不是动点的运动,而是作为动系的刚体的运动作为动系的刚体,如果作平动,其上各点速度相同；如果定轴转动或其他运动,其上各点速度不一定相同当动点在动系上运动至不同位置,牵连点不同,牵连速度不一定相同,因此,牵连点和牵连速度都有瞬时性如下图角速度w定轴转动的转盘,ABC三人的牵连速度,分别是转盘上ABC三点圆周运动的速度这三点运动轨迹半径R不同，三人的牵连速度不同，分别为veA=Ow、veB=OBw、veC=OCw随着三人在转盘上位置的移动，牵连点不断变化，AB两人越来越靠近转盘边缘，牵连速度逐渐增大CC人越来越靠近转轴，牵连速度逐渐减小

P176例11-1已知：减速器v1=0.3m/s上升，电动葫芦v2=0.5m/s右移求：减速器va①动点：减速器上的一点M动系：电动葫芦②绝对速度：大小、方向未知相对速度：vr=v1=0.3m/s，向上牵连运动：电动葫芦直线平动牵连点：平板与减速器M重合的一点牵连速度：ve=v2=0.5m/s，向右③速度合成题目：电动葫芦的起重电机使减速器以v1上升,运行电机又使电葫芦以v2右移,显然,由v1v2合成va电葫芦和减速器运动规律不同,两者有相对运动。分析三种运动时,可选择减速器为动点,电葫芦为动系但是，两者之间没有重合点，在用速度合成定理求解这个问题时，要分析三种运动，牵连点在哪里？对于动点和动系没有重合点的这类问题，可以假想扩大动系的轮廓尺寸，就得到了牵连点例如，假想在电动葫芦的下方吊挂一块平板，该平板随它一起运动，如图中虚线所示这个平板不影响两者的运动，却使平板与减速器有了重合点,分析三种运动时，就有了牵连点①选择动点：减速器中间的任意一点M动系：电动葫芦静系：地面（今后地面静系可不写）②分析绝对运动：减速器一方面上升，一方面右移。绝对速度的大小方向都未知相对运动：减速器铅直上升，vr=v1=0.3m/s，相对速度的大小方向均已知牵连运动：电动葫芦在钢梁上作匀速直线平行移动牵连点：假想的平板上与减速器M点重合的一点牵连速度：ve=v2=0.5m/s，动系平动，牵连点速度即电葫芦速度，大小方向均已知③利用速度合成定理求解未知量（因为ve和vr互相垂直，平行四边形是矩形）小结：解题三个步骤：①选择动点和动系（注意：动点和动系要在两个不同的物体上）②分析三种运动及其速度（注意：三速度大小方向共六项，要确定其中四项）③利用速度合成定理求解未知量（注意：四边形要画得正规，其对角线一定是va）P177例11-2已知：半圆形凸轮v=260mm/s右移，f=60°求：导杆AB运动的速度①动点：导杆下端的A点动系：凸轮②绝对速度：铅直方向，大小未知相对速度：轮周切向，大小未知牵连运动：凸轮右移直线平动牵连点：凸轮上与杆的下端接触的A点牵连速度：ve=v=260mm/s，向右③速度合成题目：凸轮导杆机构，半圆形凸轮以速度v=260mm/s向右平移，推动导杆AB沿铅直滑道向上运动在图示位置，两者接触点A至凸轮圆心O的连线AO，和水平线夹角f=60求：该瞬时，导杆AB运动的速度为了从凸轮已知的运动速度分析导杆的运动速度，就要分析两者接触点的运动关系凸轮和导杆的运动规律不同，两者之间存在相对运动就可以用速度合成定理分析接触点的运动如果选择凸轮上的接触点A为动点，就必须选择导杆为动系，因为动点和动系要在两个不同的物体上选择了凸轮上的A点为动点，可以分析该动点的绝对速度方向是水平方向然而，必须选择导杆为动系，该动点A点对动系的相对运动轨迹不清楚，无法分析其相对速度的方向反之，如果选择导杆下端的接触点A为动点，选择凸轮为动系选择了导杆下端的A点为动点，仍可以分析其绝对速度是铅直方向凸轮为动系，杆端动点Ａ相对动系运动轨迹是凸轮廓圆周线，可知相对速度是圆周线在接触点切线方向比较上述两种选择动点、动系的方法可知，后者容易确定相对速度的方向，较好①选择动点：导杆下端的A点动系：凸轮②分析绝对运动：导杆下端的A点沿铅直方向上升，绝对速度的方向已知，大小未知相对运动：杆端A点沿凸轮圆周运动，相对速度方向沿轮圆周接触点的切线，大小未知牵连运动：凸轮向右平动牵连点：凸轮上与杆的下端接触的A点牵连速度：ve=v=260mm/s，动系平动，牵连点速度即凸轮右移速度，大小方向均已知③利用速度合成定理求解未知量P177~178例11-3已知：刨床急回机构，OA=r=0.3m，n=30r/min，OO1=0.4m求：曲柄OA在水平位置时，摇杆O1B的角速度w1①动点：曲柄上的销钉A动系：摇杆O1B②绝对速度：，向上相对速度：方向沿着滑槽，大小未知牵连运动：摇杆O1B绕O1定轴转动牵连点：摇杆槽Ａ点牵连速度：ve=O1A×w1，方向垂直摇杆，大小未知③题目：刨床的急回机构，曲柄OA绕定轴O作逆时针匀速转动通过曲柄端部的销钉A带动滑块在摇杆O1B的槽内滑动，使摇杆O1B绕定轴O1摆动求：曲柄转速n=30r/min，并位于水平位置时，摇杆O1B的角速度w1为了从曲柄OA已知的转速分析摇杆O1B的角速度，就要分析两者重合点A（销钉A）的运动关系销钉A对曲柄OA没有相对运动，对摇杆O1B相对运动轨迹就是摇杆的滑槽，可知其相对速度方向所以，应选择销钉A为动点，摇杆O1B为动系①选择动点：曲柄上的销钉A动系：摇杆O1B②分析绝对运动：销钉A作圆周运动，速度方向和曲柄垂直，向上，大小为相对运动：销在摇杆的槽内直线运动。相对速度的方向沿着滑槽的中心线，大小未知牵连运动：：摇杆O1B绕O1定轴转动牵连点：摇杆滑槽中的Ａ点，该点离转轴Ｏ1距离牵连速度：ve=O1A×w1，方向和摇杆轴线垂直，大小未知③利用速度合成定理求解未知量

P179例11-4已知：纸张v1=50mm/s右移，K裁纸刀v2=130mm/s求：裁剪矩形纸张，导杆AB和机架间的安装角①动点：裁纸刀K动系：纸张②绝对速度：va=v2=130mm/s，方向未知相对速度：方向和纸边垂直，大小未知牵连运动：纸张的平动牵连点：纸张上正在被裁纸刀裁剪的K点牵连速度：ve=v1=50mm/s，向右③速度合成题目：纸张和裁纸刀各自运动，似乎互不相关但要求裁剪矩形的纸张，就是要求两者相对运动速度vr的方向必须和纸张的边缘垂直就要确定裁纸刀运动速度v2的方向，即导杆AB和机架之间的安装角①选择动点：裁纸刀K动系：纸张②分析绝对运动：裁纸刀K沿导杆移动。绝对速度va=v2=130mm/s，因安装角未知，va方向未知相对运动：裁纸刀K在纸张上的裁剪线是相对运动轨迹，相对速度方向和纸边垂直，大小未知牵连运动：纸张的平动牵连点：纸张上正在被裁纸刀裁剪的K点牵连速度：ve=v1=50mm/s，动系平动，大小方向均已知③利用速度合成定理求解未知量

点的合成运动解题方法小结三种运动速度、包含大小和方向共六个量必须已知其中的任意四个，用速度合成的平行四边形关系，求解其余两个未知量在上述四道例题中，已知量和未知量如下表所示例题大小方向大小方向大小方向例11-1梁式吊车？？√√√√例11-2凸轮导杆？√√√？√例11-3急回机构√√？√？√例11-4裁纸机构√？√√？√还可能有其他情况，例大小方向都未知，大小方向都未知……等，均可以用速度合成定理求解这类问题的解题方法如例题求解过程的三个步骤所示，在每一步骤中要注意如下几个问题：①选择动点和动系动点：两种不同运动构件的重合点要写明确动点是在哪一个构件上动点和动系之间要有相对运动动系：运动的物体动点和动系不能在同一个物体上当动系和动点没有重合点时，可以将动系的尺寸假想扩大至与动点重合②分析三种运动及其速度绝对运动就是站在地面上的人观察动点的运动，绝对速度方向和绝对运动的轨迹相切相对运动就是假想站在动系上的人观察动点的运动，相对速度方向和相对运动的轨迹相切牵连运动就是站在地面上的人观察被选作动系的刚体的运动牵连点在动系上，动系上和动点重合的一点牵连速度方向和牵连点的运动轨迹相切要分析三种速度大小和方向中的四个量成为已知量③利用速度合成定理求解未知量画出速度合成的平行四边形之前，不要轻易画大小方向未知的速度箭头方向，以免画错平行四边形从大小方向已知的速度矢量端点开始画平行四边形,对边要平行,才能分析已知量和未知量的几何关系平行四边形的对角线一定是表示绝对速度

*§11-2刚体的平面运动P180平面运动的分解第九章介绍图9-4的汽车轮子是平面运动的构件；图9-5的内燃的连杆AB也是平面运动的构件为了分析与平面运动构件连接的其他构件的运动规律，首先要分析平面运动构件上某些点的运动图11-11a轮子滚动时，轮心O点运动轨迹是直线，轮缘A点轨迹是曲线，其他各点运动规律也不相同在一时间间隔，轮子自左向右滚动一段距离，直径自A0O0B0到A1O1B1，这过程可以分解为两步进行：第一步,轮子随轮心Ｏ平动各点运动轨迹速度都和Ｏ点相同,轨迹都直线原直径A0O0B0平移‘O1‘第二步，在新的位置上，轮子绕轮心O1点转动，直径‘O1‘转动到A1O1B1位置，其转角为fO在上述平动的过程中，刚体上各点的运动规律与轮心O点运动规律完全相同，称O点为基点所以，刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和绕着基点的转动这两种运动是同时进行的也可以选择其他的点为基点，如，选择轮子边缘上的A点为基点（图11-11c），运动分解的两个步骤是：第一步,轮子随Ａ点平动各点运动轨迹速度都和Ａ点相同,轨迹都曲线原直径A0O0B0平移到A1‘‘第二步，在新的位置上，轮子绕A1点转动，直径A1‘‘转动到A1O1B1位置，其转角为fA比较上述两种选择不同基点的方法可以看出：O点和A点运动的轨迹不同。所以，选择不同的基点，刚体平动的规律不同平动后直径‘O1‘和A1‘‘平行转角fO＝fA。所以选择不同的基点刚体绕基点转动的转角相同图11-12所示作平面运动的连杆AB，一段时间间隔里，连杆自图a所示的位置运动到图b所示的位置可以用连杆两端铰链中心连线AB表示其平面位置。在这段时间间隔里，自A0B0运动到A1B1（图c）如果选择B点为基点（图11-12d），刚体平动时，其上各点运动的轨迹是直线，刚体转动的转角为fB如果选择A点为基点（图11-12e），刚体平动时，其上各点运动的轨迹是曲线，刚体转动的转角为fA图11-11图11-12选择不同的基点，刚体平动的规律也不同，而‘B1和A1‘平行，转角fB=fA所以，选择不同的基点，平动部分的运动规律不同，平动的速度不同选择不同的基点，刚体的转角相同，在相同的时间间隔内，转动的角速度相同这就说明：刚体平面运动的平动速度和基点的选择有关，刚体平面运动的转动角速度和基点的选择无关

速度分析的瞬心法如图11-13a所示作平面运动的刚体，假设已知A点的速度为vA，刚体转动的角速度为w为分析任一的运动可假设有图b虚线所示另一平动物体该物体各点运动规律和刚点完全相同这样，在两个刚体各自运动的过程中，可以看作两刚体始终在A点用假想“铰链”连接在一起运动选择A点为基点，平面运动可以分解为随同A点的平动和绕着A点的转动也可看作在虚线所示假想刚体上，真刚体绕A点转动，同时,假刚体又带着真实刚体以速度vA作平动用点的速度合成定理求解B点的速度动点：真实刚体上的B点动系：假想的虚线刚体静系：地面绝对运动：B点相对静系的运动，绝对速度va=vB，其大小、方向均为未知量相对运动：因为在虚线所示的假想刚体上，B点所在的真实刚体绕着A点定轴转动相对运动的轨迹是以A点为圆心，AB为半径的圆周运动相对速度的方向和直线AB垂直。其大小为vr=Aw=vBA（a）牵连运动：虚线所示的假想刚体的平动牵连点：虚线所示的假想刚体上的B点牵连速度：因为假想刚体以速度vA作平动，所以,其大小方向均为已知量根据点的速度合成定理即（b）式（b）表明：平面运动刚体上任一点的速度，等于基点速度与该点绕基点转动速度的矢量和①动点：真实刚体上的Ｂ点动系：假想的虚线刚体静系：地面②绝对速度：va=vB，大小、方向未知相对速度：vr=Aw=vBA，方向垂直AB牵连运动：假想虚线刚体的平动牵连点：假想虚线刚体上的Ｂ点牵连速度：ve=vA，大小方向均已知③速度合成va=ve+vrvB=vA+vBA

平面运动刚体上各点速度大小方向不同，存在速度等零的点，为什么有?省略证明过程。如C*点,vC*=0在平面运动刚体轮廓范围内，不一定有速度等于零的点，可能要将其尺寸扩大，才得到速度等于零的点在平面运动的刚体上，某瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心，简称为瞬心如果选择瞬心C*点为基点，求刚体上任一点B的速度，根据上式（b）有vB=vBC*=BCwvB=BCw（11-2）式（11-2）表明：刚体上任一点的速度，等于该点至瞬心的距离与刚体角速度的乘积其方向和该点至瞬心的连线垂直指向和角速度的转向一致所以，刚体的平面运动可以视为绕瞬心的瞬时转动因此，平面运动刚体上各点的速度与其到瞬心的距离成正比①动点：真实刚体上的Ｂ点设C*点vC*=0vC*=0动系：假想的虚线刚体C*点称为瞬时速度中心静系：地面简称为瞬心②绝对速度：va=vB，大小、方向未知以C*点为基点相对速度：vr=Aw=vBA，方向垂直ABCvB=vC*+vBC*牵连运动：假想虚线刚体的平动vB=0+vBC*牵连点：假想虚线刚体上的Ｂ点vB=vBC*=BCw牵连速度：ve=vA，大小方向均已知vB=BCw③速度合成va=ve+vrvB=vA+vBA在通过瞬心的各条直线上，各点线速度的分布规律如图所示

确定平面运动刚体瞬心位置有如下四种方法：①过一个刚体上的两点作其速度的垂线，若两垂线相交，交点是瞬心如图11-15曲柄滑块机构，连杆AB上A点速度vA方向和曲柄OA垂直，B点速度vB沿着滑道轴线过AB两点分别作速度vAvB的垂线，两条垂线的交点C*一定是连杆AB的瞬心因AB平面运动,可视为该瞬时绕瞬心定轴转动,各点速度与其到瞬心连线垂直,所以两垂线交点是瞬心②过一个刚体上的两点作其速度的垂线，若两垂线重合，垂线与这两点速度矢量端点连线的交点是瞬心图11-16ab上下两齿条平动，带动中间齿轮平面运动，齿轮上下两啮合点速度等于两齿条速度vAvB过这两啮合点作两速度垂线重合，若vAvB同向，两速度矢量端点连线与垂线交点得瞬心在齿轮之外若vAvB反向，两速度矢量端点连线与垂线交点得瞬心在齿轮之内因齿轮视为绕瞬心定轴转动,各点速度大小与其到瞬心距离正比,所以垂线与两速度矢端连线交点是瞬心③过一个刚体上的两点作其速度的垂线，若两垂线平行，刚体作瞬时平动，其上各点的速度相同如图11-17所示的曲柄滑块机构，当曲柄OA与滑道轴线垂直时，AB两点的速度相互平行两速度的垂线也相平行，两垂线交点在无穷远，连杆AB必须角速度w=0，各点速度才不等于无穷大因w=0，据式（b）有，vBA=Aw=0，vA=vB，瞬时平动刚体上,各点速度都相同④物体沿固定面作纯滚动，其接触点是瞬心11-18a轮子在地面滚动不滑动,轮地接触点是轮子瞬心，直杆在固定轮周滚动,接触点是杆的瞬心因两者接触点速度相同,一者速度为零,运动构件与其接触点速度也等零,所以接触点是运动构件的瞬心在地面滚动而不滑动的运动称为纯滚动，纯滚动轮子上各点的速度分布如图11-18a所示图11-15图11-16图11-17图11-18

P184~185例11-5已知：偏置曲柄滑块机构e=0.5m曲柄OA=r=0.2m，w=10rad/s连杆AB=l=1m求：曲柄位于水平位置时，滑块vB已知：偏置曲柄滑块机构e=0.5m①曲柄OA曲柄OA=r=0.2m，w=10rad/svA=rw=0.2×10=2m/s连杆AB=l=1m②连杆AB求：曲柄位于水平位置时，滑块vB瞬心C*BC*=e=0.5mAC*=l·cosa=1×cos30=0.866mvB=BC*·wAB=0.5×2.31=1.15m/s题目：偏置曲柄滑块机构，曲柄转动中心O至滑道中心线的距离为e=0.5m曲柄长度为OA=r=0.2m，角速度w=10rad/s匀速转动带动长度为AB=l=1m的连杆，使滑块B沿水平滑道运动求：曲柄位于水平位置时，滑块B的运动速度vB①曲柄OAvA=rw=0.2×10=2m/s②连杆AB瞬心C*（vA方向垂直OA即铅直向下，vB方向沿滑道即水平，作vAvB垂线得交点C*瞬心）BC*=e=0.5mAC*=l·cosa=1×cos30=0.866m（∵AB=1m=2BC*，AC*BC*，∴a=30）（逆时针转向）vB=BC*·wAB=0.5×2.31=1.15m/s（向右）小结：确定瞬心位置的方法之一：过一个刚体上的两点作其速度的垂线，若两垂线相交，交点是瞬心用瞬心法求解平面运动的步骤，①确定瞬心位置，并计算其尺寸②平面运动构件角速度，一点速度vB=BC*·wAB定轴转动刚体上一点的速度，曲柄OA上A点的速度，vA=rw

P185例11-6已知：同心轮w=1rad/s，大轮R=200mm，小轮r=100mm动滑轮r1=150mm求：重物W上升的速度vW已知：同心轮w=1rad/s①同心轮O大轮R=200mmvA=Rw=200×1=200mm/s∴AC*=200mm小轮r=100mmvB=rw=100×1=100mm/s∴BC*=100mm动滑轮r1=150mm②动滑轮O1O1C*=r1-BC*=150-100=50mm求：重物W上升的速度vW瞬心C*AC*+BC*=2r1=300mmvO1=O1C·w1=50×1=50mm/s