2026年北京市高考数学试卷（含答案及解析）

绝密★使用完毕前2026年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、单项选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合M＝{x|－1＜x＜3},N＝{x|x≥2}，则M∪N＝A.{x|x＞－1}B.{x|－1＜x＜2}C.{x|－1＜x＜3}D.{x|x≥2}2.已知,则＝

A.B.1C.2D.83.已知双曲线(a＞0)的渐近线方程为，则a＝A.2B.3C.4D.94.已知(a－x)7的展开式中的x2的系数是280，则a＝A.2B.－2C.D.±25.下列函数中,既是奇函数,又在其定义域内单调递增的是A.B.C.D.6.已知向量,满足,则的最大值为A.1B.2C.3D.47.设数列，命题：存在常数，使对一切成立；命题：对一切成立。则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知。将的图象向右平移个单位得，若的图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为A.1B.2C.3D.49.某校组织高一、高二年级学生分别前往甲、乙两地研学。记高一去甲、去乙的人数为p,q，高二去甲、去乙的人数为r,s。已知p+q＞r+s且p+r＞q+s。下列关于人数的判断中一定正确的是A.去甲的高一学生多于去乙的高二学生B.去甲的高一学生不多于去乙的高二学生C.去乙的高一学生多于去甲的高二学生D.以上都不能确定10.摇杆机械装置，如图，平面内A,B两点固定，AB＝4。点D在以A为圆心、半径1的圆上(AD＝1)，点C满足CD＝3,。则的取值范围为

A.B.C.D.二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分。)11.若直线ax+y＝0与圆相切,则a＝____.12.等差数列的前n项和为，满足，且对任意n有，则的一个可能取值为____．13.声压级y(单位:dB的某刻度)与频率f(Hz)满足,若lg2≤y＜3lg2,则f的取值范围是_____14.已知三棱锥A－BCD，，BD＝BC＝2，.则它的底面BCD的面积为_____，体积为_____.15.设c∈R，函数，给出下列四个结论：①f(x)在(－1,1]上有最小值和最大值；

②当c＝0时，f(x)＝1有3个解；

③当c＝1,x∈(1,2]时,f(x)有最大值；

④当c＞0时，f(x)与y＝c有4个交点。其中正确论断的序号是______．三、解答题(本题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)16.（本小题13分）已知函数的最小正周期为,且。(1)求、φ的值;

(2)求f(x)的单调递减区间.17.（本小题14分）现从全校学生中随机抽取200人统计某项体能指标,数据按区间[81,94]、(94,107]、(107,120]、(120,135]、(135,150]，人数依次为40,60,60,32,8。每个学生指标相互独立。

(1)估计该指标不超过120的概率;

(2)将指标≥120记为“偏高”，≤94记为“偏低”，其余为“正常”。用频率估计概率,从全体学生中独立随机抽取4人,求恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率；

(3)若把每组数据分别用其区间的左端点、中点、右端点代表,所得三组数据的方差分别记为、、,试比较其大小并说明理由.18.（本小题13分）已知直三棱柱,∠BAC＝90°,AB＝AC＝2，,E、D分别为,AB的中点.

(1)证明:DE∥平面;

(2)点P在平面内,且,再从条件①、条件②、条件③这几个条件中选择一个作为已知,使得P唯一确定,求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值.

①PA＝PD;②PA⊥BC;③平面.

(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答,按第一个解答计分.)19.（本小题15分）已知椭圆的一个顶点是，离心率为。

(1)求E的方程；

(2)过点A(1,1)作斜率为的直线交E于B,C两点。设D为B关于直线y＝x的对称点，直线DC交y＝x于点Q。若，求k的值.20.（本小题15分）已知函数，其中。曲线y＝f(x)在点(－1,f(－1))处的切线方程为.

(1)求m，n的值；

(2)求证：f(x)有两个极值点；

(3)当k＞0时，讨论直线y＝kx－1与曲线y＝f(x)的公共点个数。21.（本小题15分）给定正整数m,n(m,n≥3)，设是一个m行n列的数表，其中。若对任意行k≠p、列l≠q，当(k－l)－(q－p)∈{－2,2}时，都有，则称数表A具有性质P.

(1)判断下列两个数表是否具有性质P：，.

(2)在所有具有性质P的5×4数表中，1的个数最多是多少？

(3)若m＝n＝6，，且数表A具有性质P，证明：对任意，都有.2026年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学答案及解析姓名:_______________准考证号:___________________本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、单项选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合M＝{x|－1＜x＜3},N＝{x|x≥2}，则M∪N＝A.{x|x＞－1}B.{x|－1＜x＜2}C.{x|－1＜x＜3}D.{x|x≥2}【答案】A【解析】本题考查了集合的运算.

已知M＝{x|－1＜x＜3}

N＝{x|x≥2}

M∪N＝{x|x＞－1}

故选A.

2.已知,则＝

A.B.1C.2D.8【答案】A【解析】本题考查复数的加减运算以及模的计算.

故选A.

3.已知双曲线(a＞0)的渐近线方程为，则a＝A.2B.3C.4D.9【答案】B【解析】本题考查了双曲线的渐近线

已知

渐近线为

故答案为:B

4.已知的展开式中的的系数是280，则a＝A.2B.－2C.D.±2【答案】A

【解析】本题考查了二项式定理求特定项系数

令

的系数

故选A

5.下列函数中,既是奇函数,又在其定义域内单调递增的是A.B.C.D.【答案】D

【解析】本题考查了函数单调性、奇偶性.

A项，x∈R,为偶函数.排除;

B项f(x)＝sinx，x∈R.f(x)在R上不单调，排除;

C项，x∈R,为奇函数,而f(x)在R上单调递减，排除.

D定义域为关于原点对称

∴f(x)为奇函数.

令，f(x)＝lnu

∴u(x)在[－5,5)上单增.

而f(x)＝lnu为单增函数.

由复合函数“同增异减”的规律.可得f(x)为增函数.

故选D.6.已知向量,满足,则的最大值为A.1B.2C.3D.4【答案】D

【解析】本题考查了向量的模。

当时.

故答案为：D

7.设数列，命题：存在常数，使对一切成立；命题：对一切成立。则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查了充要条件的推理已知p：存在常数m，使，对于一切n成立，故由不等式的传递性可得出成立

反之取：0,2,0,2，···，：1,3,1,3，···，恒有，但不存在介于两项之间的常数m使得P命题成立∴P是Q的充分不必要条件故选A.

8.已知。将的图象向右平移个单位得，若的图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题考查了三角函数的图形变换.将的图象向右平移个单位得

关于x轴对称，即对于一切x成立；于是

,则令

得,共3个.

故选C.

9.某校组织高一、高二年级学生分别前往甲、乙两地研学。记高一去甲、去乙的人数为p,q，高二去甲、去乙的人数为r,s。已知p+q＞r+s且p+r＞q+s。下列关于人数的判断中一定正确的是A.去甲的高一学生多于去乙的高二学生B.去甲的高一学生不多于去乙的高二学生C.去乙的高一学生多于去甲的高二学生D.以上都不能确定【答案】A【解析】本题考查了不等式的性质∵

由同向不等式的可加性得

∴

∴

即“去甲的高一学生(p)多于去乙的高二学生(s)”

故选A10.如图，平面内A,B两点固定，AB＝4。点D在以A为圆心、半径1的圆上(AD＝1)，点C满足CD＝3,。则的取值范围为

A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查了求动点的轨迹、余弦定理,实际应用能力.∵AD＝1CD＝3由三角不等式可得的范围,

即..

从而可知C点落在以A为圆心,以内外半径为2与4的圆环上(包含边界)

∴在中.AB＝4由余弦定理.

故选B二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分。)11.若直线ax+y＝0与圆相切,则a＝____.【答案】0【解析】本题考查了直线与圆的位置关系直线ax+y＝0与圆相切圆心(2,2)半径为2.则圆心到直线的距离等于半径.

∴8a＝0,∴a＝0.

故答案为0.12.等差数列的前n项和为，满足，且对任意n有，则的一个可能取值为____．【答案】5(答案不唯一).

【解析】本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式

.设公差为D.

∴15d＝18d+30

∴－3d＝30,∴d＝－10对于一切n成立,

则.

由,得.

又,.

取即可.答案不唯一.

故答案为5.13.声压级y(单位:dB的某刻度)与频率f(Hz)满足,若lg2≤y＜3lg2,则f的取值范围是_____【答案】[700,4900)【解析】本题考查了对数函数的单调性,对数解不等式在实际问题中的应用

在上单增

故答案为[700,4900)14.已知三棱锥A－BCD，，BD＝BC＝2，.则它的底面BCD的面积为_____，体积为_____.【答案】；

【解析】本题主要考查了求三角形面积、三棱锥的体积在中

BC＝BD＝2;由余弦定理

如图:取CD中点M,连AM,BM,∵AC＝AD，AM⊥CD

BC＝BD，BM⊥CD

∴CD⊥面ABM在中,,BM＝1

故答案为:;15.设c∈R，函数，给出下列四个结论：①f(x)在(－1,1]上有最小值和最大值；

②当c＝0时，f(x)＝1有3个解；

③当c＝1,x∈(1,2]时,f(x)有最大值；

④当c＞0时，f(x)与y＝c有4个交点。其中正确论断的序号是______．【答案】①②③④【解析】本题考查了利用导数研究函数的性质、函数的最值、极值、函数的图像以及解的个数。

令

∴g(x)为偶函数

严格递增，又。

列表如下：

的值域为①的性质由以上分析列表如下

（x＝0取到）f(x)最小值为，否则离近的端点值，二者皆可取到，

故f(x)在(－1,1]上既有最大又有最小值.故①正确.②.当c＝0时，

或

当时，

令

在上单增

当时，为单调递减；

当时为单调递增;

u(0)＝－1

时,

且,为偶函数

时

∴u(x)＝1有两个解。

当时,

由以上分析,∵u(0)＝－1,∴u(x)＝－1有一个解

综上有3个解.故②正确;③.当C＝1时,.

,令

在上严格递增，

(开端点取不到)

(闭端点取到)

在左端附近趋于(取不到)

在处取到

，故在上的最大值

为，在时取到，有最大值

故③正确④.

令,由以上分析u(x)为偶函数

单增,单减

且

①当时∵c＞0

∴y＝u(x)与有两个交点.

则有两个解

②当时

则y＝u(x)与有两个交点.

∴也有两个解又四个交点互异

∴有4个解:由④正确.

综上答案为①②③④.三、解答题(本题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)16.已知函数的最小正周期为,且。(1)求、φ的值;

(2)求f(x)的单调递减区间.【答案】(1),(2),k∈Z.【解析】本题考查了的三角函数性质，两角和差的三角公式.

函数的周期性、单调性.

(1)

.

,

又,令（舍）

(2)于是

令，

时为单调递减

的单调递减区间为k∈Z.17.现从全校学生中随机抽取200人统计某项体能指标,数据按区间[81,94]、(94,107]、(107,120]、(120,135]、(135,150]，人数依次为40,60,60,32,8。每个学生指标相互独立。

(1)估计该指标不超过120的概率;

(2)将指标≥120记为“偏高”，≤94记为“偏低”，其余为“正常”。用频率估计概率,从全体学生中独立随机抽取4人,求恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率；

(3)若把每组数据分别用其区间的左端点、中点、右端点代表,所得三组数据的方差分别记为、、,试比较其大小并说明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】本题考查了求随机变量的概率，以及方差，考查了计算能力与分析问题的能力

（1）由题可知，数学成绩不高于120分的人数为：40+60+60＝160

则数学成绩不高于120分为事件A

故数学成绩不高于120分的概率为．

（2）由频率估计概率：偏高：，偏低：；

正常：．独立抽取4人，恰好2人偏高，2人偏低

故恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率为．

（3）取各组左端点，中间值，右端点分别为

左：8194107120135；

中：87.5100.5113.5127.5142.5

右：94107120135150.

由平均数及方差：得∴18.已知直三棱柱,∠BAC＝90°,AB＝AC＝2，,E、D分别为,AB的中点.

(1)证明:DE∥平面;

(2)点P在平面内,且,再从条件①、条件②、条件③这几个条件中选择一个作为已知,使得P唯一确定,求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值.

①PA＝PD;②PA⊥BC;③平面.

(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答,按第一个解答计分.)【答案】(1)DE∥平面(2)【解析】本题考查了立体几何线面平行判定定理，利用空间向量求面与面

的夹角，动点探究问题.(1)取CB的中点M连,MD.

∵在直三棱柱中

D为AB中点

M为CB中点

E为的中点

∴四边形为平行四边形.

面

面

面(2);面

∴建系如图，设

A(0,0,0),,

D(0,1,0),,

,,

若选①.,

※又代入※中得唯一确定.设平面PAD的法向量为令,设面PDE的法向量为令,设面PAD与面PDE的夹角为.故PAD与面PDE夹角余弦值为若选②.B(0,2,0)C(2,0,0)

＜1＞

又＜2＞由＜1＞＜2＞解得唯一确定,以下解题过程与选①相同.若选③.如图延长EP,,,E为的中点,为的中点连,∵D为AD的中点,面面面EPDP是的任意一点，都能使面EPD.∴此时P点不唯一确定,故不能选③.19.已知椭圆的一个顶点是，离心率为。

(1)求E的方程；

(2)过点A(1,1)作斜率为的直线交E于B,C两点。设D为B关于直线y＝x的对称点，直线DC交y＝x于点Q。若，求k的值.【答案】（1）椭圆方程为（2）【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系。求椭圆的标准方程、面积问题。（1）由题意椭圆的右顶点(2,0),∴a＝2

，所∴c＝1

椭圆方程为(2)设

B、D关于y＝x对称

过A(1,1)且斜率为k的直线y－1＝k(x－1)

又∵A、Q均在y＝x上,

且B、D关于y＝x对称

.

∵C、D、Q三点共线,

由题意，

同理

整理得：

即：整理得：

，设点D到BC的距离为d

若则矛盾

若则

20.已知函数，其中。曲线y＝f(x)在点(－1,f(－1))处的切线方程为.

(1)求m，n的值；

(2)求证：f(x)有两个极值点；

(3)当k＞0时，讨论直线y＝kx－1与曲线y＝f(x)的公共点个数。【答案】(1)m＝2,n＝1(2)f(x)有两个极值点(3)公共点个数为1个【解析】本题考查了导数的几何意义,极值点的个数,利用导数研究函数的性质、分类讨论思想.（1）由题意：切线方程为当时，

切线的斜率当n＝1时，恒成立;当n≥2时,则不成立;当n≤－1时,左边非正,右边为正,不成立;若n＝0时,∴n＝1代入中,得m＝2.∴m＝2,n＝1.此时(2)令

则得

,又∴g(x)在(－1,0)和(0,2)内各有一个零点,结合g(x)先增后减，知g(x)共有两个零点因此有两个零点，且符号有负变正再变负，∴f(x)的极值点个数为2.（3）令

当x≥1时，且

在上递减，又

故在上递减，因此x≥1无根。当0≤x＜1时，。

由切线放缩，取，得

。

又∵k＞0，x≥0，。当x＝0时，.

当0＜x＜1时，－1＜x＜0，故