2026年部编版高二第二学期数学期末学情调研试卷（附答案可下载）

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,0)，则2a-b等于（）A.(0,5,6)B.(0,5,3)C.(0,5,6)D.(2,5,6)2.若直线l垂直于平面α内的两条相交直线，则（）A.l平行于αB.l垂直于αC.l在α内D.l与α相交但不垂直3.直线y=2x+1的倾斜角是（）A.arctan2B.arctan(1/2)C.π-arctan2D.π-arctan(1/2)4.圆x²+y²-4x+6y=0的圆心坐标是（）A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)5.椭圆x²/9+y²/4=1的离心率是（）A.√5/3B.√5/2C.2/3D.4/96.双曲线x²/4-y²=1的渐近线方程是（）A.y=±(1/2)xB.y=±2xC.y=±(1/4)xD.y=±4x7.直线x+y-1=0与圆x²+y²=1的位置关系是（）A.相交且过圆心B.相交不过圆心C.相切D.相离8.抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是（）A.2B.4C.8D.169.已知空间三点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，则向量AB与AC的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)，若x1+x2=5，则|AB|等于（）A.5B.6C.7D.811.圆C1：x²+y²=1与圆C2：(x-2)²+(y-2)²=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切12.已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A.(0,√2-1)B.(√2-1,1)C.(0,1/2)D.(1/2,1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.空间中两点A(1,2,3)和B(4,5,6)之间的距离是________。14.直线2x-y+1=0在y轴上的截距是________。15.椭圆x²/25+y²/9=1的焦距是________。16.已知双曲线x²/m-y²/4=1的离心率为√3，则m的值为________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，求直线AM与平面A1BC1所成角的正弦值。18.（本小题满分12分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(-1,1),B(1,3)。（1）求圆C的标准方程；（2）若过点P(5,2)的直线l与圆C相切，求直线l的方程。19.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作斜率为1的直线l，交椭圆于M,N两点，求弦MN的长。20.（本小题满分12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，∠BAC=90°，D为BC的中点。（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求直线A1D与平面ADC1所成角的正弦值。21.（本小题满分12分）已知双曲线C：x²-y²/3=1，过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A,B两点，且P为AB的中点，求直线l的方程。22.（本小题满分12分）已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=x+m与抛物线交于A,B两点。（1）若m=-1，求弦AB的长；（2）若OA⊥OB（O为坐标原点），求m的值。参考答案一、选择题1.A2.B3.A4.C5.A6.A7.B8.B9.C10.C11.A12.B二、填空题13.3√314.115.816.2三、解答题17.解：设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系，D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),A1(2,0,2),M(0,0,1)。向量AM=(-2,0,1)，平面A1BC1的向量A1B=(0,2,-2),A1C1=(-2,2,0)，设法向量n=(x,y,z)，由n·A1B=0，n·A1C1=0得y=z,x=y，取n=(1,1,1)。直线AM与平面所成角θ满足sinθ=|AM·n|/(|AM|·|n|)=|-2×1+0×1+1×1|/(√(4+0+1)·√(1+1+1))=1/(√5·√3)=√15/15。18.解：（1）设圆心C(a,0)，由CA=CB得√((a+1)²+1)=√((a-1)²+9)，解得a=2，圆心C(2,0)，半径r=√10，圆的标准方程为(x-2)²+y²=10。（2）分斜率存在与不存在：斜率不存在时直线x=5，圆心到距离3≠√10不成立；斜率存在时设l：y-2=k(x-5)，由相切得|2k-0+2-5k|/√(k²+1)=√10，平方得9k²-12k+4=10k²+10，解得k=-6±√30，直线方程为y=(-6+√30)x+32-5√30或y=(-6-√30)x+32+5√30。19.解：（1）离心率e=√3/2，故c²=3a²/4，b²=a²/4，代入点(2,1)得4/a²+1/(a²/4)=1，解得a²=8，b²=2，椭圆方程为x²/8+y²/2=1。（2）右焦点为√(8-2)=√6，直线l：y=x-√6，代入椭圆得5x²-8√6x+16=0，x1+x2=8√6/5，x1x2=16/5，弦长MN=√(2[(8√6/5)²-4×16/5])=√(128/25)=8√2/5。20.（1）证明：建系A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),D(1,1,0),C1(0,2,2)，向量A1B=(2,0,-2)，平面ADC1的法向量n=(1,-1,1)，A1B·n=0，且A1B不在平面内，故A1B∥平面ADC1。（2）向量A1D=(1,1,-2)，sinθ=|A1D·n|/(|A1D|·|n|)=|1-1-2|/(√6·√3)=2/(3√2)=√2/3。21.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，代入双曲线得x1²-y1²/3=1，x2²-y2²/3=1，两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)/3，P为中点故x1+x2=4,y1+y2=2，斜率k=3×4/2=6，直线方程为y-1=6(x-2)即y=6x-11。22.（1）解：m=-1时直