离散型随机变量的方差教案

第七章前机变量及其合布

7.3离微型成机变量的故生特征

7.3.2离微型成机变量的方差

一、放老日希

1、正确认知离散型随机变量及其分布列

2、理解并掌握离般型随机变量的均值与方差

二、数学业点、雍点

重点：离散型随机变量的均值与方差

难点、：正确列出随机变量的分布列，并求出均值与方差

三、当让与数考用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的

教学目标.

2、教学用具：多媒体没备等

0、数学过程

(一)创设情景，揭示课题

随机变量的均值或数学期望

一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示,

•・・

XXI12Xn

•••

Pp\P2d

则称E(X)=XPi+x2P2+「+x〃P”=工苍8为随机变量X的均值(mean)

»=i

或数学期望(mathematicalexpectation),数学期望简称期望.

E(aX+b)=aE(X)+b

【情景一】

有A,6两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差”分别为X,Y

(单位：s),x,y的分布列如下：

品牌A品牌B

X一0.010.000.01Y-0.500.000.50

\_\_\_

PP

333333

(I)分别计算X,y的均值，并进行比较；

(2)这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同？

【酢析】(1)E(x)=-0.01x1+0.00x1+0.01x1=0

333

E(Y)=-0.50xl+0.00xi+0.50xL0

333

所以这两种表的平均日走时误差都是0,因此仅仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更好.

(2)观察发现A品牌的表的误差只有±0.01s,而8品牌的表的误差为±0.05s,

所以A品牌的表要好一些.

【问题】除了均值外，还有其他刻画随机变量特点的指标吗？

【阅读研讨】研读课本67-69,交流记忆相关结论(用时约3-5分钟)

(二)阅读精要，研讨新知

【思考】怎样定最刻画离散型随机变显取值的离散程度?

【蟀读】

随机变量的方差(variance)与标准差(standarddeviation)

设离散型随机变量X的分布列如下表所示.

XXI12•••

•••

p/>!P2

O(X)=(M—E(X)YPi+(w—E(X))~〃2+…+(x“一E(X))~〃”

方差

=宜。*(*)))小有时也记为以〃(X).

/=1

标准差y/D(X),记为b(X).

【探究与发现】

⑴方差的简化运算：D(X)=£a-E(X))2p产支x；〃厂(E(X))2

j=li=l

(2)随机变量与X的方差关系:

随机变量的方差的性质

D(X+Z?)=D(X)D(aX)=a2D(X)

D(aX+b)=crD(X)

【例题研讨】阅读领悟课本29例5、例6(用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.)

例5抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.

解：随机变量X的分布列为P(X=k)=L,k=1,2,3,4,5,6

6

7611Q1

因为E(X)=—,士(严xL)=L(12+22+32+42+52+62)=j

2666

617

所以。(X)=£(Fxw)—(刃235

k=i62V2

例6投资A3两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.310所示.

表7.>9股票A收益的分布列表7・810股票B收益的分布列

收益X/元-102收益Y/'元012

概率0.10.30.6概率0.30.40.3

(I)投资哪种股票的期望收益大？

(2)投资哪种股票的风险较高？

解：(1)股票A和股票8投资收益的期望分别为

E(X)=(-1)x0.1+0x03+2x0.6=1.1

E(K)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1

因为E(X)>E(y),所以投资股票A的期望收益较大.

(2)股票A和股票〃投资收益的方差分别为

D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29

Z)(r)=02x0.3+l2x0.4+22X0.3-12=0.6

因为反X)和E(y)相差不大，且。(x)>o(y),

所以投资股票A比投资股票B的风险高.

【小组互动】完成课本6。练习1、2、3,同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

练习(第70页)

1.E(X)=2.4,D(X)=0.84.D(2X+7)=22X0.84=3.36,o(2X+7)=l.833.

2.E(X)=cP(X=c)=c.D(X)=(c-c)2P(X=c)=O.

3.直观观察X的分布离散程度较大.

E(X)=E(y)=O,D(X)=1.2,D(Y)=0.7.

因为D(X)>D(Y),所以X的分布离散程度比Y大.

（三）探索与发现、思考与感悟

1.（多选）已知X的分布列为

X-101

1£

P

236

以下结论中，正确的是（

A.E(X)=-gB.C.£(2X+1)=1D.£>(2X+1)=；

解：因为E(X)=(-1)X4+0X」+1X'=-L,所以A正确；

2363

因为。(X)=(T+1)2XL+(()+[)2X1+(1+32X2,=1,所以B错误：

3233369

因为£(2X+1)=2E(X)+1=2x(—』)+1=1，所以C正确；

3

728

因为0(2X+1)=220(X)=4X§=K，所以D正确，故选ABD

2.已知随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D（X）的最大值为（）

X012

Py0.4X

A.0.72B.0.6C.0.24D.0.48

解：由题意知y=0.6—x,因为E(X)=0.4+2x,

所以0(X)=Xy+/X04+2?•X-(0.4+2x)2

=-4x2+2.4x+0.24=—4(x—0.3y+0.6

当x=0.3时，D(X)max=0.6,故选B

2I42

3.设X是离散型随机变量，P(X=x)=—,P(X=%)=—,JLx<x,,又已知E(X)=—,nX)=一,

3-339

则为+9的值为（）

5711

A.-B.-C.3D.

33T

49I4

解：由£(X)=一得一%+-％=一，

.八，v、2/日/4、22412

由。(X)=一得(%一一)~x-+(x,一一)-x-=-,

933~339

5

X=1x,=1

解得,又百<,%,所以*，所以玉+占=3,故选C

冬二2X-）-2

3

4.根据以往的经验，某工程施工期间的降水最X（单位:mm）对工期的影响如下表:

降水量XX<300300<X<700700<X<900X>900

工期延误天数y02610

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,09求:

（I）工期延误天数丫的均值与方差.

（2）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

解：（1）由已知条件有P（X<300）=0.3,

P(300<X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4

尸(700<X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2

P(X>900)=i-P(X<900)=1-0.9=0.1

所以y的分布列为

Y02610

P0.30.40.20.1

所以E(y)=0x0.3+2x0.4+6x0.2+10x0.1=3

E(Y)=(0—3/x0.3+(2—x0.4+(6-3)2x0.2+(10-3)2xO.l=9.8

故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.

(2)由概率的加法公式，P(X>300)=1-P(X<3(X))=1-0.3=().7

又P(3(X)<X<9(X))=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6

由条件概率，得P(Y<6\X>300)=P(X<900|X>300)

_P(300<X<900)_0.6_6

P(X>300)—"0?7~7

所以在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是-.

7

（四）归纳小结，回顾重点

随机变量的方差（variance）与标准差（standarddeviation）

设离散型随机变