第二讲 图形的对称与折叠-【满分之路】备战2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块七图形与变换第二讲图形的对称与折叠知识梳理夯实基础 知识点1：轴对称与轴对称图形1.轴对称与轴对称图形轴对称图形轴对称定义如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做，这条直线就是它的。这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形，这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点,叫做。图示性质对应线段相等(1)AB=BD=(2)如果对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。(1)AB=AC=BC=(2)如果两个图形的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。对应角相等∠B=∠BAD=∠ADB=∠A=∠B=∠C=对应图形全等△ABD≌△ABC≌对应点(1)点A与点点B与点点D与点(2)非重合对应点的连线被对称轴垂直平分。(1)点A与点点B与点点C与点(2)非重合对应点的连线被对称轴垂直平分。区别(1)轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形.(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个全等图形之间的位置关系.(2)对称轴只有一条.联系把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条直线成轴对称.2.常见的轴对称图形及其对称轴图形对称轴数量对称轴角条角平分线所在的直线等腰三角形条顶角平分线所在的直线(或底边上的高所在的直线或底边上的中线所在的直线)等边三角形条三个内角平分线所在的直线(或任一条边上的高或中线所在的直线)矩形条相邻两边的垂直平分线正方形条相邻两边的垂直平分线和对角线所在的直线正n边形（n为正整数）条奇数边:一个顶点和该顶点所对的边的中点所在的直线即为对称轴;偶数边:一条边的中点与图形中心所在的直线或一个顶点与图形中心所在的直线是对称轴.圆条任何一条直径所在的直线3.作轴对称图形的一般步骤(1)找:在原图形上找关键点(如线段的端点、线与线的交点等);(2)作:作各个关键点关于已知直线(对称轴)的对称点;(3)连:按原图形依次连接各关键点的对称点.知识点2：折叠的性质（1）位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；（2）折叠前后的两部分图形全等，对应边、对应角、对应线段、周长、面积等均相等；（3）折叠前后，非重合对应点的连线均被折痕所在直线垂直平分。直击中考胜券在握1．（2021·陕西中考）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．2．（2021·宿迁中考）对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A、是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、不是中心对称图形，故选项错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（2021·广西梧州中考）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键．4．（2021·湖南省益阳中考）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可得．【详解】A、不是中心对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，此项不符题意；C、是中心对称图形，此项不符题意；D、是中心对称图形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．5．（2021·自贡中考）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条；B不是轴对称图形；C不是轴对称图形；D是轴对称图形，对称轴有2条；故选：D．【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．6．（2021·山西中考）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、文字上方的图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．7．（2021·凉山州中考）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．8．（2021·嘉兴中考）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形【答案】D【解析】【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．【详解】解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF;又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．故选：【点睛】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．9．（2021·广西北部湾经济开发区中考）如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，∵点，的对应点分别为，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2021·通辽中考）如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】因为点为线段的三等分点，没有指明线段的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①；②．然后由一线三垂直模型可证∽，再根据相似三角形的性质求得的值，最后由即可求得的长．【详解】当点为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：①如图1，当时，∵∥，，，∴四边形为矩形，∴，，．由折叠的性质可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．②如图2，当时，∵∥，，，∴四边形为矩形，∴，，．由折叠的性质可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．综上所述，的长为或．故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由为线段的三等分点，分两种情况讨论线段的占比情况，以及利用型相似进行相关计算是解决此题的关键．11．如图，等边的边长为4，是边上的高，点是边的中点，点是上的动点，则线段的最小值为______．【答案】【解析】【分析】连接，与交于点，当点与重合时，，此时最小，最小值为的长，根据等边三角形的性质和正弦的性质求解即可．【详解】如图，连接，与交于点，当点与重合时，，此时最小，最小值为的长．为等边三角形，边长为4，点是边的中点，，，，即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握等边三角形的性质和正弦的性质是解题的关键．12．（2021·海南中考）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．【答案】【解析】【分析】由折叠得，，，设DF=x，则AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，过作，过D作DM⊥于M，根据面积法可得，，再由勾股定理求出，根据线段的和差求出，最后由勾股定理求出；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，由折叠得，，设DF=x，则AF=8-x，又在Rt中，，即解得，，即DF=∴过作，过D作DM⊥于M，∵∴，解得，∵∴，解得，∴∴∴；故答案为：6；．【点睛】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．13．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AC与BD交于点，点在上且，点在上且，为对角线上一点，则的最大值为_________．【答案】2【解析】【分析】作以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取“=”，再根据为等边三角形，即可得到．【详解】解：如图所示，作以为对称轴作的对称点，连接，，根据轴对称性质可知，，∴，当，，三点共线时，取“=”，∵在菱形中，，，∴，∵为中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴为等边三角形，∴，即的最大值为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及线段差的最值问题，凡是涉及线段差（和）的最值问题，一般要考虑三角形的三边关系，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．14．（2021·河南中考）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．【答案】或【解析】【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，勾股定理求解即可．【详解】解：当落在边上时，如图（1）：设交于点，由折叠知：,,,，，设，则在中，在中，即．当落在边上时，如图（2）因为折叠，．故答案为：或【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．15．（2020·湖南省常德中考）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将，分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为_____．【答案】12【解析】【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【详解】设正方形ABCD的边长为，则，由翻折的性质得：，，∵∴，，∴，如图，在中，由勾股定理得：即整理得：，即解得或（不符题意，舍去）则故答案为：12．【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．16．（2021·成都中考）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．【答案】1【解析】【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF，设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF，∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD∥BC∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得：，∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=，∴OC=，令BF=x，则FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的长为1．连接NE，NF，如图，根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，设B’N=m，则，解得：m=3，则NF=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案为：1，．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．17．（2021·长春中考）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM