八年级数学：角平分线的性质与判定（第2课时）教案

八年级数学：角平分线的性质与判定（第2课时）教案

一、教学背景

（一）教材分析

1.内容定位

本课时是人教版八年级数学上册第十四章第三节第二课时，核心内容是角平分线的判定定理及其综合应用。角平分线的性质定理是八年级几何学习的重要基石，其逆定理（判定定理）则从“判定”视角完善了角平分线的完整知识结构，形成互逆的定理体系。本节内容在全等三角形、轴对称图形的基础上展开，既是全等三角形判定与性质的自然延伸，又是后续学习三角形内心、垂直平分线、等腰三角形三线合一等知识的重要预备。教材通过“思考—探究—归纳”的编排路径，引导学生经历逆向命题的构造、验证与证明，实现几何思维从“正向应用”向“逆向建构”的跃升。

2.核心素养导向

本节教学聚焦数学核心素养的落地。通过角平分线判定定理的发现过程，培养学生数学抽象素养，使学生能从具体图形中提炼出一般性数学命题；通过定理的严格证明，发展逻辑推理素养，强化演绎推理的规范性与严谨性；通过几何模型的识别与建构，提升直观想象素养；通过实际问题建模与综合题探究，渗透数学建模素养。整节课以“猜想—验证—证明—应用”为认知主线，在知识习得中内化思想方法。

3.学情分析

学生已熟练掌握全等三角形的判定与性质，能够运用角平分线的性质定理解决简单的距离问题，具备基本的几何证明书写能力。然而，八年级学生正处于从“实验几何”向“论证几何”过渡的关键期，存在以下认知障碍：第一，对命题逆构造的自觉意识较弱，习惯于正向思维，逆命题的提出需要教师搭建支架；第二，判定定理证明中“边等→角等”的转化路径容易与性质定理混淆，易出现条件与结论颠倒的逻辑错误；第三，在复杂图形中识别判定定理的适用情境、主动添加辅助线构造垂线段的能力尚待系统训练。因此，本节课将判定定理的证明思路辨析与综合图形中的灵活选模作为突破重点。

（二）教学目标

1.知识与技能

理解角平分线判定定理的内容，能准确表述其文字语言、图形语言和符号语言；掌握判定定理的证明方法，能规范书写证明过程；能根据具体问题情境，正确区分并选择角平分线的性质定理与判定定理；能运用判定定理解决简单的几何证明与计算问题，并初步应用于尺规作图原理的阐释。

2.过程与方法

经历角平分线判定定理的猜想、论证过程，体悟逆向思维与转化思想在几何研究中的价值；通过一组递进式例题与变式，掌握“识别模型—添加辅助线—定理选择—规范书写”的综合解题策略；在小组合作命制试题的活动中，经历“问题设计—解答验证—互评修正”的完整思维过程。

3.情感态度与价值观

在定理发现的过程中感受数学命题的和谐对称之美，增强学习自信心；通过解决实际选址问题，体认数学源于生活又服务于生活的应用价值；在小组协作中培养倾听、质疑、分享的学术品质，养成言必有据、一丝不苟的科学态度。

（三）教学重难点

1.教学重点

角平分线判定定理的理解、证明与初步应用。【非常重要】【高频考点】

2.教学难点

角平分线判定定理证明中辅助线的构造思路；在复杂几何图形中综合运用性质定理与判定定理解决问题。【难点】

（四）教学方法与手段

1.教学方法

采用“问题驱动—探究发现—变式内化”的教学模式。核心环节以系列化问题链推进，使学生在独立思考、合作交流中自主建构知识；运用变式教学，通过“一题多变、一题多解、多题归一”深化定理理解；融入项目化学习元素，以小组命题活动实现知识迁移与创新应用。

2.教学手段

几何画板动态演示，将抽象的空间关系直观化，支撑猜想验证；实物投影展示学生典型解法与自编试题，实现生成性资源的即时共享；学案导学，设计结构化探究任务单，为不同层次学生提供思维脚手架；三角板、圆规等教具用于尺规作图步骤复盘。

二、教学实施过程

（一）导入新课

1.复习回顾

上课伊始，教师出示一个标注完整的角平分线基本图形：射线OC平分∠AOB，点P为OC上任意一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。学生集体口答角平分线的性质定理，教师同步板书符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。教师追问：“这个命题的条件是什么？结论是什么？”引导学生明确“由平分推相等”的逻辑结构。随后，教师呈现即时练习：在上述图形中，若PD=5，则PE=______。学生迅捷回答，强化性质定理的直接应用。

2.创设情境

教师利用多媒体呈现生活情境图：某新建小区有一块三角形绿化空地，物业公司计划在其中修建一个圆形景观鱼池，要求鱼池与三角形三条小路均保持相切。工程师说，鱼池的圆心就是三角形三条角平分线的交点。你能解释其中的数学原理吗？学生面露思索，教师将问题聚焦：“如果有一个点到三角形三边的距离相等，这个点一定在三条角平分线上吗？或者说，我们如何判定一条射线是这个角的平分线？”由此自然引出本节课的核心课题——角平分线的判定。【热点】此类生活化情境是中考命题的热点载体，常以阅读理解或方案设计题形式出现，旨在考查数学建模能力。

（二）新知探究

1.探究角平分线的性质定理的逆命题

（1）猜想与验证

教师引导学生回顾性质定理的结构，并组织学生小组合作，尝试说出性质定理的逆命题。学生经过讨论，形成共识：如果一个点到角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。教师立即追问：“这个命题正确吗？”部分学生凭直觉认为正确，但存在疑虑——若点在角的外部呢？教师顺势强调：必须加上“在角的内部”这一前提条件。接着，教师打开几何画板：任意作出∠AOB，在角内部取动点P，过P分别向两边作垂线段，度量垂线段PD、PE的长度。拖动点P，学生观察发现，当PD=PE时，OP恰好平分∠AOB；反之，当OP平分∠AOB时，PD=PE（已学性质）。学生从动态演示中获得强烈直观感知：逆命题是成立的。【重要】逆命题的提出与修正过程是培养学生批判性思维的绝佳契机。

（2）命题的符号化与图形化

教师要求学生将修正后的文字命题翻译为“已知、求证”形式。学生独立画图，尝试书写。教师选取一名中等水平学生的学案进行投影，师生共同评议，规范表述：

已知：如图，∠AOB内一点P，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。

求证：点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。

教师强调：几何命题的符号化是逻辑推理的第一步，必须做到图形准确、已知完整、求证明确。【基础】

2.证明角平分线的判定定理

（1）突破证明难点——辅助线的添加

面对求证目标“OP平分∠AOB”，学生已有的知识经验是“证明两个角相等”。如何将已知条件“PD=PE”与角相等建立联系？教师启发：“PD、PE是两条垂线段，OP是公共边，这让你联想到了什么？”学生顿悟：连接OP，构造Rt△PDO和Rt△PEO。教师追问：“这两个直角三角形全等吗？具备什么条件？”学生齐答：HL。至此，证明思路完全打通。教师小结：当条件中具备“同一条斜边”和“相等的直角边”时，HL全等是沟通边等与角等的首选桥梁。【非常重要】辅助线“连接OP”是解决此类问题的通法，学生必须深刻理解其构造意图。

（2）规范书写与定理归纳

学生独立完成证明过程，一生板演。板演内容为：

证明：连接OP。

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°。

在Rt△PDO和Rt△PEO中，

OP=OP（公共边），

PD=PE（已知），

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），

∴∠AOP=∠BOP，

即OP平分∠AOB。

师生共同评析，强调HL判定定理的使用前提是两个三角形均为直角三角形。教师板书判定定理的文字表述，并引导学生对比性质定理，总结二者是互逆定理。教师进一步阐释：性质定理实现了“位置关系（角平分线）→数量关系（距离相等）”的转化；判定定理实现了“数量关系（距离相等）→位置关系（角平分线）”的转化。二者相辅相成，构成了解决角平分线问题的完整工具包。【高频考点】判定定理的符号书写是考试必考点，常以填空题形式考查定理条件的完整性。

（3）辨析训练——精准把握定理条件

教师设计一组判断题，要求学生用手势快速判断：

①点P在∠AOB外部，且到OA、OB的距离相等，OP平分∠AOB吗？（错，缺“内部”）

②点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则OP平分∠AOB吗？（对）

③点P在∠AOB内部，且∠AOP=∠BOP，则PD=PE吗？（对，性质定理）

④点P在∠AOB内部，PE⊥OB，PF⊥OA，且PE=PF，则点P在∠A的平分线上吗？（需明确对应边，表述不严谨）

学生通过辨析，深刻认识到定理条件的严谨性：必须指明是“到角的两边”的垂线段，且“距离相等”。【基础】此环节有效预防了定理滥用现象。

3.例题精析——定理的初步应用

（1）例1：直接应用判定定理

题目：如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。求证：AD平分∠BAC。

学生审题后，教师引导分析：“要证AD平分∠BAC，即证点D在∠BAC的平分线上。已知DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，满足判定定理的条件，因此直接可得结论。”学生独立书写，教师巡视，发现个别学生仍习惯先证三角形全等，教师肯定其思路的严谨性，同时指出：判定定理本身就是通过HL全等证明得到的，今后可以直接作为推理依据，不必每次都重复全等步骤，以提高证明效率。教师板书示范，突出判定定理使用的简洁性。【基础】

（2）例2：性质定理与判定定理的综合应用

题目：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：BE=CF。

教师组织学生进行“思路链”分析：

①由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC→DE=DF（性质定理）；

②要证BE=CF，可证△BDE≌△CDF；

③在Rt△BDE和Rt△CDF中，已有一组直角相等，一组边DE=DF相等，还需一组条件；

④由∠B=∠C，可得∠BDE=∠CDF（等角的余角相等），或直接利用AAS证全等。

学生独立完成证明，教师展示不同证法，引导学生优化。随后，教师将本例进行变式：将条件“AD平分∠BAC”与结论“BE=CF”互换，即已知∠B=∠C，BE=CF，求证AD平分∠BAC。学生小组讨论后，发现需利用BE=CF和∠B=∠C证明△BDE≌△CDF，从而得到DE=DF，再根据判定定理得AD平分∠BAC。教师强调：本例是性质定理与判定定理互逆应用的经典模型，揭示了“角平分线”与“等腰三角形”背景下的边等关系之间的内在联系。【非常重要】【高频考点】此类互逆命题的证明是期中、期末考试的常见题型，要求学生熟练掌握两种定理的切换。

4.变式拓展——在变化中把握不变

（1）变式1：由三角形迁移至四边形

题目：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠B=∠D。求证：AB=AD。

教师提示：要证AB=AD，可将其置于△ABC和△ADC中，但条件中仅知AC公共，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，可利用AAS证全等。学生独立完成，教师追问：此题中是否用到了本节课所学的判定定理？学生发现，由AC平分∠BAD，可直接用性质定理得CE=CF，这一相等关系在后续证明中虽未直接用于全等，但为问题的改编提供了可能。教师顺势提出：若将条件“AC平分∠BAD”改为“CE=CF，∠B=∠D”，你能证明AC平分∠BAD吗？学生运用判定定理即可解决。此变式使学生体会到，几何图形变换但核心模型不变。【热点】

（2）变式2：主动构造垂线段

题目：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D在AC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE=DF。求证：BD平分∠ABC。

学生初次尝试时，部分学生无从下手——图中没有直接连接B、D的线段？教师启发：“要证BD平分∠ABC，需证点D到∠ABC两边的距离相等，图中已有DE⊥AB，DF⊥BC，且已知DE=DF，还缺什么？”学生恍然大悟：还需要“垂足”的说明。教师追问：“那么点D在∠ABC的内部吗？”学生观察图形确认。至此，判定定理的三个条件齐备，但图形中未画出BD，需主动连接BD。学生完成证明，教师小结：当图形中缺少判定定理所需的“点到角顶点的连线”时，需主动连接这一点与角顶点，这是判定定理应用的关键辅助线。【难点】通过本变式，学生突破了“有垂线、有等距、连顶点”的操作性步骤。

（三）巩固提升

1.综合应用——压轴题思维攻坚

教师呈现一道综合性较强的问题：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交BD延长线于E。求证：BD=2CE。

此题难度较大，教师采用“分解—组装”策略进行引导：

第一步，引导学生明确结论形式“BD=2CE”，联想中线倍长法或构造等腰三角形。由BD平分∠ABC，∠A=90°，自然联想到角平分线性质定理，可过D作DF⊥BC于F，则AD=DF。

第二步，证明△ABD≌△FBD（AAS），得AB=BF，AD=DF。结合AB=AC，得BF=AC。

第三步，观察图形，AC=BF，如何与CE建立联系？学生发现，需证明CE是△BDF的中位线或△CDF是等腰三角形等。教师提示关注垂直关系：CE⊥BE，DF⊥BC，易证CE∥DF，再结合∠EBC=∠FBD等条件，可证△BEC≌△DFC？学生尝试后受阻。

教师调整思路：从结论BD=2CE逆向思考，若延长CE交BA延长线于G，构造△GBC，则BD可能是△GBC的中位线或高线？学生尝试延长CE、BA交于点G，发现△GBC是等腰三角形（由BD平分∠ABC且BD⊥GC可证三线合一），从而E为GC中点，且△BGC∽△DFC等，最终证得BD=2CE。

教师总结：当出现“角平分线+垂线”时，联想等腰三角形三线合一，通过延长垂线与角的两边相交构造等腰三角形，是解决此类线段倍半问题的通法。【非常重要】【热点】此题是八年级几何压轴题的典型代表，集角平分线性质、全等三角形、等腰三角形判定于一体，思维含量极高。

2.小组合作——命题设计与互评

教师布置任务：“请各小组以本节课所学的角平分线性质定理与判定定理为核心知识，命制一道几何证明题。要求：题目需同时用到这两个定理，图形自拟，难度对标例2或略高，并附上完整解答。时间12分钟。”

各小组迅速进入状态，有的画图，有的讨论条件设置，有的尝试证明。教师巡视，发现多数小组采用“三角形内角平分线+垂线段”的基本构型，部分小组创新地引入四边形或垂直平分线元素。例如，第三小组命制：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF，求证AD垂直平分EF。此题巧妙地将角平分线与垂直平分线结合，需要先证△ADE≌△ADF（HL）得AE=AF，再证△AEG≌△AFG（假设EF与AD交于点G）或利用等腰三角形三线合一，极富探究价值。

3.展示交流——生成性资源共赏

随机抽取两个小组上台展示。第二小组使用实物投影展示题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F。求证：四边形CDEF是菱形。小组成员讲解：由BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，得DE=DF；由∠C=90°，DF⊥BC，得DF∥AC，进而证得DE=CF，从而四边形CDEF是平行四边形，且邻边相等，故为菱形。台下学生提出质疑：“如何得到CF=DF？”讲解组借助全等三角形进行补充说明。教师点评：该组命题实现了单元知识的跨界整合，将角平分线与特殊四边形完美结合，展现了较高的思维水平。【重要】命题活动不仅检验了定理掌握水平，更激发了学生的创造性思维。

（四）课堂小结

1.知识系统化梳理

教师引导学生从三个维度构建知识网络：

维度一：定理内容——角平分线的判定定理是“到角两边距离相等的点在角平分线上”，与性质定理构成互逆关系。

维度二：符号表达——强调判定定理书写时“垂直、等距、连线”三要素缺一不可。

维度三：基本模型——归纳本节课出现的两类基本图形：单平分线型（直接判定）、双垂线型（需连接顶点）、构造垂线型（需添加垂线段）。

2.思想方法升华

师生共同提炼本节课渗透的核心思想方法：其一是逆向思维，从原命题到逆命题的探究路径是数学发现的重要方式；其二是转化思想，借助HL全等将线段相等转化为角相等；其三是模型思想，将实际问题抽象为“角平分线+距离”的数学模型。

3.质疑与反思

教师预留2分钟，鼓励学生提出仍未解决的困惑。有学生提出：“当点在角的外部，且到两边的距离相等时，这个点与外角平分线有什么关系？”这一问题极具探究价值，教师肯定其思维深度，并指出点如果在角的外部且满足到两边距离相等，则该点在其补角的平分线上，此内容将在后续学习外角性质时深化。【难点】学生的这一疑问恰好触及角平分线概念的外延，教师顺势将其布置为课后思考题。

（五）当堂检测

1.基础题——全员过关

（1）如图，点P在∠MON内部，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB，则∠AOP______∠BOP。（填“>”“<”或“=”）

（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=8，BD=5，则DE=______。

第（1）题直接考查判定定理结论，正确率目标100%；第（2）题综合考查性质定理与方程思想，是基础题中的常考形式。【基础】

2.提升题——能力过关

（3）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且△ABD与△ACD的面积相等。求证：AB=AC。

（4）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，AE平分∠BAF，且AF⊥EF于F。求证：AE=BE+DF。

第（3）题要求学生运用面积法结合角平分线性质建立等式；第（4）题需通过旋转变换构造全等，是本节课定理应用的进阶形式。【重要】

3.拓展题——思维闯关

（5）已知平面直角坐标系中，A（-2，0），B（0，4），点C在第二象限，且满足∠ACB被y轴平分，同时点C到x轴的距离等于到y轴距离的2倍。求点C的坐标。

本题将角平分线置于解析几何背景，需综合运用判定定理的坐标化表述，以及点到坐标轴距离的几何意义，对学生的数形结合能力提出较高要求。【热点】

学生独立闭卷作答，限时12分钟。教师公布答案，小组内交换批改，统计得分率。基础题正确率94%，提升题正确率73%，拓展题正确率38%。教师针对第（4）题进行简要点拨，并布置课后分层作业。

三、板书设计

黑板版面采用“三栏布局”：

左栏为核心知识区：顶部书写“角平分线的判定定理”，包含文字语言、图形（简图）、符号语言；中部绘制“性质定理↔判定定理”双向箭头对比表，分别列出条件与结论；底部用红色粉笔标注“注意：点在内部、垂直、等距、连线”四要素。

中栏为例题示范区：左侧板演例2的完整证明过程，右侧以流程图形式呈现例2及其变式的思路分析——“由角平分线得边等→由边等得全等→由全等得边等/角等”，箭头指示定理选择路径。

右栏为生成性资源区：实物投影展示学生小组命制的优秀试题，张贴几何画板关键截图（动点P在角内部运动时PD=PE与OP平分∠AOB的同步关系），并预留空白区域供课堂即时板书学生提出的疑问。

四、作业布置

必做题（面向全体）：教材第112页习题14.3第5题、第6题；配套练习册本节基础训练部分。

选做题（面向学有余力）：利用本节课所学，为“三角形内角平分线交点（内心）”的性质撰写一份200字左右的探究小报告，并尝试证明为什么三角形的三条角平分线交于一点。

实践题（项目化学习）：以小组为单位，实地测量校园内某处三角形花坛或三角形展板，运用角平分线判定定理确定其内心位置，并绘制出内切圆示意图