2025-2026学年湖北省黄冈市罗田县第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖北省黄冈市罗田县第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若z=i,则z•=（）A.-2 B.- C. D.22.设，，，则a,b,c的大小关系是（）A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.b＜a＜c D.a＜c＜b3.已知向量，且的夹角为锐角，则m的取值范围为（）A. B.

C. D.4.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus,公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，….如图，则cos∠BAD=（）A.

B.

C.

D.5.已知点A（1，3），B（2，4），C（0，5），点P在△ABC所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.将f（x）的图象上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数g（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，的图象，函数g（x）的图象如图所示，则（）A.

B.f（x）的图象的对称轴方程为

C.不等式f（x）＞0的解集为

D.f（x）在（-2，-1）上单调递增

7.△ABC中，，AB=2，A=45°，P是△ABC外接圆上一点，，则λ+μ的最大值是（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的相邻两个对称中心的距离为，且f（1）=-，则函数y=f（x）的图象与函数y=（-5＜x＜9且x≠2）的图象所有交点横坐标之和为（）A.16 B.4 C.8 D.12二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A.i+i2+i3+i4=0 B.复数-2-i的虚部为-i

C.若复数z为纯虚数，则|z|2=z2 D.|z1•z2|=|z1||z2|10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列命题中正确的是（）A.若A＞B，则sinA＞sinB

B.若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB

C.若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为钝角三角形

D.若b=2，A=30°的三角形有两解，则a的取值范围为（1，2）11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且•=.则下列说法正确的是（）A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心

B.若SA：SB：SC=1：2：3，则

C.若，则

D.若M为△ABC的内心，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角θ的终边上有一点（-5a,12a），其中a≠0，则sinθcosθ+cos2θ-sin2θ+1的值为

.13.给出如下命题：

①若点P（m,2m）（m≠0）为角α终边上一点，则sinα=；

②若cosα＞0，则α一定是第一象限角或第四象限角；

③tan，sin2-cos2的值都大于0；

④终边不同的角的同名三角函数的值不相等.

其中正确命题的序号是

.14.在△ABC中，，，∠BAC为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=2，若的最小值为3，则cos∠BAC=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

若已知向量，，设函数.

（1）若且x∈（0，π），求角x的大小；

（2）已知α，β均为锐角，，，求sin（α+β）的值.16.(本小题15分)

已知a＞0，函数是奇函数，g（x）=4x-2x+3.

（1）求实数a的值；

（2）若，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）+k,求实数k的取值范围.17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c且.

（1）求角B；

（2）若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；

（3）求边AC上的中线BE的取值范围.18.(本小题17分)

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上.已知AB=40米，米，记∠BHE=θ.

（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；

（2）若，求此时管道的长度L；

（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19.(本小题17分)

如图，设Ox,Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，分别为Ox,Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，若，则记.

（1）在α-仿射坐标系中

①若，求；

②若，且与的夹角为，求cosα；

（2）如上图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，分别为BD，BC中点，求的最大值.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】③

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，

可得，即，

即，解得a=3或-3（舍），

当a=3时，，可得，解得，

所以函数f（x）的定义域为，经检验，a=3符合题意．

（2）由函数，

则函数f（x）在上单调递增，

所以函数f（x）在上的最小值f（x）min=f（0）=0；

由函数g（x）=4x-2x+3=（2x-4）2-16，且当x∈[1，4]时，2x∈[2，16]，

则g（x）在[1，4]上的最小值g（x）min=g（2）=-16．

由，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）+k,则f（x）min≥g（x）min+k,

即0≥-16+k,解得k≤16，即k的取值范围是（-∞，16]．

17.【答案】

18.【答案】，

（米）

或，污水净化效果最好，此时管道的长度为米

19.【答案】解：:(1)因为=(m,n),=m+n,

==+2mn+=+2mn+,

所以||=，

由=(-1,3),=(-3,1),得||==，

||==，

=(-+3)(-3+)=3+3-10=6-10，

因为与的夹角为,则===,得=;

(2)方法一:依题意设B(m,0),C(0,n),(m>0,n>0)

BOC=,BC=1,==(0,n)

因为F为BC中点，所以​​​​​​​=+=+

E为BD中点,所以=OD+OB=+,

所以=(+)(+)=++(mn+mn)

因为==1,=11=.

=++(mn+mn)=++mn

在OBC中依据余弦定理得+-mn=1,所以mn=+-1,代入上式,

=+-=(+)-,

设+-1=mn+(t>0),则(1-t)+(1-)1,

令=得-12t-5=0,得=,=-(舍),所以+1,+

=(+)--=,

方法二:方法一:依题意设B(m,0),C(0,n),(m>0,n>0),

BOC=,BC=1,==(0,n)

因为F为BC中点=+=+，

E为BD中点,所以=+=+，

所以=(+)(+)=++(mn+mn)，

因为==