2025-2026学年下学期浙江杭州二中高一数学2026年6月期末统测模拟一试卷（含答案）

高一数学期末统测模拟试卷一一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知复数z满足i·z=3−i，则A.1−3i B.C.1−3i D.2、记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=45°，a=3，c=2A.2 B.5C.17 D.213、在∆OAB中，AD→=2DB→，记OA→=A.13a+C.13a−4、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（

）A.14 B.C.12 D.5、设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（

）A.若m∥α，αB.若α∥β，m⊥αC.若α⊥β，m⊥αD.若m∥α，m⊂β6、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件A=“两张标签标号之积大于15”，事件B=“第一张标签标号小于3”，则（A.PB.PC.A与B互斥D.A与B相互独立7、在三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1AA.55 B.C.255 8、若不等式x+xy+3xyz≤k(x+yA.1 B.1C.43 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9、气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（

）A.该组数据的极差为6 B.该组数据的众数为26C.该组数据的中位数为25.5 D.该组数据的第70百分位数为2610、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是边BC上的一个动点，点M是边AC的中点，且(2b−c)A.AB.若△ABC的面积为3，则C.若b=1，c=2，AP平分∠D.若b=1，c=2，当∠11、如图，已知正八面体S−ABCD−

A.点O到平面CDT的距离等于1B.点O到直线CT的距离等于1C.球O在正八面体外部的体积小于4D.球O在正八面体外部的面积大于8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、若复数z=(1+i)·(2−i13、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB=bsinA14、已知函数f(x)=lnx2+x+ax四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程.15、已知向量a，b满足|a|=1，（1）若a∥b，求（2）若(8a−b)⊥(a−b16、如图，平面四边形ABCD中，∆BCD是边长为2的等边三角形，且AD=23，∠ADB=90°，E为AB的中点，将∆（1）证明：BD⊥（2）若AP=25，求直线EP与平面17、随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中x的值，并估计评分数据的上四分位数；（2）若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率．某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.18、记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（1）若A=45°，b=6（2）若D是BC的中点，且AD=3，∠ABC（3）若sin(A−B)=19、已知函数f(（1）若a=−1，判断函数f(x)在[0,1]上的单调性（无需证明），并求f(（2）若关于x的方程f(x)=a−4恰有三个不等实根x1，x（i）求x1（ii）求f(2x1)−7f(高一数学期末统测模拟试卷一一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知复数z满足i·z=3−i，则A.1−3i B.C.1−3i D.【答案】A∵i·z2、记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=45°，a=3，c=2A.2 B.5C.17 D.21【答案】B由余弦定理可得b2所以b=53、在∆OAB中，AD→=2DB→，记OA→=A.13a+C.13a−【答案】A因为AD→=2DB→，所以D为线段OD→4、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（

）A.14 B.C.12 D.【答案】B由设红球为A，B，黄球为1，2，从袋中不放回地随机摸出2个球，共有6种结果：{A,B}，{A,1}，{这2个球颜色相同的有2种结果：{A,2个球颜色相同的概率为P=5、设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（

）A.若m∥α，αB.若α∥β，m⊥αC.若α⊥β，m⊥αD.若m∥α，m⊂β【答案】D对于A，若m∥α，α∥β，则对于B，若α∥β，m⊥α，对于C，若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则对于D，由线面平行的性质定理可知D正确.故选：D6、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件A=“两张标签标号之积大于15”，事件B=“第一张标签标号小于3”，则（A.PB.PC.A与B互斥D.A与B相互独立【答案】C根据题意可知所有的样本点共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)共25个，事件A包含的样本点有：(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共4个，所以P(事件B包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共10个，所以P(因为A∩B=∅，所以A因为P(AB)=P(A∩B)=07、在三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1AA.55 B.C.255【答案】D设AC=2A1C1=2AA1若D，E分别为AC，AC1的中点，连接BD，DE，BE，则DE∥由∆ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则AC平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面所以BD⊥平面ACC1A1，而A由DE∩BD=D且都在平面BDE内，则由BE⊂平面BDE，则A综上，二面角B−AC1−由DE=12CC8、若不等式x+xy+3xyz≤k(x+yA.1 B.1C.43 D.【答案】C依题意，对任意正实数x，y，z，不等式k≥只需求出当x，y，z为正数时，m=因为x，y，z为正实数，所以4(≥3=3(x当且仅当{34x所以x+所以m=又当x=4y所以m=x+xy+3xyz二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9、气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，

26，26，29，则以下说法正确的是 （  ）A.该组数据的极差为6   B.该组数据的众数为26C.该组数据的中位数为25.5   D.该组数据的第70百分位数为26【答案】ABD将这组数据按照从小到大的顺排列得23，24，25，26，26，28，29，

则该组数据的极差为29−23=6，故A正确；

该组数据的众数为26，故B正确；

该组数据的中位数为26，故C错误；

因为70%×7=4.9，

所以该组数据的第70百分位数为第5个数据，即26，故D正确.

故选：ABD.10、记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是边BC上的一个动点，点M

是边AC的中点，且(2A.AB.若∆ABC的面积为3，则C.若b=1，c=2，AP平分∠D.若b=1，c=2，当∠【答案】ABD对于A，因为(2b−c)cosA=acosC，

由余弦定理有：(2b−c)·b2+c2−a22bc=a·a2+b2−c22ab，

整理得：b2+c所以|AP→=1所以|AP→|=对于D，因为b=1，c=2，所以a2所以c2=a2+建立如图所示平面直角坐标系，设CP=A(3,1)，M所以PA→=(x,1)，cosθ=PA→则cosθ==1−1因为θ∈0,π2，所以所以cosθ越小θ值越大，因为cosθ=当且仅当x2=14x所以当∠APM最大时，CP=2故选：ABD11、如图，已知正八面体S−ABCD−T（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形ABCD为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为O，则以下结论正确的是（

A.点O到平面CDT的距离等于1B.点O到直线CT的距离等于1C.球O在正八面体外部的体积小于4D.球O在正八面体外部的面积大于8【答案】BCD对于A，由对称性可知棱切球球心O就是正八面体的中心，而BO=所以OA=设点O到平面CDT的距离为r，则有13故r=33，OT对于B，由于TA=TB=TC=TD=2故OT⊥平面ABCD，而OC在平面ABCD内，故OC又因为OC=OT=2，知点O到直线CT的距离对于C，根据上面的分析，球O的半径R等于点O到直线CT的距离，即R=1从而平面CDT截棱切球所得圆的半径d=R2设球O的体积为V，而以O为顶点、圆P为底面的圆锥的体积为V1则棱切球在正八面体内部的体积大于8V从而球O在正八面体外部的体积小于V−8V1对于D，球O在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积.而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积.从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积.该圆锥的底面半径d=>33，高H所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积πdl=>所以8个球冠的表面积之和大于>836−2故选：BCD关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的方式对球冠的表面积和体积进行估计.三、填空题：本题共\（3\）小题，每小题\（5\）分，共\（15\）分.12、若复数z=(1+i)·(2−i【答案】10∵z∴展开得z=2−∴|z13、设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB=bsinA【答案】5由正弦边角关系及已知有2sinAcosB=sinBsinA，又A所以2cosB=sinB，即tanB=2，所以cosB=>15，则2故答案为：514、已知函数f(x)=lnx2+x+ax【答案】−2a；由>x2+x>0，得x(所以函数f(x)=lnf(−x所以f(x所以f(2024)+f(−2026)=f(2024)+f(−2024−2)=−2a，f(2025)+f(−2027)=f(2025)+f(−2025−2)=−2a.所以f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)=[f(2024)+f(−2026)]+[f(2025)+f(−2027)]=−4a因为4a与1所以f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)−1当且仅当|4a|=1a，即因为b2⩾0，所以当且仅当a=±f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)−1故答案为：①−2a四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程.15、已知向量a，b满足|a|=1，（1）若a∥b，求（2）若(8a−b)⊥(a−b【答案】（1）a=12,3（1）设a=(x,y)因为|a|=1，所以x2+y所以a=12（2）因为(8a−b所以8a2−9所以cosθ=23，所以a与b的夹角θ16、如图，平面四边形ABCD中，∆BCD是边长为2的等边三角形，且AD=23，∠ADB=90°，E为AB的中点，将∆（1）证明：BD⊥（2）若AP=25，求直线EP与平面【答案】（1）证明见解析（2）63（1）如图，取BD的中点O，连接PO，OE，因为∆BCD为等边三角形，所以PO⊥BD因为∠ADB=90°，所以又因为O，E分别是BD，BA的中点，所以OE∥DA，所以因为PO∩OE=O，PO，OE⊂平面POE因为PE⊂平面POE，所以BD（2）在∆ABD中，AD=23，BD所以AB=在∆ABP中，BP=2，AB=4由BP2+在Rt∆PBE中，BP=2，BE因为BD⊥平面POE，BD⊂平面所以平面POE⊥平面PBD又因为平面POE∩平面PBD所以∠EPO为直线EP与平面PBD在∆EPO中，PE=22，PO所以cos∠所以直线EP与平面PBD所成角的余弦值为6317、随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地。为更好地提升旅游品质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图。（1）求直方图中x的值，并估计评分数据的上四分位数；（2）若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率。某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.【答案】（1）x=0.030，上四分位数为93.75；（2）（1）∵频率分布直方图中各组频率之和为1，组距为10，∴10×(0.005+0.010+0.015+x+0.040)=1化简得0.7+10x=1计算各组累计频率：评分在[50,60)的频率为10×0.005=0.05，累计频率为0.05；评分在[60,70)的频率为10×0.010=0.1，累计频率为0.15；评分在[70,80)的频率为10×0.015=0.15，累计频率为0.3；评分在[80,90)的频率为10×0.030=0.3，累计频率为0.6；评分在[90,100]的频率为10×0.040=0.4，累计频率为1.∵上四分位数即第75百分位数，对应累计频率为0.75，且0.6<0.75<1，∴上四分位数位于区间[90,100]内，∴上四分位数为90+（2）∵评分在[60,70)的人数为100×0.1=10，评分在[80,90)的人数为100×0.3=30，两组人数之比为10:30=1:3，∴分层随机抽样抽取4人时，从[60,70)组抽取1人，记为a，从[80,90)组抽取3人，记为b1，b2，b3，其中b1，从4人中随机抽取2人的所有基本事件为(a,b1)，(a,b2)，其中2人评分等级都为良好的基本事件为(b1,b2)，∴所求概率P18、记∆ABC的内角A，B，C的对边分别