2026八年级数学下册第二十一章四边形专项培优7构造三角形中位线的常用方法习题课件新版冀教版

第二十一章四边形专项培优7

构造三角形中位线的常用方法1．如图，BD，CE分别为△ABC的中线，BD，CE交于点G，点M，N分别是BG，CG的中点．求证：(1)EM∥DN；【证明】如图，连接AG.∵BD，CE分别为△ABC的中线，点M，N分别是BG，CG的中点，∴AE＝BE，BM＝GM，AD＝CD，CN＝GN.∴EM∥AG，DN∥AG.∴EM∥DN.返回(2)CG＝2EG.2．如图，在△ABC中，M为BC的中点，AD为△ABC的外角∠EAB的平分线，且AD⊥BD．若AB＝12，AC＝18，连接DM，求DM的长．【解】如图，延长BD交AE于点N.∵AD为∠EAB的平分线，∴∠NAD＝∠BAD.∵AD⊥BD，∴∠ADN＝∠ADB＝90°.返回3．(1)如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM.(2)如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F.求证：∠AEM＝∠F.【证明】易知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PM∥AD.∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM.又∵∠PMN＝∠PNM，∴∠AEM＝∠F.(3)如图③，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．返回4．在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.(1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；【证明】由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2α.∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE－∠C＝α.∴∠C＝∠DEC.∴DE＝DC.∴DM＝DC，即D是MC的中点．(2)如图②，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．【解】∠AEF＝90°.证明：如图，延长FE到H，使FE＝EH，连接CH，AH，AF.∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位线．∴DE∥CH，CH＝2DE.∵∠MDE＝2α，∴∠FCH＝∠MDE＝2α.∵∠B＝∠ACB＝α，∴∠ACH＝α，AB＝AC.∴∠B＝∠ACH.返回5．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，DE，取AE的中点F，连接BF.(1)求证：CD＝2BF，CD⊥BF；(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图②的位置．①请直接写出BF与CD的位置关系；【解】BF⊥CD.②求证：CD＝2BF.【证明】如图，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG.∵F是AE的中点，∴AF＝EF，又∵∠AFG＝∠EFB，∴△AGF≌△EBF.∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE.∴AG∥BE.∴∠GAB＋∠ABE＝180°.∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABE＋∠DBC＝180°，∴∠GAB＝∠DBC.返回∵BE＝BD，∴AG＝BD.在△AGB