第12讲 一次函数函数中等腰三角形的存在性（解析版）

第十二讲一次函数中等腰三角形的存在性知识导航知识导航必备知识点“两圆一线”得坐标：（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．几何法：（1）两圆一线作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．考点一等腰三角形的存在性1．如图，在直角坐标系内，把y＝x的图象向下平移1个单位得到直线AB，直线AB分别交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线，交y轴于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求BD的长；（3）直接写出所有满足条件的点E；点E在坐标轴上且△ABE为等腰三角形．【解答】解：（1）∵把y＝x的图象向下平移1个单位，∴y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，∴B（0，﹣1），当y＝0时，x＝2，∴A（2，0）；（2）∵A（2，0），B（0，﹣1），∴AB＝，∵C为线段AB的中点，∴C（1，﹣），∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠BAO，∴sin∠BAO＝＝，∴BD＝；（3）∵BD＝，∴D（0，），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣2x+，当BE＝AE时，E点在AB的垂直平分线上，∴E点与D点重合或E点是CD与x轴的交点，∴E（0，）或E（，0）；当BA＝BE时，BE＝，∴E（0，﹣1+）或（0，﹣1﹣）或（﹣2，0）；当AB＝AE时，E（2+，0）或（0，1）或（2﹣，0）；综上所述：E点坐标为（0，）或（，0）或（0，﹣1+）或（0，﹣1﹣）或（﹣2，0）或（2+，0）或（0，1）或（2﹣，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若在y轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，请求出点M的坐标；（3）在x轴上是否存在点N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接写出点N的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入得：，解得：，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6；（2）作点B（6，0）关于y轴的对称点B'，∴B'（﹣6，0），连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，设直线AB'的解析式为y＝mx+n，将A（4，2），B'（﹣6，0）代入得：，解得：，∴直线AB'的解析式为：y＝x+，当x＝0时，y＝，∴M（0，）；（3）存在，理由：设：点N（m，0），点A（4，2），点O（0，0），则AO2＝20，AN2＝（m﹣4）2+4，ON2＝m2，①当AO＝AN时，20＝（m﹣4）2+4，解得：m＝8或0（舍去0）；②当AO＝ON时，同理可得：m＝；③当AN＝ON时，同理可得：m＝；故符合条件的点N坐标为：（﹣2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）．3．如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）．（1）求m的值和直线l2的函数表达式；（2）直线l2在第一象限内的部分上有一点E，且△ADE的面积是△ADB面积的一半，求出点E的坐标，并在x轴上找一点P，使得CP+PE的值最小，求出这个最小值；（3）若点Q为y轴上一点，且△BDQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；【解答】解：（1）∵点B（2，m）在直线l1：y＝﹣3x+3上，∴m＝﹣3×2+3＝﹣3，设直线l2的解析式为：y＝kx+b，∵直线l2经过点A（4，0），点B（2，﹣3），∴，解得：，∴直线l2的解析式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，0＝﹣3x+3，∴x＝1，∴D（1，0），∴AD＝4﹣1＝3，∵点B的纵坐标为：m＝﹣3，∴S△ADB＝×3×3＝，设E的坐标为：（a，a﹣6），则S△ADE＝×3×（a﹣6）＝×，解得：a＝5，∴E（5，），∵点C在直线l1：y＝﹣3x+3上，∴x＝0时，y＝3，∴点C（0，3），作C关于x轴的对称点C′（0，﹣3），连接C′E，交x轴于P点，连接CP，此时CP+EP有最小值，最小值为C′E的长，如图1所示：C′E＝＝；（3）由得：，∴B（2，﹣3），∴BD＝＝，分三种情况：①BQ＝BD时，作BM⊥y轴于M，如图2所示：则BM＝2，OM＝3，设Q的坐标为（0，y），由勾股定理得：（3+y）2+22＝10，解得：y＝﹣3±，∴点Q的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣﹣3）；②当QD＝QB时，如图3所示：点Q在BD的垂直平分线上，则DN＝BN＝BD＝，由勾股定理得：CD＝＝，∴CN＝CD+DN＝，∵∠COD＝∠CNQ＝90°，∠OCD＝∠NCQ，∴△OCD∽△NCQ，∴＝，即＝，解得：CQ＝5，∴OQ＝CQ﹣OC＝5﹣3＝2，∴点Q的坐标为（0，﹣2）；③DQ＝DB＝时，如图4所示：由勾股定理得：OQ2+OD2＝DQ2，即OQ2+12＝10，解得：OQ＝3，∵当Q（0，3）时，Q与C重合，B、D、Q三点共线，不合题意，点Q的坐标为（0，﹣3）；综上所述，Q的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣2）或（0，﹣3）或（0，﹣﹣3）．4．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象与x轴，y轴交于点A，B，点C（3，0）．（1）求线段AB的长度；（2）点G和点B关于x轴对称，点M在直线CG上，若△ABM是以AB为底的等腰三角形，求点M的坐标．（3）在（2）的条件下，直线CG上是否存在一点P，使得S△ABP＝6，如果存在求出点P坐标，如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣3x+3的图象与x轴，y轴交于点A，B，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴A（1，0），∴AB＝＝；（2）由（1）知，B（0，3），∵点G和点B关于x轴对称，∴G（0，﹣3），∴设直线CG的解析式为y＝kx﹣3，∵点C（3，0），∴3k﹣3＝0，∴k＝1，∴直线CG的解析式为y＝x﹣3，∵点M在直线CG上，∴设M（m，m﹣3），∵A（1，0），B（0，3），∴MA＝，MB＝，∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，∴MA＝MB，∴＝，∴m＝，∴M（，）；（3）如图，由（2）知，直线CG的解析式为y＝x﹣3，设点P（p，p﹣3），当点P在x轴上方时，过点P作PD⊥x轴于D，则PD＝p﹣3，OD＝p，∵S△ABP＝6，∴（p﹣3+3）•p﹣×1×3﹣（p﹣1）（p﹣3）＝6，∴p＝，∴P（，）；当点P在x轴下方时，记CG与AB的交点记作点E，作点P关于点E的对称点P′，∴S△AP'E＝S△APE，S△AP'E＝S△APE，∴S△ABP′＝S△ABP＝6，此时点P′满足条件，由（2）知，直线CG的解析式为y＝x﹣3①，∵直线AB的解析式为y＝﹣3x+3②，联立①②解得，，∵P（，），∴P′（﹣，﹣），即满足条件的点P（，）或（﹣，﹣）．5．在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，0）和点B（0，2）．点C的横坐标为，点D为线段OB的中点．（1）求直线l的解析式；（2）如图1，若点P为线段OA上的一个动点，当PC+PD的值最小时，求出点P坐标；（3）在（2）的条件下，点Q在线段AB上，若△DPQ是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．【解答】解：（1）设直线l解析式为y＝kx+b，将A（2，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线l解析式为y＝﹣x+2；（2）作D关于x轴的对称点D'，连接CD'交线段OA于P，如图：∵B（0，2），点D为线段OB的中点，∴D（0，1），∵D关于x轴的对称点D'，∴D'（0，﹣1），PD＝PD'，∴PC+PD＝PC+PD'，而C、P、D'共线，∴此时PC+PD'最小，即PC+PD最小，在y＝﹣x+2中，令x＝得y＝，∴C（，），设直线CD'解析式为y＝k'x+b'，将D'（0，﹣1）、C（，）代入得：，解得，∴直线CD'解析式为y＝x﹣1，在y＝x﹣1中，令y＝0得x＝1，∴P（1，0）；（3）设Q（m，﹣m+2），0≤m≤2，又P（1，0），D（0，1），∴QP2＝（m﹣1）2+（m﹣2）2，QD2＝m2+（﹣m+2﹣1）2＝m2+（m﹣1）2，PD2＝2，①当PQ＝DQ时，如图：∴（m﹣1）2+（m﹣2）2＝m2+（m﹣1）2，解得m＝1，∴此时Q横坐标为1；②当PD＝PQ时，如图：∴（m﹣1）2+（m﹣2）2＝2，解得m＝（舍去）或m＝，∴此时Q横坐标为；③当PD＝QD时，如图：∴m2+（m﹣1）2＝2，解得m＝或m＝（舍去），∴此时Q横坐标为；总上所述，Q的横坐标坐标为1或或．6．已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝2x的图象交于点M（2，4）．在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和y＝2x的图象于点C，D．（1）求直线AB的函数关系式及点A的坐标；（2）设点P（a，0），若CD＝OB，求a的值及点C的坐标；（3）在y轴上是否存在点E，使△OEM为等腰三角形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）把点M（2，4）代入y＝﹣x+b中，可得：4＝﹣×2+b，解得：b＝5，所以直线AB的函数关系式是y＝﹣x+5，把y＝0代入y＝﹣x+5得x＝10，∴点A坐标为（10，0）；（2）把x＝0代入y＝﹣x+5得y＝5，∴B点坐标为（0，5），∴OB＝5，∵CD＝OB，∴CD＝，∵PC⊥x轴，点P（a，0），∴C点坐标为（a，﹣a+5），D点坐标为（a，2a），∴|2a﹣（﹣a+5）|＝，∴a＝3或1，当a＝3时，y＝﹣x+5＝；当a＝1时，y＝﹣x+5＝；∴点C的坐标为（1，）或（3，）；（3）设点E（0，m），∵点M（2，4）．∴OM2＝22+42＝20，OE2＝m2，EM2＝22+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，①OE＝OM时，OE2＝OM2，∴m2＝20，∴m＝±2，∴点E的坐标为（0，2）或（0，﹣2）；②OE＝EM时，OE2＝EM2，∴m2＝m2﹣8m+20，∴m＝，∴点E的坐标为（0，）；③OM＝EM时，OM2＝EM2，∴20＝m2﹣8m+20，∴m＝8或0（舍去），∴点E的坐标为（0，8）；综上，存在，点E的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，8）．7．如图，直线y＝kx﹣1（k＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，且OB＝2．（1）求k的值；（2）若点A是直线y＝kx﹣1上一动点，且点A在第一象限，当△AOB的面积为2时，求点A的坐标；（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣1（k＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，且OB＝2．∴点B（2，0），把点B代入y＝kx﹣1得，2k﹣1＝0，解得：k＝，即k的值为；（2）设A（x，x﹣1），∵点A在第一象限，∴△AOB的面积S＝×2×|x﹣1|＝x﹣1＝