专题05 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

专题05利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、长方形中折痕过对角线模型类型二、长方形中折痕过一顶点模型类型三、长方形中折痕过任意两点模型类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型压轴专练类型一、长方形中折痕过对角线模型【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是由等腰三角形性质确定即可得证；（2）设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．【详解】（1）解：由折叠可知，，，，，；（2）解：设，则，，在中，由勾股定理得，即，解得，．【变式1-1】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为．【答案】3【分析】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，设，可得，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：长方形纸片沿折叠，∴，∵在长方形纸片中，，，∴，∴，∴，设，∴，∴，解得：，∴；故答案为：3．【变式1-2】如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．

(1)当点落在边上时，(2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长．【答案】(1)45(2)【分析】（1）由知，结合点落在边上知，从而得出答案；（2）由折叠得出，再由得出，从而得知，可得，设，则，在中，由得到关于的方程，解之可得．【详解】（1）解：由题意知，，点落在边上时，，，故答案为：45；（2）如图2，由题意知，四边形是长方形，，，，，设，则，在中，由得：，解得，即．类型二、长方形中折痕过一顶点模型【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键．【详解】解：在长方形中，，，，，，由折叠的性质可得：，，，，设，则，由勾股定理可得，，解得：，，故答案为：．【变式2-1】如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是．【答案】/【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可．【详解】解：如图，连接．∵四边形是长方形，∴．根据题意，，．∵，∴，∴，∴垂直平分，∴．∵，，，∴，∴．在中，，在中，．∵，∴，∴，解得．故答案为：．【变式2-2】（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长．【答案】的长为．【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，，通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵是长方形，∴，，，由折叠性质可知，，，∴在中，，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，∴的长为．【变式2-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，．(1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______．②在①的条件下，求的长．(2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长．【答案】(1)①图形见解析，；②(2)或【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得；②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案；（2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答．【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求，根据图形折叠的性质可知，，，在中，．故答案为：．②设，则，，∵，，∴，在中，，即．解得，即．（2）解：①如图所示，当点在线段上时．设，则，根据图形折叠的性质可知，，，在中，，则，在中，，即，解得，即；②如图所示，当点在线段的延长线上时，根据图形折叠的性质可知，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴；综上所述，或．类型三、长方形中折痕过任意两点模型【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例3．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，．(1)求证：．(2)若，，则的面积为__________．【答案】(1)见解析(2)78【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定；（2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可．【详解】（1）解：四边形是长方形，，，．由折叠的性质，得，，，，，，．在和中，．（2）解：由折叠的性质，得．设，则．在中，，，解得．，，．【变式3-1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形沿线段折叠到如图的位置，使得点C与线段的中点重合，则的长为．【答案】3【分析】由折叠得，，设，则，，利用勾股定理求出，得到，然后等量代换得到，得到，即可求解．【详解】解：∵在长方形中，，，∴，，由折叠得，，∵点是的中点，∴，∴设，则，，∵，∴，解得（负值舍去），∴，∵，∴，由折叠得，，∴，∴，∴．故答案为：3．【变式3-2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是平方厘米．【答案】138【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键．由长方形与折叠可证，得到，在中，由勾股定理有，因此，结合厘米，求出厘米，厘米，从而根据即可求解．【详解】解：∵四边形是长方形，∴厘米，厘米，，由折叠可得，，厘米，，∴，，，∴，∴，∵在中，由勾股定理有，∴，∵厘米，∴厘米，∴厘米，厘米，∴厘米，∴（平方厘米）．故答案为：138【变式3-3】（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在长方形纸片中，四个角是直角，对边平行，，．点、分别在、边上，连接，如图1，把长方形纸片沿着折叠，设、的对应点分别是、．

(1)当时，则______．(2)在折叠的过程中，当的对应点恰好与点重合时，请结合图2，求出和的长；(3)在折叠的过程中，当点落在直线上，且时，请直接写出的长．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】本题考查勾股定理，长方形，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，长方形的性质，折叠的性质，进行解答，即可．（1）根据折叠的性质，求出，根据长方形的性质，平行线的性质，可得，根据四边形的内角和为，得到，求出，最后根据，即可；（2）根据长方形的性质，可得，，，设，根据勾股定理，可得，求出，即可得到；（3）根据题意，分类讨论点的位置，当点落在直线上；当点落在直线的延长线上，根据勾股定理，进行解答，即可．【详解】（1）解：由折叠可得，，∵四边形是长方形，四个角是直角，∴，，，∴∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．（2）解：∵长方形纸片中，四个角是直角，，，∴，，，设，∴，∴在中，，∴，解得：，∴，∴．（3）解：连接，当点落在直线上，且，∵长方形纸片中，四个角是直角，，，∴，，∴，∴，∴，∴；

当点落在直线的延长线上，且，连接，∴，，∴，∴，∴，

综上所述，的长或．类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例4．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于．【答案】45【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵是由翻折而来，∴，，．设，在中，∵，，，∴，解得，∴．故答案为：45．【变式4-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可．【详解】解：，，，，设，则，由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理得，，解得，，故选B．【变式4-2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长．(1)求的长；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．（1）由勾股定理求得的长，然后由翻折的性质求得，即可求解；（2）设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：∵在中，两直角边，，，由折叠的性质可知：，；（2）解：设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴．【变式4-3】（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．

(1)求线段的长；(2)求线段的长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题：（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）根据折叠的性质得到，，则，，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵在中，，，∴；（2）解：由折叠的性质可得，，∴，，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴．类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例5．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值．【详解】解：设，则，是翻折而成，，在中，，即，解得．故选：C．【变式5-1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为．【答案】【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：把沿直线折叠，，，，，设，则，在中，，即，解得：，．故答案为：．【变式5-2】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由即可求出x的值，故可得出结论．【详解】解：在中由于，，，由勾股定理得：，∵由折叠可知，，设，则．在中，，即，解得，∴．【变式5-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长；【深入探究】（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）；【拓展延伸】（3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）．【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定（1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解；（2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解；（3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5；②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20．【详解】解：（1），，由折叠的性质得：，∵，∴在中，由勾股定理得：，即的长为24；（2）四边形是长方形，，，由折叠的性质得：，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的长为6；（3）四边形是长方形，，设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，点在线段的垂直平分线上，，由折叠的性质得：，在中，由勾股定理得：，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的长为5；②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得：，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的长为20；综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20．类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例6．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为．【答案】3【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解．【详解】解：由折叠的性质知，设，则，∵，，∴，即，解得，故答案为：3．【变式6-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是．【答案】【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．【详解】解：如图，根据题意，得，设，则，根据题意，得，∴当取最大值，有最小值，当时，最大，此时点B落在A处时，取得最小值，解得：，即CE的长为．故答案为：．【变式6-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，点P，Q分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使得点C的对应点始终落在线段上，若为直角三角形，则的长为．【答案】或【分析】本题考查了等腰直角三角形折叠．熟练掌握等腰直角三角形性质，折叠性质，勾股定理，是解题的关键．求出，当时，得，设，则，由，得，解得；当时，，得，得，得C、P、三点共线，得点与点A重合，得．【详解】解：∵在中，，∴，当时，，∴,设，则，由折叠知，，∴，∵，∴，解得；当时，，∴，∴，∴，∴，∴C、P、三点共线，∴，∴点与点A重合，∴点Q是的中点，∴．故的长为或．【变式6-3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．(1)如图1，若点是的中点．①求证：；②连接，求证：；(2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明．【答案】(1)①详见解析；②详见解析(2)，证明见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握翻折图形的性质是解题的关键．（1）①结合题意，通过证明，证明；②由折叠的性质可知，又，从而证得；（2），过点作交延长线于点，连接，通过证明，得到，，又，得到，在中，勾股定理得到，继而得到结论得证；【详解】（1）①点是的中点，．由折叠，得，．，是的一个外角，．，，．②如图，连接，记与的交点为，由折叠，得，．由①，得，，．（2），理由如下：如图，过点作交延长线于点，连接．，，．点是的中点，．，，．由折叠，得，，．在中，由勾股定理，得一、单选题1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度．利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度．【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后．在中，，，，∴．∴．∵，∴．故选：A．2．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可．【详解】解：如图，记点C的对应点为，长方形中，，，，，，由折叠可得，，，，设，则，在中，，，解得，则的长为．故选：C．3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质．设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解．【详解】解：设，由折叠可得，，∴，∵，为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，解得，则．故选：C．4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．先根据折叠得到，，，，然后求出【详解】解：由折叠性质得：，，，，∵，，然后利用勾股定理求解即可．∴∴∴∴∵∴∴∴∴．故选：C．5．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：四边形是长方形，，，，由折叠的性质得：，，，设，当为直角三角形时，则，，、、三点共线，分两种情况：①点在线段上时，如图1所示：则，，，在中，，，由勾股定理得：，解得：，；②点在线段的延长线上时，如图2所示：则，，在中，，，由勾股定理得：，解得：，；综上所述，当为直角三角形时，的长为或；故选：D．二、填空题6．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为．【答案】【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接，根据题意得，，∵，∴，设，则，在中，，∴，解得：．∴．故答案为：．7．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为【答案】【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质可知：，在长方形中，，∴，∴，设，则有，∴在中，由勾股定理可得：，解得：，∴；故答案为．8．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作于点，连接，设与交于点，则，又四边形是正方形，所以，，，根据平行线间的距离相等得，又将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，则，然后证明，所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，作于点，连接，设与交于点，∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，根据平行线间的距离相等得，∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得：，故答案为：．9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为．【答案】或【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分和两种情况，画出对应的图形，讨论求解即可．【详解】解：如图，当时，则，由折叠的性质可得，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；如图，当时，由折叠的性质可得，,，∴，∴三点共线，由勾股定理得，∴，设，则，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或，故答案为：或．10．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为．【答案】或5【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可．【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，，∴或，由题意，得，如图1，当时，在中，由勾股定理，得：，，，；②如图2，当时，在中，由勾股定理，得：，，，．综上所述，线段的长为或5．故答案为：或5．三、解答题11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，，∴，由折叠的性质可得，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴．12．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长．【答案】【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，连接交于点．将沿折叠得到，，，垂直平分．为的中点，，．，，，．在中，由勾股定理，得，，．在中，由勾股定理，得．13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．(1)求的长；(2)的面积为__________；(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；【答案】(1)(2)6(3)或3或【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可；（2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可；（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E．，∵四边形是长方形，．，，；设，则，在中，，根据勾股定理得，，，，，；（2）解：由（1）得，∴，根据翻折的性质得，，∴的面积为，故答案为：6；（3）解：①若，，；②若，作于点，，，，，，；③若，则，，，，，，；综上所述，或3或．14．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．(1)求边的长．(2)如图，若为的中点．求证：．(3)如图，若为的中点．试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．直接写出线段的长．【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析；【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可；（2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证；（3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解．【详解】（1）解：，满足，，，，，，，在中，，；（2）证明：如图，连接交于点，沿折叠得，，，垂直平分，，为中点，，，，，，，，即，，，，；（3）解：，理由如下：如图，过点作交延长线于点，连接，，即，，，，为的中点．，，，，，，，，，，∴DE=DH在中，，；如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接，为中点，，，，，，，，，，，，∵，∴，∴，，，，，，，，，，，设，则，在中，，即，解得，，，设，则，由知，，又，，即，解得，．15．（25-26八年级上·重庆北碚·月考）在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．(1)如图1，当点E在边上时，求的长度．(2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．(3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长．【答案】(1)3(2)(3)4或16【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理可得的长，从而得到的长，然后根据，即可求解；（2）证明，可得，从而得到，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：当点Q在线段上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，再由勾股定理得的长，即可求解；当点Q在延长线上时，由勾股定理得的长，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意得：，由折叠的性质得：，，∵，∴，，∴，在中，，∴，解得：；（2）解：由翻折的性质得：，∴，设，则，∵，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，即；（3）解：当点Q在线段上时，如图：由翻折的性质得：，∴，∵四边形是长方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；当点Q在延长线上时，如图：由翻折的性质得：，∴，设，则，∵，∴，在中，由勾股定理得：，，解得：，即；综上所述，的长为4或16．综合训练一、选择题1.如图,带阴影的长方形的面积是()A.9cm2 B.24cm2C.45cm2 D.51cm22.若a,b,c是直角三角形的三条边,下列说法正确的是()A.a2,b2,c2能组成三角形B.3a,3b,3c能组成直角三角形C.a+3,b+4,c+5能组成直角三角形D.3a,4b,5c能组成直角三角形3.如图,在长方形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C,则长方形纸片的一边AB的长度为()A.1 B.2 C.3 D.24.如图,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为()A.14cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.48cm25.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为()A.(-1,0) B.(-2,0) C.(-5+4,0) D.(-1.5,0)6.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b,则|a|=|b| B.全等三角形的周长相等C.若a=0,则ab=0 D.有两边相等的三角形是等腰三角形7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图①图②A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和8.如图①,第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为()图①图②A.55 B.255 C.1 二、填空题9.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为.

10.命题“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是

,它是命题.

11.如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形,图③是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为.

12.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

三、解答题13.若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.(1)求出a,b,c的值;(2)△ABC是直角三角形吗?请说明理由.14.为了减少交通事故的发生,某条例规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速监测仪的距离为50m,问这辆小汽车超速了吗?15.如图,在正方形ABCD中,M为AB的中点,N为AD上的一点,且AN=14AD,试猜想△CMN是什么三角形,请证明你的结论16.[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.[定理表述]请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).图①图②[尝试证明]以图①中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图②),请你利用图②,验证勾股定理.[知识拓展]利用图②中的直角梯形,我们可以证明a+b因为BC=a+b,AD=,

又因为在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小关系),即,

所以a+17.阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为a=12(m2-n应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.综合训练一、选择题1.C2.B∵a,b,c是直角三角形的三条边,∴3a,3b,3c能组成直角三角形,a2,b2,c2不一定能组成三角形,其他情况都不能得到直角三角形.3.C连接C