第1课时一元二次方程的应用课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程.2.能利用一元二次方程解决有关几何的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.回

顾

你还记得解决方程(组)实际问题的一般步骤吗？(1)审：审题，明确题意；(2)设：用字母表示题目中的未知数；(3)找：找出等量关系；(4)列：根据等量关系列出一元二次方程；(5)解：求方程(组)的解；(6)检：检验解是否符合方程，是否符合实际；(7)答：写出答案并作答.探

究

还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？(1)在这个问题中，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？分析：存在等量关系

①梯子底端滑动的距离

＝梯子顶端滑动的距离；②直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方.(1)在这个问题中，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？xx10m8mABC6m解：设梯子顶端下滑xm时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得 (8–x)2＋(6＋x)2＝102，解得x1＝0(舍去)，x2＝2.所以梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动相等的距离.解：设梯子顶端下滑xm时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得 (12–x)2＋(5＋x)2＝132，解得x1＝0(舍去)，x2＝7.所以梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等，当下滑距离为7米时相等.(2)如果梯子的长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？分析：根据题意可画图：xx12m13mABC5m例

如图，某海军基地位于A

处，在其正南方向200nmile处有一重要目标B，在B

的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D

位于AC

的中点，岛上有一补给码头；小岛F

位于BC

的中点，一艘军舰从A

出发，经B

到C

匀速巡航，一艘补给船同时从D

出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.北东200ABCDE200

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B

到C

的途中与补给船相遇于E

处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1nmile)F已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B

到C

的途中与补给船相遇于E

处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1nmile)北东200ABCDE200分析：存在等量关系

①军舰的速度＝补给船的速度×2②军舰航行的时间＝补给船航行的时间③直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方军舰航行的路程＝补给船航行的路程×2F已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B

到C

的途中与补给船相遇于E

处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1nmile)解：连接DF.∵AD＝CD，BF＝CF，∴DF

是△ABC

的中位线.∴DF//AB，且DF＝AB.∵AB⊥BC，AB＝BC＝200nmile，∴DF⊥BC，DF＝100nmile，BF＝100nmile.北东ABCDEF北东ABCDEF

变

式

如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.点P停止运动时点Q也停止运动.(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?ADPQBC解：(1)依题意得AP＝3t，BP＝AB－AP＝16－3t，CQ＝2t，DQ＝DC－CQ＝16－2t，故S梯形PBCQ＝(CQ＋PB)·BC．又∵S梯形PBCQ＝33，∴(2t＋16－3t)×6＝33，解得t＝5．答：P、Q两点出发后5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．变

式

如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.点P停止运动时点Q也停止运动.(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm?ADPQBC(2)过点P作PE⊥CD交CD于E．QE＝DQ－AP＝16－5t，在Rt△PQE中，PE2＋QE2＝PQ2，可得：(16－5t)2＋62＝102，解得t1＝4.8(舍去)，t2＝．答：P、Q两点从出发开始s时，点P和点Q的距离第一次是10cm．E1.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程

()A.5x2＝6

B.5(1＋x2)＝6C.x(5－x)＝6

D.5(1＋x)2＝6C2.如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过几小时它就会进入台风影响区？北东ABC解：由题意，作图如下：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE＝40xkm，BB'＝20xkm，AB⊥AC，在Rt△ABC中，BC＝500km，AB＝300km，∴AC＝＝400km，∴AE＝AC－CE＝(400－40x)km，AB'＝AB－BB'＝(300－20x)km，在Rt△AB'E中，由勾股定理得：AE2＋AB'2＝EB'2，∴(400－40x)²＋(300－20x)²＝200²，解得.(不符合题意，舍去)答：经过7小时，这艘轮船就会进入台风影响区.解：设运动t秒后△CMN的面积等于8cm²，根据题意得：CM＝6－t，NC＝2t，则△CMN的面积是：＝×(6－t)×2t＝8.解得t1＝2，t2＝4.故经过2秒或4秒后，△CMN的面积等于8cm².3.如图，在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm.点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC方向运动：同时点N从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动.(1)运动几秒时，△CMN的面积为8cm²?ABCMN3.如图，在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm.点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC方向运动：同时点N从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动.(2)△CMN的面积能否等于12cm²?若能，求出运动时间：若不能，请说明理由.ABCMN解：

×(6－t)×2t＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，则当t＝3时，△CMN的面积最大为9.∴△CMN的面积不能等于12cm².4.如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m的小门，设栅栏BC长为xm.(1)AB＝

m(用含x的代数式表示)；ABCD1m1m解析：设栅栏BC长为xm，∵栅栏的全长为49m，且中间共留两个1m的小门，∴AB＝49＋2－3x＝51－3x(m).51－3x4.如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m的小门，设栅栏BC长为xm.(2)若矩形围栏ABCD面积为210m²，求栅栏BC的长；ABCD1m1m(2)依题意，得：(51－3x)x＝210，整理，得：x²－17x＋70＝0，解得：x1＝7，x₂＝10.当x＝7时，AB＝51－3x＝30>25，不合题意，舍去；当x＝10时，AB＝51－3x＝21，符合题意，答：栅栏BC的长为10m.4.如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m的小门，设栅栏BC长为xm.(3)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240m²?若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由.ABCD1m