小学六年级数学《奥数培优：复杂行程问题中的中途休息与停留》教案

小学六年级数学《奥数培优：复杂行程问题中的中途休息与停留》教案一、教学内容概述本课时隶属于小学六年级数学“奥数培优”系列课程，专为小升初阶段有较高数学素养拓展需求的学生设计。教学内容聚焦于行程问题中的一个重要且复杂的分支——“中途休息”问题，亦称“走停问题”。这类问题不仅在各类数学竞赛和小升初择校考试中占据【重要】地位，更是对学生在动态变化过程中把握不变关系、运用分段与整体思想解决问题能力的集中检验。课程将系统梳理该类问题的基本类型，包括单次停留、周期性休息、以及多人互动中的等待与滞留，旨在帮助学生构建从具体情境到抽象模型的思维桥梁。二、教学目标设计（一）知识与技能目标1.【基础】学生能准确识别“中途休息”问题的特征，即运动过程中因休息、故障、停留等导致速度或时间发生变化。2.【核心】学生熟练掌握解决“中途休息”问题的两种基本策略：“补时法”与“分段法”。能够根据具体情境，灵活地将总时间或总路程进行合理拆分与重组。3.学生能够运用线段图准确表征复杂的运动过程，通过图示分析速度、时间、路程三者之间在休息节点前后的对应关系。（二）过程与方法目标1.通过对比“标准行程”与“含休息行程”的差异，引导学生经历“发现问题—建立模型—求解验证”的完整探究过程。2.培养学生运用方程思想、比例思想以及假设法解决非线性运动过程的数学建模能力，这是奥数培优中【难点】的突破口。3.【高频考点】通过典型例题的变式训练，使学生掌握将“停留”造成的损失时间如何通过“提速”或“延长运动时间”进行补偿的逻辑。（三）情感态度与价值观目标1.在解决看似复杂的“走走停停”问题时，通过化繁为简的成功体验，激发学生探究数学内在规律的乐趣，培养迎难而上的意志品质。2.引入“龟兔赛跑”等经典故事的数学建模，让学生感悟持之以恒与合理安排时间的生活哲理，实现学科育人价值。三、教学重难点（一）教学重点1.理解“中途休息”导致的实际运动时间与计划时间、路程与速度之间的重新匹配关系。2.掌握用线段图辅助分析，将“人休息但时间流逝”这一关键点融入计算中。（二）教学难点1.处理周期性的“工作—休息”循环问题，如何计算完整周期数及剩余工作量/路程所对应的实际时间。2.在相遇或追及问题中，当一方中途休息时，如何转化条件，将其视为对方单独运动或速度变化的等效过程。四、教学过程设计与实施第一环节：固本培元——唤醒经验，引入模型（一）旧知回顾，铺垫迁移教师首先引导学生回顾解决一般行程问题的基本公式与工具。路程、速度、时间三者之间的基本关系是解决一切行程问题的基石，即路程等于速度乘以时间，速度等于路程除以时间，时间等于路程除以速度。教师强调，画线段图是分析较为复杂的行程问题最直观、最有效的方法，它能帮助我们清晰地表示出运动过程中各个量之间的关系。同时，我们也学过解决相遇问题与追及问题的核心公式，相遇时间等于总路程除以速度和，追及时间等于路程差除以速度差。这些知识储备，将为我们今天探究更具挑战性的问题打下坚实的基础。（二）情境导入，制造冲突教师向学生呈现一个简化版的“龟兔赛跑”故事，但赋予其具体的数据。兔子每秒跑5米，乌龟每秒爬1米，赛程总长120米。兔子跑到中途，发现远远领先，于是睡了80秒。教师提问，如果兔子不睡觉，它肯定赢，但这一睡，结局会如何呢？学生通过简单计算会发现，兔子跑完全程只需24秒，但睡了80秒后，乌龟利用这80秒已经爬了80米，加上之前爬的，结果可能是乌龟赢了。这个耳熟能详的故事，其数学内核正是我们今天要深入研究的“中途休息”问题。通过这一情境，迅速激发学生的兴趣，并自然引出本课的核心议题。第二环节：合作探究——深度剖析单次休息问题（一）经典例题精讲：龟兔赛跑中的数学【例题1】龟兔赛跑，全程2000米。乌龟每分钟爬25米，兔子每分钟跑320米。兔子自以为速度快，在途中睡了一觉，结果乌龟到终点时，兔子离终点还有400米。请问兔子在途中睡了多久？【重要级别】【高频考点】教师引导学生进行审题分析。首先，明确这是一个典型的单次休息问题。问题的核心在于，乌龟一直在运动，而兔子的运动被分成了两段：睡前的奔跑和睡醒后的奔跑。要求兔子睡了多久，最直接的思路是算出兔子实际跑了多长时间，再用乌龟跑完全程的总时间减去这个时间。师生共同进行规范求解。先计算乌龟爬完全程所需的时间，即总路程除以乌龟的速度，2000除以25等于80分钟。再计算兔子实际跑的路程，因为它离终点还有400米，所以它跑了2000减去400等于1600米。根据路程除以速度，兔子实际奔跑的时间为1600除以320等于5分钟。那么，兔子睡觉的时间就是乌龟所用的总时间减去兔子实际奔跑的时间，即80减去5等于75分钟。【解法反思】教师引导学生总结，这种方法的核心在于抓住“不变量”——即从起点到终点整个过程的“总时间框架”。在这个框架内，兔子虽然在睡觉，但时间并没有停止。我们将乌龟的持续运动时间作为参照标准，用这个总时间减去兔子的纯运动时间，就得到了兔子中途休息的时间。这是一种非常重要的“补时法”思想。（二）变式训练：故障停车与速度补偿【例题2】一辆汽车从A地开往B地，原计划5小时到达。当行驶到全程的中点时，汽车出现故障，停了30分钟。为了按时到达B地，司机将之后的速度每小时加快了10千米。求A、B两地之间的距离。【难点】【热点】教师组织学生进行小组讨论。这个问题不再是求休息时间，而是已知休息时间，求总路程。关键在于理解“为了按时到达”这句话的含义。它意味着虽然中途停了30分钟，但总的行驶时间不能变。因此，后半段路程必须在减少的时间内完成。教师引导学生用线段图分析。画一条线段表示全程，中点将其分为前后相等的两段。前一半路程按原速行驶，用了原计划一半的时间，即2.5小时。后一半路程，因为停了0.5小时，所以实际用于行驶的时间只剩下2.5减去0.5等于2小时。但后一半的路程长度是不变的。设原来的速度为v千米/时，则后一半路程可表示为v乘以2.5，也可表示为(v+10)乘以2。由此列出方程：2.5v等于2(v+10)。解这个方程，得到v等于40千米/时。那么全程就是原速度乘以原计划时间，即40乘以5等于200千米。【深度追问】如果不停车，后一半只需要2.5小时；停车后，用2小时走完同样的路，这节省的0.5小时是通过提速换来的。这0.5小时里，按照新速度（v+10）行驶，比用原速v行驶多走了多少？教师引导学生思考，这实际上是一种盈亏问题的变形。通过这种分析，加深学生对速度、时间、路程三者联动关系的理解。（三）思维进阶：相向而行中的一方停留【例题3】快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行60千米，慢车每小时行48千米。两车在距中点24千米处相遇。如果快车在行驶到中点时，因故停车48分钟，然后继续以原速向乙地行驶，慢车则始终保持原速。那么两车相遇的地点距离中点多少千米？【重要级别】【竞赛链接】这个问题相较于前面有了质的飞跃，它涉及两车运动，且其中一方在特定地点停留。教师首先引导学生分析第一种情况（无停留），求出两地距离。通过“距中点24千米相遇”，可知快车比慢车多行了48千米。根据路程差除以速度差等于相遇时间，得到48除以（60减48）等于4小时。那么总路程为速度和乘以时间，即（60加48）乘以4等于432千米，中点为216千米。接下来分析有停留的情况。教师引导学生分段思考。快车行驶到中点（即216千米处）需要的时间为216除以60等于3.6小时，也就是3小时36分钟。此时，慢车在这3.6小时内行驶了多少？48乘以3.6等于172.8千米。两车之间的距离此时变为总路程减去快车已行的和中点以后的路，更清晰地说，是快车停在中间，慢车继续向它驶来。此时两车相距432减去216（快车位置）再减去172.8（慢车已行）？实际上，更简单的方法是，两车此时相距的路程等于全程减去快车已行路程和慢车已行路程。但快车已行至中点，所以它距乙地还有216千米。慢车距中点还有216减去172.8等于43.2千米？不对，慢车是从甲地出发向乙地，它已经走了172.8，离中点还有216减172.8等于43.2千米，所以两车相距就是这43.2千米？这个逻辑要理清。【关键突破】教师引导：更好的方法是，将快车停留的48分钟（即0.8小时）视为慢车单独行驶的时间。在这0.8小时里，快车不动，慢车向快车方向靠近了48乘以0.8等于38.4千米。当快车修好重新出发时，两车之间的距离已经缩短为刚才计算的“快车刚到中点时两车的距离”减去这38.4千米。那么，“快车刚到中点时两车的距离”是多少？那就是从快车在中点那一刻起，到如果两车继续走相遇，它们之间相隔的路程。快车在中点时，它已经走了216，慢车走了172.8，两车共同覆盖的路程是388.8千米，所以剩下的距离是432减388.8等于43.2千米。这43.2千米，就是快车停车前两车的即时距离。然后快车停了0.8小时，慢车继续走，把距离又缩小了38.4，所以当快车重新启动时，两车实际相距43.2减38.4等于4.8千米。最后这4.8千米，由两车共同完成，相遇所需时间为4.8除以（60加48）等于4.8除以108等于约0.0444小时，即约2.67分钟。那么相遇点离中点有多远？从快车的角度看，它从中点出发走了0.0444小时，走了60乘以0.0444约等于2.67千米。所以相遇点在中点向乙地方向2.67千米处。【方法提炼】解决此类问题的核心在于抓住“停留点”和“停留时间”，将整个过程分解为：停留前的各自运动、停留期间的单独运动、停留后的相对运动三个清晰的阶段。特别要注意，停留期间，一方的运动状态改变为静止，但另一方仍在运动，这会导致两者之间的距离发生独特的变化。第三环节：专题攻坚——周期性休息与走停模型（一）问题特征识别教师出示一类新问题：一个人或一个物体不是只停一次，而是按照一定的规律，走走停停。例如，一个人步行，走5分钟，休息2分钟；或者一个蜗牛爬井，爬3米，滑2米。这类问题具有明显的周期性，是奥数培优中培养周期思想和建模能力的【难点】内容。（二）经典例题剖析：周期性走停【例题4】有一个蓄水池，池底有泉水不断涌出。要将满池的水抽干，用10台抽水机需抽3小时，用5台抽水机需抽8小时。如果要在2小时内抽干，至少需要多少台抽水机？【重要级别】【牛吃草变式】虽然此题背景是抽水，但其本质是“工作与反工作”的对抗，与“爬井滑下”的周期性走停问题具有同构性。涌出的泉水相当于逆向的阻力，抽水机相当于正向的运动。教师引导学生分析。设每台抽水机每小时抽水量为1份。则10台3小时抽水30份，5台8小时抽水40份。为什么同样的满池水，抽出的总份数不同？因为泉水在涌出。8小时比3小时多涌出了40减30等于10份，所以泉水每小时涌出10除以（8减3）等于2份。那么原来满池的水量就是10台3小时抽的总量减去3小时涌出的量，即30减2乘以3等于24份。现在要在2小时内抽干，且泉水仍以每小时2份的速度涌出。设需要x台抽水机。那么2小时抽出的总量必须等于原来的满池水加上2小时新涌出的水。列式为：2x等于24加2乘以2，解得2x等于28，x等于14。所以至少需要14台。【模型迁移】教师将模型迁移回走停问题。比如，一只蜗牛从10米深的井底爬，白天爬3米，晚上滑2米，几天能爬出？这与抽水问题何其相似！爬升相当于抽水，下滑相当于泉水涌出。学生通过类比，能更深刻地理解这类周期性往复问题的本质是“净效率”问题。（三）变式拓展：变速与休息的结合【例题5】某人上山的速度是每小时2千米，下山的速度是每小时5千米。他从山脚出发，到达山顶后立即下山（不计停留时间），来回共用了3.5小时。如果他上山每走30分钟就休息5分钟，下山每走40分钟就休息8分钟，那么他从山脚到山顶再返回山脚，总共需要多少时间？【综合题】【选拔性试题】此题将行程问题、平均数问题与周期休息问题综合在一起。教师引导学生分步拆解。第一步，先根据无休息的情况，求出山脚到山顶的路程。设上山用t小时，下山用（3.5t）小时。根据路程相等：2t等于5（3.5t），解得t等于2.5小时，路程为5千米。第二步，分析上山过程。上山需要纯行走时间2.5小时，即150分钟。他每30分钟休息5分钟，我们需要看这150分钟里包含了多少个完整的“行走+休息”周期。一个周期是35分钟。150除以35等于4个周期余10分钟。4个周期意味着他走了4次30分钟，共120分钟，并完整地休息了4次，每次5分钟，共20分钟。但余下的10分钟，他是在行走，因为这10分钟不到一个行走时段，所以走完这10分钟后他就到达山顶了，不需要再休息。因此，上山总时间为4个完整周期（140分钟）加上最后的10分钟行走，等于150分钟？不对，4个完整周期是140分钟，但这140分钟里包含了4段行走（120分钟）和4段休息（20分钟）。最后他又走了10分钟，所以总时间应该是4段行走加4段休息再加最后的10分钟行走，即120加20加10等于150分钟。这恰好等于纯行走时间加上休息时间，即150分钟行走对应着固定的休息模式。另一种算法：先算出需要休息的次数。他需要走150分钟，每30分钟休息一次，150除以30等于5次，这意味着他在走完第一个30分钟、第二个30分钟……直到第四个30分钟后都要休息，但在走完第五个30分钟后，他已经到达山顶，所以第五次休息是不需要的。因此他实际休息了4次，共20分钟。总时间就是行走时间150分钟加休息时间20分钟，等于170分钟，即2小时50分钟。第三步，分析下山过程。下山纯行走时间根据路程5千米和速度5千米/时，可知需要1小时，即60分钟。他每走40分钟休息8分钟。60分钟里，他先走40分钟，然后必须休息8分钟（因为按规律，每40分钟就要休息）。休息完后，他还剩下20分钟的路程要走。这20分钟走完后，他就到达山脚，且这20分钟之后没有触发新的40分钟周期，所以不需要再休息。因此，下山总时间为：第一个40分钟+第一个8分钟休息+最后的20分钟=68分钟。第四步，合并总时间。上山170分钟加上下山68分钟，等于238分钟，即3小时58分钟。【方法小结】对于周期性休息，关键在于确定“周期”和“余数”。要明确最后一次行走结束后是否还需要跟随一个完整的休息期。通常，到达目的地的那一刻，运动即终止，不需要再为“即将到来”的休息时段付出时间。第四环节：总结升华——构建解题策略体系（一）知识图谱梳理教师带领学生回顾本课所学，将“中途休息”问题进行分类总结。可以分为两大类：一是单次（或有限次）停留问题，主要用“补时法”、“分段法”和“方程法”解决；二是周期性停留问题，主要用“周期分析法”和“净效率法”解决。对于涉及多个运动对象的，要抓住“停留点”和“停留时段”，将复杂过程分解为若干简单过程的组合。（二）核心思想提炼1.【转化思想】将停留导致的“时间黑洞”转化为路程的缺失或速度的补偿。2.【对应思想】始终抓住纯运动时间与总历时的区别与联系，建立正确的对应关系。3.【方程思想】当量关系复杂时，直接设未知数，根据不变量（如总路程、总时间）列方程，是解决难题的通法。4.【分段与整体】既要能庖丁解牛般将过程拆解，又要能站在全局高度把握总量关系。（三）易错点警示教师重点强调几个学生容易出错的地方。一是计算周期时，容易多算或少算一个休息段，特别是最后到达时是否休息需要根据实际情况判断。二是在相遇问题中处理停留时，容易忽略停留期间另一方的运动，导致距离计算错误。三是单位换算，时间单位经常是分钟和小时混用，计算前必须统一。五、作业与拓展练习（一）基础巩固题1