2025年高考数学试卷（上海6月）（解析卷）

第年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（解析卷）填空题(本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果)1.已知全集U=x|2≤x≤5x∈R,集合【详解】根据补集的含义知A=2.不等式x-1x-3<0的解集为【详解】原不等式转化为x-1x-3则其解集为(1,3).故答案为:(1,3).3.己知等差数列an的首项a1=-3,，公差d=2，则【详解】根据等差数列的求和公式，S故答案为：124.在二项式2x-15的展开式中，x³的系数为【详解】由通项公式T令5-r=3,得r=2,可得x³项的系数为C故答案为：80.5.函数y=cosx在-π2π【详解】由函数y=cosx在-π20上单调递增，在0π4单调递减，且f-故答案为:[0,1].

6.已知随机变量X的分布为则期望EX【详解】由题设有E故答案为:6.3.7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D【详解】因为BD=42且四边形ABCD为正方形，故而DB1=9,故B故所求体积为7×16=112,故答案为:112.8.设a,b>0,a+1b=1,则b+【详解】易知b+当且仅当ab=1,即a=1故答案为：49.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种.【详解】先选两位家长排在首尾有P42=12种排法；再排对中的四人有故答案为：28810.已知复数z满足z2=z【详解】设z=a+bi由题意可知z2=a2+2abi-b2设E(2,3),则∣z-2-3i∣=∣ZE∣,由图象可知∣BE∣=10>∣CE∣=22故答案为：211.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角θ=_.(结果用角度制表示，精确到(0.0【详解】如图，在A处，tanx=(其中ED∥水平面，CE是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于E)，故设BD=y,则ED=1+y2.5,由勾股定理，y2+1+y2.52于是θ=故答案为:12.58°12.已知f(x)={1,x>00,x=0-1,x<0,是a、b、c平面内三个不同的单位向量.若【详解】若fa⋅b=f又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,故f不妨设则a⋅不妨设b则{a→·则a=由θ∈则sin故∣故答案为：1

二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.)13.己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为PA=12A∩B发生的概率P(A∩B)为A.18 B.14 C.1【详解】因为A，B相互独立，故P故选:B.14.设a>0,s∈R.下列各项中,能推出a³>a的一项是A.a>1,且s>0 B.a>1,且s<0C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s<0【详解】∵a>0,当a∈(0,1)时,y=aˣ定义域上严格单调递减，此时若s-1<0，则一定有as-1当a∈(1,+∞)时,y=aˣ定义域上严格单调递增，要满足as-1故选：D15.已知A(0,1),B(1,2),C在Γ:x2-A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值【详解】设曲线上一点为(a，b)，则a2klAB=2-11-0=1,AB方程为:y-1=x,即x-y+1=0由于b≥0,显然f(b)关于b单调递减,f(b)max=f(0),无最小值，即VABC中，AB边上的高有最大值，无最小值，又AB一定，故面积有最大值，无最小值.故选：A

16.已知数列an、bn、cn的通项公式分别为A.4个 B.3个 C.1个 D.无数个【详解】由题意an,b三点均在第一象限内，由cn=λa故点C恒在线段AB上，则有min即对任意的λ∈0令10x-9=2x,则f'又f'3<0,f'4即当0<x<x0时，当x>X0时，故f(x)至多2个零点,又由f(1)>0,f(2)<0,f(5)<0,f(6)>0,可知f(x)存2个零点，不妨设x1,x①若an≤bn则an≤cn要使an、bn、cn的值均能构成三角形，所以an+c所以有{10n-9≤②若an≥bn则an≥cn≥要使anbncn所以有{10n-9≥2综上可知，正整数n的个数有3个.故选:B.

三、解答题(本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.)17.2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.206.78207.4620795209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求这组数据的极差与中位数；(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=-0.311x+b【小问1详解】由题意,数据的最大值为216.93,最小值为206.78,则极差为216.93-206.78=10.15;数据中间两数为209.35与210.78,则中位数为209.35+210.68故极差为10.15,中位数为210.015;【小问2详解】由题意，数据共10个，211以上数据共有4个，故设事件A=“恰有2个数据在211以上”，则P故恰有2个数据在211以上的概率为3【小问3详解】由题意，成绩的平均数206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.9310=211.399,由直线y=-0.311x+b则b=211.399+0.311×2006=835.265,故回归直线方程为y=-0.311x+835.265.当x=2028时,y=-0.311×2028+835.265=204.557≈204.56.故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2.(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为π3(2)已知Q是母线PA的中点,点C、D在底面圆周上,且弧AC的长为π/3,CD∥AB.设点M在线段OC上,证明:直线QMⅡ平面PBD.【小问1详解】由题知，∠PAB=π3底面周长为2π×1=2π，则侧面积为：1【小问2详解】由题知AQ=QP,AO=OB,则根据中位线性质,QO∥PB,又QO⊄平面PBD,PB⊂平面PBD,则QO∥平面PBD由于AC=π3,底面圆半径是1，则∠AOC=π3,又CD∥AB,则于是CD‖BO且.CD=OB,,则四边形OBDC是平行四边形,故OC∥BD,又OC⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,故OC//平面PBD.又0C∩OQ=0,OC,OQ⊂平面QOC,根据面面平行的判定，于是平面QOC//平面PBD，又M∈OC,则QM⊂平面QOC,则QM//平面PBD

19.已知f(1)若f(1)=0,求不等式fx(2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围;【小问1详解】因为f(1)=0,故1-m-2+0=0,故m=-1,故fx=x2-x-ln设s(x)=x+lnx,x>0,则s'x故原不等式的解为[1，+∞).【小问2详解】f(x)在(0，f'x=2x-m+2+mx=2x2-m+2x+mx=2x-mx-1xx∈0m2故x=m若m=2,则x∈(0,+∞)时,f'若m2>1即m>2,则x∈1x∈01∪故x=1为f(x)的极大值点，符合题设要求；综上,m>0且m≠2.

20.已知椭圆Γ:x2(1)若Γ的焦点(2,0),求离心率e;(2)若a=4,且Γ上存在一点P,满足PA=2(3)已知AM的中垂线/的斜率为2，/与Γ交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围.【小问1详解】由题意知， Γ:x2a2由右焦点(2,0),可知c=2,则a=故离心率e=【小问2详解】由题意A(4,0),M(0,m)(m>0),P(xp,yp)由PA=2解得P432m3,代入解得m=【小问3详解】由线段AM中垂线/的斜率为2，所以直线AM的斜率为-则m-00-a=-1由A(a,0),M(0,a/2得AM中点坐标为a故直线l：y=2x-34a,故直线与椭圆恒有两不同交点，设C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),由{y=2x-34a由韦达定理得x因为∠CMD为钝角，则MC⋅MD<0,则有x所以x1x2+2x1-5a故5<a<11,

21.已知函数.y=fx的定义域为R.对于正实数a，定义集合M(1)若f(x)=sinx,判断fx=sinx,π(2)若求a的取值范围；(3)若y=f(x)是偶函数,当x∈(0,1]时,fx=1-x,且对任意a∈02,均有【小问1详解】1fπ3=sinπ【小问2详解】法一：因为M。≠∅，则存在实数x。使得fx0当x<0时,f(x)=x+2,其在(-∞,0)上严格单调递增,当x≥0时,fx则x0<0≤x令x+2=0,解得x=-2,则-2≤x则法二：作出该函数图象，则由题意知直线y=t与该函数有两个交点，由图知0≤t<2,假设交点分别为A(m,t),B(n,t),联立方程组{m=tn+2=t【小问3详解】(3)对任意x0则fx0-2所以x所以fx0=fx0-2所以fx0=f所以当s∈(0,1)时,1-s∈(0,1),1+s∈(1,2),则f(1-s)=1-(1-s)=s,f(1+s)=(1+s)-1=s,则f(1-s)=f(1+s),而1+s-(1-s)=2s,(3-s)-(1-s)=2,则1-s∈M2s⊆所以当x∈(2,3)时,f(x)=f(x-2)=1-(x-2)=3-x,而f(x)为偶函数,画出函数图象如下：其中f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),f(0),但其对应的y值均未知.首先说明f(-3)=n∉若f(-3)=n∈(0,1),则-3+n∈(-3,-2),易知此时f(x)=x+3,x∈(-3,-2),则f(-3+n)=n,所以f-3∈Mn⊆所以f(-3)=f(-1)=0,与f(-3)=n矛盾,所以f(-3)∉(0,1)令y=f(x)-c=0,则y=f(x)=c,当c=0时，即使让f(-3)=f(3)=f(-2)=f(2)=f(0)=0,此时最多7个零点，当c≥1时,若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3)=f(3)=c,此时有5个零点，故此时最多5个