2025-2026学年山西省运城市平陆中学高二下册期中教学质量评价数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A.10种 B.20种 C.25种 D.32种2.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A.0.24 B.0.38 C.0.12 D.0.443.的展开式中的系数为（）A.40 B.80 C. D.4.随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（）ξ012PabcA. B. C. D.5.已知变量x和y的统计数据如下表：x24568y3040605070若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（）（附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为A. B.C. D.6.一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（）A.8种 B.10种 C.12种 D.16种7.已知能被11整除，则整数a的值可以是（）A.1 B.9 C.10 D.08.已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.观察下列散点图，则（）A. B. C. D.10.若随机变量服从两点分布，其中，则（）A. B.C. D.11.某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（）参考公式与数据：，其中：．0.010.0050.0016.6357.87910.828A.可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关B.可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关C.学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为D.在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为________.13.设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________.14.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？16.已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.17.某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；（2）求离散型随机变量的分布列与期望.18.2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.（1）从高二年级竞赛分数在区间的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；19.正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会.（1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求；（2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A.10种 B.20种 C.25种 D.32种答案：D解析：思路：由分步乘法原理计算．解答过程：由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.故选：D2.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A.0.24 B.0.38 C.0.12 D.0.44答案：B解析：思路：利用正态分布的对称性求解即可.解答过程：根据题意可得．故选：B.3.的展开式中的系数为（）A.40 B.80 C. D.答案：A解析：思路：结合二项式展开式的通项公式求得正确选项.解答过程：，所以展开式中的系数为.故选：A4.随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（）ξ012PabcA. B. C. D.答案：D解析：思路：利用函数的极值点就是导函数的零点，再结合二次方程的韦达定理和分布列概率和为1可求解，并检验是否满足题意即可作出判断.解答过程：由，得，由，解得．当时，满足，故．故选：D.5.已知变量x和y的统计数据如下表：x24568y3040605070若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（）（附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解.解答过程：由题意得.，，所以，故线性回归方程为.故选：D6.一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（）A.8种 B.10种 C.12种 D.16种答案：A解析：思路：所有路线共有，去掉经过再到达的，即可求解.解答过程：移动6次到达,则需要向右移动3次，向上移动3次，故总的方法有种，若经过再到达，需要先从原点到，再从到，此时共有种，故蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法共有种，故选：A7.已知能被11整除，则整数a的值可以是（）A.1 B.9 C.10 D.0答案：C解析：思路：根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案.解答过程：因为，能被11整除，所以能被11整除，由选项知当时，符合题意．故选：C.8.已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5答案：C解析：思路：根据概率和为得到求得，根据分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可.解答过程：因为分布列中概率和为，故可得，解得，又，则，又，故可得，则当时，的最大值为，又，故的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.观察下列散点图，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：根据散点图及相关系数的概念判断即可.解答过程：散点图①，②中y与x呈负相关，，散点图②中y与x的线性相关性更强，即，因此；散点图③，④中y与x呈正相关，，散点图④中y与x的线性相关性更强，即，因此，所以．故选：BD10.若随机变量服从两点分布，其中，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用两点分布结合期望和方差公式求出、的值，并结合期望和方差的性质判断即可.解答过程：由题意可得，则，故，，．故选：ACD.11.某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（）参考公式与数据：，其中：．0.010.0050.0016.6357.87910.828A.可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关B.可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关C.学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为D.在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为答案：BCD解析：思路：根据条件列出列联表，求出，可判断AB的真假；利用条件概率的计算公式进行计算，可判断CD的真假.解答过程：由题可得如下表格：（单位：人）每周锻炼时间短跑成绩合计合格不合格每周的锻炼时间超过5小时351045每周的锻炼时间不超过5小时253055合计6040100根据表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关．故A错误，B正确；设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”，“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，则，所以，所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，学生甲短跑成绩合格的概率为．故C正确；在学生甲短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为．故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为________.答案：解析：解答过程：将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即A213.设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________.答案：①.②.##解析：思路：利用独立重复试验的概率公式可得出关于的等式，结合可求出的值，再利用二项分布的方差公式以及方差的性质可求得的值.解答过程：因为随机变量，且，即，由题意可知，化简可得，解得，则.因为，所以，则.故；.14.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.答案：解析：思路：利用全概率公式及条件概率公式计算可得.解答过程：设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，设学生答对试题为事件，则，，，，，，所以，所以.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）分为和两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是和个位不是两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了人作英语导游、选了人作英语导游和选了人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.解答过程：（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类分配方式为时，共有：种分法分配方式为时，共有：种分法由分类加法计数原理可得，共有：种分法（2）若个位是，共有：个若个位不是，共有：个由分类加法计数原理可得，共有：个（3）若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法由分类加法计数原理可得，共有：种选法方法提示：本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.16.已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.答案：（1）（2）和（3）和解析：思路：(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；(2)设第项系数最大，列不等式组求，由此确定系数最大的项；(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.（1）因为展开式的通项公式为，，所以依题意得，即，由已知,所以，所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，所以.（2）由（1）知，，设展开式中系数最大的项为第项，则，即，即，解得，所以或，所以展开式中系数最大的项为和.（3）由为有理项知，为整数，得，，所以展开式中所有有理项为和.17.某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；（2）求离散型随机变量的分布列与期望.答案：（1）（2）分布列见解析，期望为．解析：思路：（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值；（2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值.（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”，则，，；记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”，则，，；事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，则（C），则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为．（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，，则离散型随机变量的分布列为246810所以数学期望．18.2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.（1）从高二年级竞赛分数在区间的学生中，采用分层抽样的方法抽取