2025-2026学年辽宁大连中山高级中学高一下册阶段性测试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，总共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.点在直角坐标平面上位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在四边形中，若，则该四边形的面积为（）A. B. C.10 D.203.为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度4.小王老师五一假期打卡泰山，如图，王老师为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为，山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（）A.1030米 B.1545米 C.米 D.米5.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则的值为（）A.1 B. C.5 D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A.10 B.11 C.12 D.138.记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，总共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的最小正周期为C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为D.的图象与直线和线段围成的图形面积为10.中，内角的对边分别为，为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则取值范围是D.周长的取值范围为11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.当时，的最小值为C.函数在点处的切线方程为D.在区间上的最大、最小值分别记为，则的最大值为三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.在中，三边所对的角分别为，已知，，的面积，则______.13.已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为______.14.将函数的图象向左平移（且）个单位长度后得到函数的图象，若，则的值为____.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）.（1）当时，求线段的长度；（2）设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）16.已知，，且函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知，，求的值．17.在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足．（1）求角的大小；（2）若的面积，内切圆的半径为，求；（3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值．18.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）求的取值范围；（3）若点为边上的中点，，求线段的最大值．19.在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足：（1）证明：；（2）求的取值范围.

数学一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，总共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.点在直角坐标平面上位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：分别求出，，即可得解.解答过程：，，所以点在第三象限，故选：C方法提示：本题考查了任意角三角函数的正负判断，考查了象限角，属于基础题.2.在四边形中，若，则该四边形的面积为（）A. B. C.10 D.20答案：C解析：思路：利用向量的数量积坐标运算来判断向量垂直，从而利用四边形的面积公式计算即可.解答过程：因为，所以，所以，则，即四边形的对角线互相垂直，因为，所以该四边形的面积为，故选：C.3.为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度答案：A解析：思路：利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．解答过程：，由诱导公式可知：又则，即只需把图象向右平移个单位.故选：A4.小王老师五一假期打卡泰山，如图，王老师为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为，山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（）A.1030米 B.1545米 C.米 D.米答案：B解析：思路：根据题意，将长度与角度转化成三角形的边角，利用解三角形的思路计算即可．解答过程：由题意知，，；故;又在处测得点的仰角为，故,则；在直角中，，，则米；在中，由正弦定理，即，可得米，在直角中，可得米．5.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则的值为（）A.1 B. C.5 D.答案：A解析：思路：以所在直线为轴，以为原点，建立坐标系，结合已知条件求出，，从而可求出数量积.解答过程：解：以所在直线为轴，以为原点，如图建立坐标系，则，则，所以，，则.故选:A方法提示：关键点睛:本题的关键是建立坐标系，写出两向量的坐标.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用同角三角函数平方关系和二倍角公式可求得，利用诱导公式可求得结果.解答过程：由得：，，.故选.7.如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A.10 B.11 C.12 D.13答案：B解析：思路：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围．解答过程：以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，，，设，则（其中），，，所以，当时，取得最小值11.故选：B．8.记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：解答过程：因为，，所以，所以为等腰三角形，所以为等腰三角形是的必要条件；由为等腰三角形，可得或或，所以为等腰三角形是的不充分条件；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，总共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的最小正周期为C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为D.的图象与直线和线段围成的图形面积为答案：ABD解析：思路：根据，结合给定的的范围得可判断A；利用结合得，由即可判断B；由得函数的解析式，由图象平移得曲线：，通过代入验证可判断C；通过画出的图象，并应用余弦函数的对称性，数形结合求出图形围成的面积即可判断D.解答过程：对于A选项，观察图象，得，即，而，解得，故A正确；对于B选项，由，且在函数的递增区间内，得，解得，解得，因此，故B正确；对于C选项，将向左平移个单位后，得曲线C：，故C错误；对于D选项，画出的图象与直线，线段，如图实线围成区域即为所求，由于，且的最小正周期为，结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD的面积：，故D正确.故选：ABD.10.中，内角的对边分别为，为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则取值范围是D.周长的取值范围为答案：BC解析：思路：对于A，利用向量数量积的定义和三角形的面积公式化简可求出角，即可判断；对于B，利用正弦定理求解判断；对于C，由正弦定理得，根据为锐角三角形，得到，然后利用正弦函数的性质可求出b的取值范围，即可判断；对于D，由余弦定理可得，再结合基本不等式求解判断即可.解答过程：对于A，因为，所以，所以，则，因为，所以，故A错误；对于B，由正弦定理得，则，即，因为，所以，则有两解，故B正确；对于C，由正弦定理得，则，即，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，即b取值范围是，故C正确，对于D，由余弦定理得，，则，又，当且仅当时等号成立，则，解得，又，则，所以，故D错误.故选：BC.11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.当时，的最小值为C.函数在点处的切线方程为D.在区间上的最大、最小值分别记为，则的最大值为答案：ACD解析：思路：由图可得.对于A，由周期计算公式可判断选项正误；对于B，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于C，由导数知识可得切线斜率，即可得切线方程；对于D，问题等价于求在上最大值与最小值的差值，分类讨论t的取值结合正弦函数单调性可判断选项正误.解答过程：由图，，，因，则.又由图可得.设的最小正周期为T，则，则取，得，则.对于A，最小正周期为：，故A正确；对于B，时，，因函数在上单调递增，在上单调递减，当时，的最小值为，故B错误；对于C，易得，，，则切线方程为：，即，故C正确；对于D，，注意到，则令，则问题相当于求在上最大值与最小值的差值.由周期性，则只需要研究在上的相关性质.若，由正弦函数单调性，结合和差化积公式可得；，则此时；若，此时，即，因时，，从而，则此时；若，由正弦函数单调性，结合和差化积公式可得.，则此时；若，则，则，则，因时，，则，则此时.综上可得，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.在中，三边所对的角分别为，已知，，的面积，则______.答案：或解析：解答过程：，，又，∴或.13.已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为______.答案：2解析：思路：利用平面向量的坐标运算设出P，Q两点坐标，从而表示出的表达式，根据表达式求出最小值.解答过程：如图所示，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，过A作于M，因为，，所以，，所以.不妨设，则，所以，，所以当时，取得最小值2.故214.将函数的图象向左平移（且）个单位长度后得到函数的图象，若，则的值为____.答案：解析：思路：求出函数的解析式，由题意可知，函数的图象关于点对称，由此可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.解答过程：将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，因为，则函数的图象关于点对称，所以，，则，且，则.故答案为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）.（1）当时，求线段的长度；（2）设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）在中求得，然后在中由勾股定理求得；（2）在中由正弦定理求得，然后在中由余弦定理求得，再利用三角函数恒等变换，结合正弦函数性质得最大值．（1），，则，又，∴，，，∴；（2），则，由正弦定理得，由余弦定理得，由三角形知，，当且仅当，即时，取得最大值3，工厂产生的噪音对居民的影响最小．16.已知，，且函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知，，求的值．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简，然后利用公式单调递增区间；（2）根据条件得到的值，然后可求的值，根据角的配凑可得，结合二倍角公式可求结果.（1），令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）因为，即，所以，又，所以，所以，所以．17.在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足．（1）求角的大小；（2）若的面积，内切圆的半径为，求；（3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦边角关系及三角形内角的性质求；（2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边；（3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值．（1）由，由正弦定理得，而，则，所以，，则；（2）由题可知，化简得，由余弦定理知，即，所以，解得.（3）因为的面积为，所以.因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以，即，所以的面积，当