2025-2026学年江西九江市武宁县尚美中学高一下册期中测试数学试题 含解析

/数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（）A. B.C. D.4.在长方体中，与成异面直线的侧棱的条数（）A.2 B.4 C.6 D.85.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积为（）A. B. C. D.6.下列4个命题中，两直线，平面：①若，则平行于经过的任何平面；②若直线平面，则与内任一直线平行；③若，，则；④，，，则．正确命题个数为A.0 B.1 C.2 D.37.2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受到台风影响，则和的值分别为（附：）（）A.858.5，60° B.858.5，30° C.717.60° D.717，30°8.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在定点，使得．其中正确的结论是（）A.① B.②③ C.①④ D.②④二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是（）A.B.若，则的最小值为1C.D.若是关于的方程的一个根，则10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，则满足条件的三角形有两个D.若是锐角三角形，则11.已知正四棱台中，，，高为2，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则以下正确的是（）A.平面平面B.点到平面的距离是点到平面的距离的C.若点为的中点，则三棱锥外接球的表面积为D.异面直线与所成角的正切值的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为__________.13.已知虚数的模为4，则的取值范围为________．14.已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）若，求；（2）若，①求；②已知，求.16.如图，在四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，，．（1）求四棱锥的表面积；（2）求三棱锥的体积．17.已知，.（1）求的值；（2）若且，求的值.18.如图，在三棱锥中，底面分别是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的大小．19.如图，在梯形中，．（1）令，，用，表示，，；（2）若，且，求，．

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：跟根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解.解答过程：由得，所以的虚部为.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：令得求的范围，由等价原则结合集合的包含关系，判断条件间的充分、必要关系.解答过程：令，则由得，解得或，∴或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：结合几何关系，利用向量的线性运算即可求解.解答过程：．故选：B．4.在长方体中，与成异面直线的侧棱的条数（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：C解析：思路：根据异面直线的定义判断即可；解答过程：解：依题意与成异面直线的侧棱有、、、、，共6条，故选：C方法提示：本题考查异面直线的判断，属于基础题.5.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意可知，圆柱的底面直径等于圆柱的高，然后由圆柱表面积为，可求出圆柱的底面半径，从而可求出圆柱的体积解答过程：由题意可知，圆柱的底面直径等于圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，因为圆柱表面积为，所以，解得，所以圆柱的高为4，所以圆柱的体积为，故选：C6.下列4个命题中，两直线，平面：①若，则平行于经过的任何平面；②若直线平面，则与内任一直线平行；③若，，则；④，，，则．正确命题个数为A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解.解答过程：①若，则平行于经过的任何平面,是错误的，因为a,b有可能在一个平面内；②若直线平面，则与内任一直线平行，是错误的，因为与内任一直线平行或异面；③若，，则，是错误的，因为a和b可能平行，相交或异面；④，，，则．是正确的；故选B方法提示：本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受到台风影响，则和的值分别为（附：）（）A.858.5，60° B.858.5，30° C.717.60° D.717，30°答案：A解析：思路：利用余弦定理可构造出关于和的方程组，解方程组求得和，进而得到结果.解答过程：根据题意，小时后台风中心距甲地千米，小时后台风中心距甲地千米，乙地有小时在台风范围内根据余弦定理得：，解得：故选：方法提示：本题考查解三角形的实际应用中的角度和距离问题的求解，涉及到方位角的定义、余弦定理的应用等知识，考查了学生对于分析和解决实际问题的能力.8.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在定点，使得．其中正确的结论是（）A.① B.②③ C.①④ D.②④答案：A解析：思路：根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论．解答过程：①当点与重合时，，，且，所以平面，因为对于任意给定的点，都有平面，所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确；②只有平面，即平面时，才能满足对于任意给定的点，存在点，使得，因为过点与平面垂直的直线只有一条，而，所以②错误；③当与重合时，在线段上找不到点，使，所以③错误；④只有当平面时，④才正确，所以对于任意给定的点不存在点，使，故④错误．故选：A．方法提示：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为线面垂直．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是（）A.B.若，则的最小值为1C.D.若是关于的方程的一个根，则答案：BC解析：思路：利用复数的几何意义，模长公式，复数相等，共轭复数等知识可求答案.解答过程：对于A，复数（虚部不为0）不能比较大小，所以A不正确；对于B，设，，由可得，设，则，当时，取到最小值1，B正确；对于C，设，，，，所以，即，C正确；对于D，，整理得，所以且，解得，，D不正确.故选：BC10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，则满足条件的三角形有两个D.若是锐角三角形，则答案：ACD解析：思路：由正弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化后结合余弦定理可以判断出B，对于选项C，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解，令，，可判断D，解答过程：对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确.对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确.对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确.对于选项D，锐角三角形中，，则，由于，且正弦函数在此区间单调递增，所以，故选项D正确.11.已知正四棱台中，，，高为2，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则以下正确的是（）A.平面平面B.点到平面的距离是点到平面的距离的C.若点为的中点，则三棱锥外接球的表面积为D.异面直线与所成角的正切值的最小值为答案：ACD解析：思路：对于A，根据线线平行证明线面平行，进而证明面面平行；对于B，利用面面平行和点到平面距离的概念进行判断即可；对于C，利用球的表面积公式，直接求解即可；对于D，根据异面直线所成角的概念，作出相应的辅助线，进而利用勾股定理和锐角三角函数即可求解.解答过程：选项A：设，，如图1所示.选项A：，，则四边形为平行四边形，，所以平面，又因为，所以平面，因为，所以平面平面，故正确；选项B：因为平面平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，又点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，故不正确；选项C：如图2所示，在梯形内过点作于点，所以面，取线段的中点，因为，所以为球心，，球的表面积为，故正确；选项D：如图3所示，因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以（或其补角）为与所成的角，所以，若最小，则最小，当点在点时，取最小值2，所以的最小值为，故正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为__________.答案：解析：思路：根据直观图的面积和原图形的面积比进行求解.解答过程：设直观图的面积为，原图形的面积为，则，故原三角形的面积为.故13.已知虚数的模为4，则的取值范围为________．答案.解析：思路：由模长公式易得，设，表示的几何意义为点到点的距离，结合图形求出距离的范围即可得解.解答过程：因为虚数的模为4，所以有，故点的轨迹是以圆心，半径为的圆，设，表示的几何意义为点到点的距离，由图可知，点到点的距离的最大值为，最小值为，又因为，所以点到点的距离的最大值为，最小值为，则的取值范围为.故答案为.方法提示：本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x和y关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14.已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______.答案：①.②.解析：思路：将不等式两边平方得，进而对于任意的恒成立，利用即可求解答题空1；再结合图形，利用几何意义及对称性即可求解答题空2.解答过程：由两边平方可得，即，∴对于任意的恒成立，∴，∴，即.∵，∴，∴.如图所示，设，，，，则，，∴.作点关于的对称点，连接，如图所示，则，∴当，，三点共线时，取得最小值.此时，，，，在中，由余弦定理可得，故.∴的最小值为.故；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）若，求；（2）若，①求；②已知，求.答案：（1）（2）①；②.解析：思路：（1）由可得，化简变形可求出；（2）①给两边平方化简变形可求得，②由可求出，令，则，求出，然后可求得.（1）因为，，所以，所以；（2）①因为，，所以，因为，所以，即，即；②因为，所以由得，因为，所以，所以，令，则，，，所以，，所以.16.如图，在四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，，．（1）求四棱锥的表面积；（2）求三棱锥的体积．答案：（1）（2）9解析：（1）解：因为，所以为等腰直角三角形，所以，因为四边形为正方形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面因为平面，所以，为直角三角形，同理可得，，为直角三角形且，所以，因为，所以，所以为等腰三角形，，底上的高为，所以，所以四棱锥的表面积为；（2）解：取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（1）知为等腰直角三角形，所以，设点到平面的距离为，因为为的中点，所以，又，所以．17.已知，.（1）求的值；（2）若且，求的值.答案：（1）；（2）．解析：思路