2025-2026学年甘肃省陇南市武都区武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学高三下册5月考前模拟考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）A.8 B.7 C.4 D.32.已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，是上一点，是坐标原点，则（）A. B.6 C. D.33.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（）A. B.C. D.4.已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（）A.0 B.10 C.15 D.306.在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，是侧面内任意一点(包含边界)，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A. B. C. D.7.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量()A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等8.已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（）A.函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4B.三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2C.数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4D.立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为610.已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则11.已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率B.双曲线的渐近线方程为C.若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________．13.现有5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有________种站法（用数字作答）.14.已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.16.如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.（1）求“等差椭圆”的离心率；（2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.17.如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.（1）若为棱的中点，求证；（2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.18.某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队．（1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？（2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？19.已知函数，直线与曲线相切.（1）求的值；（2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值；（3）若，求证：对任意，有.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）A.8 B.7 C.4 D.3答案：D解析：思路：求解分式不等式确定集合，再结合交集运算和真子集计算公式即可求解.解答过程：由解得，即，故,则集合的真子集的个数为.2.已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，是上一点，是坐标原点，则（）A. B.6 C. D.3答案：A解析：解答过程：由抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，得，则由是上一点，得，点，所以.3.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据奇偶性、单调性排除选项求解解答过程：由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数；对于B，是偶函数，不符合，排除B；对于C，的定义域不含，不符合，排除C；对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D；所以A正确.4.已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立.解答过程：由题意可得，且，则，且单调递增，则数列为递增数列，充分性成立；若数列为递增数列，，则或，必要性不成立；“且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（）A.0 B.10 C.15 D.30答案：C解析：思路：根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．解答过程：数列{an}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．故选C．方法提示：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．6.在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，是侧面内任意一点(包含边界)，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用几何法取直线与平面所成角的正弦值的临界状态可得答案.解答过程：如图，正三棱柱棱长均为2，取的中点为，则平面，当点是靠近点的四等分点时，，则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1；当点与重合时，此时最长，即，因为正三棱柱中，是棱的中点，所以点到平面的距离为，此时直线(即)与平面所成角的正弦值最小，为，所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.故选：D.7.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量()A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等答案：D解析：解答过程：正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等.故选：D.8.已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先得到，根据极大值点和对称中心的个数，数形结合得到，求出答案.解答过程：，时，，因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，故，解得.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（）A.函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4B.三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2C.数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4D.立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6答案：AC解析：思路：根据中位数、极差、平均数、众数、方差、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分，则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4，则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立，所以函数内容每一道题失分都不超过7分，故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确；对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8，满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件，由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误；对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为，则由平均数为3，方差为2.4可知，，从而，若，则，所以，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确；对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12，满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件，由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误；故选：AC10.已知为等比数列，其前项和为，公比为，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则答案：BCD解析：思路：利用等比数列的通项公式与前项和公式计算即可逐一判断.解答过程：对于A，为等比数列，，则，，故A错误；对于B，因为等比数列，则，又，因，故，即B正确；对于C，当时，因，，所以，故C正确；对于D，由，得，则，所以，又，即，又因为，即，因，则得，故D正确.11.已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率B.双曲线的渐近线方程为C.若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4D.答案：AD解析：思路：选项A，焦点三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项D，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论.选项C，特殊点求解的值计算判断C.解答过程：对于A：由双曲线定义得，平方得，在中由余弦定理得，，代入，整理得，即，的面积，得，即，又因为，所以，则离心率，A正确；对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为，得，B错误；对于选项D：，设，满足，设，，则，代入，化简得，设，同理得，且，故，即，D正确；对于选项C：设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，设，因为，则.又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线方程联立，可得或，则，.则，则的最小值不是4，C选项错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________．答案：解析：解答过程：由题意得．复数是纯虚数，，，的虚部为1．13.现有5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有________种站法（用数字作答）.答案：96解析：思路：由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排列即可.解答过程：先安排最左边的位置，有4种方法，然后剩余的4人在四个位置上排列，有种，故共有种.14.已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．答案：解析：思路：将代入，构造直线方程，运用点到直线的距离求解.解答过程：因为是的一个零点，，将看作直线上一个点的坐标，则原题就变为：求当时，点到原点的距离的平方的最小值，原点到直线的距离为，，令，，当时，,是增函数，在时，；故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得，进而得到即可；（2）利用余弦定理解出，进而得到，再根据面积公式计算即可．（1）解：，利用正弦定理：，整理得：，由于，所以，因为，所以；（2），，，即，解得（负值已舍去），则，.16.如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.（1）求“等差椭圆”的离心率；（2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.答案：（1）；（2）（i）或；（ii）证明见解析.解析：思路：（1）根据等差椭圆的定义，结合构造齐次式即可得解；（2）（ⅰ）设切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，利用判别式求解即可；（ⅱ）利用点差法求，利用韦达定理求出点坐标，然后可解.（1）设椭圆的半焦距为c，因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，又，所以，则，两边同时除以，得，解得（舍去）.所以“等差椭圆”的离心率为.（2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且，则由，得，则，，解得.故，.易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为.联立消去y得，则，得；①联立消去得，则，得，②联立①②，解得或故和都相切的直线方程为或.（ⅱ）证明：设l与相交于，，线段CD的中点，则，，两式相减，得，所以，即，由已知，，所以，即，则联立得，又，则，故，所以中点的坐标为，可得，所以，为N定值.方法提示：关键点睛：本题关键在于灵活利用点差法求出，降低计算量，再由中点坐标公式和韦达定理求点N坐标即可得解.17.如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.（1）若为棱的中点，求证；（2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析（2）存在，与点重合解析：思路：(1)利用线面垂直证明线线垂直；(2)解法1：设直线与平面所成角为，,到平面的距离是，利用求出，确定的位置.解法2：建立空间直角坐标系，利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值为时点的位置.（1）如图：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以.又为正三角形，所以，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥，取中点，中点，连接；侧面为等腰梯形，故；侧面底面，交线为，平面，因此平面；已知两底面距离为，即；由相似比，得；底面为正三角形，，则，；在中，；在中，；设点到平面（即平面）的距离，由，即，，，代入得：，解得；设点到平面的距离，由相似比，得；设，点到平面的距离，由相似性：，、得，其中；作于，则，，，由余弦定理：，，设直线与平面所成角为，则，代入得：，化简得，解得或（舍去），即点与重合,所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.解法2：设中点为，连接，则，又侧面底面，侧面底面侧面，所以底面，又底面，所以，又，所以两两垂直，故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为三棱台两底面间的距离为，即，又三角形为正三角形，且，则，设，则，设平面的法向量为，则，可取设直线与平面所成的角为，则，由，所以，故或（因为，故舍去），此时与点重合，所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.18.某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队．（1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？（2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的