2026年天津市高考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年天津市高考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,3}，集合B={−2,0,1}，则(∁UA)A.{−2} B.{−2,2} C.{0,1,2} D.{−2,0,1,2}2.设x∈R，则“x>0”是“xA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=−0.91，根据最小二乘法算得：y=−1.17x+1370.7，下列说法正确的是(

)A.y与x负相关 B.当x=10时，y一定为1359

C.当x=10时，y一定小于1359 D.两变量无线性关系4.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(

)

A.x+sinπx B.x−sinπx C.5.正方体ABCD−A1B1A.AC//A1C1 B.CC1⊥面ABC

C.6.已知函数f(x)=lnx，若a=f(20.3)，b=f(30.3)，c=f(3−0.5A.a<b<c B.b<a7.(x+1x)(x+4A.10 B.9 C.8 D.68.已知S2n−Sn=n，aA.68 B.56 C.−3 D.−49.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为A.4 B.83 C.85 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.化简(3+i)2=11.(x+2y)4展开式中x3y12.在▵ABC中，BC=4，AC=3，cosA=−14，则13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是

；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是

．14.已知a=a⋅b=1，b>1，记c=λa+μb.当a15.在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为yA、yB、yC、yD，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x①若P与抛物线焦点重合，则yA②y③|OM||ON|=2|OP|④y⑤S三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知f(x)=sin(2x+π(1)求最小正周期；(2)若x∈−π(3)若α∈(0,π2)，17.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A(1)求证：BD⊥面CEF(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；(3)求三棱锥A−CEF的体积．18.已知椭圆C:x2a2+y2(1)求C的标准方程；(2)斜率为−3的直线与圆x2+y2=b2相切，且该直线交椭圆于P(x1,y1)，19.已知等差数列an与等比数列bn满足：a1=2，b1=1(1)求数列an，b(2)记En=x∈Rx ≤n(i)求c3(ii)求m=13n20.已知f(x)=ex(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当x∈−1(3)求实数a的最大可能值，使得f(11)⋅f(答案解析1.【答案】D

【解析】解：由题可得(∁UA)=则(∁2.【答案】A

【解析】解：由x2+3x>0，解得：即x>0时，所以“x>0”是“3.【答案】A

【解析】解：因为相关系数r=−所以y与x负相关，所以A正确，D错误；当x=10时，y=−11.7+1370.7=1359，所以y约为所以B，C错误．4.【答案】C

【解析】解：由题意，由题意及图得，函数y=f(x)为奇函数，且当x=1时，f(x)<对A选项，当x=1时，1+sinπ=1+0=1>对B选项，当x=1时，1−sinπ=1−0=1>对D选项，当x=1时，1×sinπ=1×对C选项，在g(x)=−g(−x)=−g(1)=−1+sinπ=−5.【答案】D

【解析】解：由题意，在正方体ABCD−AA项，AA1//C∴四边形ACC∴AC//A1B项，由几何知识得，CC1⊥BC∩CD=C，BC⊂平面ABC，CD∴CC1⊥平面ABCC项，∵AC//A1C1，A1C∴AC//平面A由几何知识得，BC//A1∴四边形A1∴CD∵A1B⊂平面A1∴CD1//∵AC∩CD∴平面ACD1//平面AD项，假设平面ADD1⊥平面AC此时有A1∴A1D∵AC⊂平面AC∴A连接A1C1由几何知识得，AC//A1C在▵A1C∴三角形为等边三角形，∠C故D错误．6.【答案】A

【解析】解：由题意可得f(x)=因为函数y=x0.3在(0,+∞又因函数y=3x在R上单调递增，则所以c=f(3因1<20.3<3所以f(20.3)故a<7.【答案】B

【解析】【详解】因为x+1当且仅当x2=4x2所以x+1xx+8.【答案】C

【解析】解：由S2nS2−SS4−S因为a3=6，所以S6−S3=3S8−S4=49.【答案】D

【解析】解：如图，过点P作PH垂直于x轴，垂足为H，因为|FA|=|FP|，所以∠FPA=∠FAP=30又|PF|=|FA|=a+c，所以|HF|=1根据双曲线对称性，不妨设点P在第二象限，则P−将点P坐标代入双曲线方程得：−1整理得(a+3c)将b2=c两边同时除以a4，整理得(3e−4)(e+1)210.【答案】8+6i【解析】解：3+i11.【答案】8

【解析】解：根据二项式定理，(x+2y)4展开式的通项公式为当r=1时，T2=C4112.【答案】3【解析】解：在▵ABC中，cosA=−由正弦定理可得sinB=13.【答案】827

；

；

；

；；【解析】解：由题意，第一空：箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。设事件A1表示没取到黄球，事件A有放回抽取，每次取到非黄球的概率为PA三次都没取到黄球的概率：PA第二空：设事件B1表示至少取到一次红球，事件BPB∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：PBPA∴PB∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是376414.【答案】2；[1,3]

【解析】解：由题意，a=a⋅b=1第一空：当a+b−∴λ=μ=1，∴λ+μ=2．第二空：将c=λa+μb代入两边平方，得：(1−λ)a展开：(1−λ)2代入|a|=1，a(1−λ)2令x=1−λ，y=1−μ，s=x+y，则原式变为：x2配方得：x2由于t2>1，(即|s|≤1，解得sλ+μ=2−s∈因此，λ+μ的取值范围为：[1,15.【答案】②④

【解析】解：由题意A、B、C、D为抛物线y2=2x上四个点可知，设抛物线y2=2x上任意两点Ss当s+t≠0时，直线ST的斜率k=s−t则直线ST方程为y−t=2令y=0，则直线ST与x轴的交点R横坐标x特别地，当s+t=0时，s=−此时直线ST垂直于x轴，x0因此，直线ST与x轴的交点R横坐标x①由题意直线AB交x轴于点P，若P与抛物线焦点重合，则其横坐标为12故由∗式可得12=−yAy②由题意直线AB与直线CD交x轴于点P，则由∗式可得点P横坐标x0可得yAyB③由题意直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，则由∗式可得|OM|=x则|OM||ON|=y故|OM||ON|=|OP|2，故④由∗式可得yA当点A或C为原点时，则点P,M也重合于原点，此时yA当点A与C均不为原点时，即yA≠0，且则结合②结论可知，yA则有yA−y⑤由yAyB=yS▵=y如图，当|OM||ON|≠1时，S▵故答案为：②④16.【答案】解：(1)T=2(2)若x∈[−π6由正弦函数性质可知，当2x+π6=−π6，即x当2x+π6=π3，即x=所以函数f(x)的最大值为32，最小值为(3)若α∈(0,π2)则sin2α=2sinα则f(α)=sin

【解析】考查正弦型函数的周期、区间最值求解，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式计算指定点函数值。17.【答案】解：(1)如图，过点E作EG//CC1，交AD于点G，则有AG=3GD，连接CG，则C,C1,E,G四点共面，平面CEF由GDCD=CDBC=12所以∠GCD=∠DBC，则可得∠长方体ABCD−A1B1C因为BD⊂平面ABCD，所以C又CC1∩CG=C，CC1,CG(2)过点E作EG//CC1，交AD于点G，则有AG=3GD，连接CG，则C,F,E,G四点共面，平面CEF即平面CFEG．如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−xyz，则D(0,0,0),A(4,0,0),F(0,2,2),E(1,0,3),G(1,0,0)

EF=(−1,2,−1)，AE=(−3,0,3)，所以所以AE⊥取EF的中点P，则P12,1,GP⋅EF=所以异面直线AE与GP所成的角等于平面AEF与平面CEF的夹角．又cosAE所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为155．

【解析】略18.【答案】解：(1)由于椭圆的离心率为12，所以e=ca由于a2=b将x=b代入椭圆方程，得b2a2+y2b由题意，所截得的线段长为3，所以2×32所以椭圆的方程为x2(2)由(1)可知，b2=3，所以圆的方程为设直线l的方程为y=−3则圆心到直线l的距离d=|m|−椭圆上顶点A0,①当m=23时，直线l的方程为y=−化简得5x2−16x+12=0，解得x=2则当x=2时，y=0，当x=65时，y=43则k1=0−3②当m=−23时，直线l的方程为化简得5x2+16x+12=0，解得x当x=−2时，y=0，当x=−65时，y则k1=−4综上所述，k1k2

【解析】考查椭圆的几何性质、直线与圆相切的性质、直线与椭圆的位置关系，结合已知条件联立方程计算求解。19.【答案】解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为因为a1所以2+d=1+q2+3d=q2−1，即d=q−13d=q2−3，解得所以a(2)(i)由(1)知an为偶数，bn为奇数，所以数列an根据题意，集合En中的元素由数列an和bn小于3n的正偶数有3n−12个，由3k−1所以数列an中小于等于3n的项有3n−12个，b所以c3(ii)当3i−1≤m<3i时，b又m为偶数时，an中小于等于m的项有m2个，m为奇数时，an中小于等于m所以c所以a从a3i−1c3i−1又m为奇数时，am+1所以m==3所以m=1=0=0=2=2令Sn则3S①−②得−2=2⋅=−(2n−3)所以Sn所以m=1

【解析】考查等差数列、等比数列的通项公式求解，集合元素计数，分段数列求和及错位相减法的应用。20.【答案】解：(1)由于f′所以f(0)=1，f′则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为：y−1=1即x−3y+3=0；(2)令g(x)=ex−当x≥0时，ex≥1，−2所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，则所以g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，即ex当−13≤x所以m′(x)=ex+23所以m′(x)=e所以m′因为33>23⋅e，所以1所以m′则g′(x)=e则g′(x)=ex−所以g(x)在−1所以g(x)>g(0)=1−0−0−1=0，即g(x)>故ex−2综上，ex−2(3)①当a>1构造函数h(x)=则h令s(x)=所以s由于s′(x)=e所以s′(x)≤e+2故h′(x)<h′则h(x)<h(0)=0在(0,1]上恒成立，即ex令φ(x)=x−ln(x+1),(x≥0)，所以所以φ(x)在[0,+∞)上单调递增，则φ(x)≥φ(0)=0，当