2025-2026学年湖南邵阳市邵阳县第二高级中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.“或为有理数”是“为有理数”的（）A.既不充分也不必要条件 B.充分必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件3.（）A.大于 B.小于 C.相等 D.不确定4.函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（）A.奇函数､ B.偶函数C.奇函数､6 D.既不是奇函数也不是偶函数､65.已知，求的值（）A. B. C. D.6.的展开式中的系数是（）A.18 B.-25 C.30 D.07.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（）A.24 B.32 C.30 D.288.甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（）A. B. C. D.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知等差数列的前项和为，则以下正确的是（）A. B.C. D.最大值为10.设(1−2xA.aB.C.D.各项系数之和为111.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（）A.B.C.小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为D.当时，三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若向量满足，则的最小值为__________.13.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________.14.已知双曲线x2m−y23=1四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知、、分别为三个内角、、的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求、16.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和．17.如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面.（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.18.某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数；（2）现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值.19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.

数学一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：解集合中的不等式：，所以，又由题可知集合，因此.2.“或为有理数”是“为有理数”的（）A.既不充分也不必要条件 B.充分必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件答案：A解析：思路：通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果.解答过程：充分性：举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立.必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立.因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件.

3.（）A.大于 B.小于 C.相等 D.不确定答案：A解析：解答过程：因为在上单调递减，所以.4.函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（）A.奇函数､ B.偶函数C.奇函数､6 D.既不是奇函数也不是偶函数､6答案：D解析：解答过程：因为不关于原点对称，所以在区间上既不是奇函数也不是偶函数，因为在上单调递减，在上单调递增，所以其最小值为.5.已知，求的值（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，，故.6.的展开式中的系数是（）A.18 B.-25 C.30 D.0答案：D解析：思路：利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.解答过程：的展开式中，的系数分别为，−C53，所以的展开式中的系数为C52−C7.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（）A.24 B.32 C.30 D.28答案：B解析：解答过程：把甲乙两个人看成一个人，则去法共有种；8.甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据全概率公式及概率的乘法公式可得.解答过程：记“选到甲箱”，“摸到红球”.则PC从甲箱摸到红球的概率为P(D|根据全概率公式，摸到红球的概率为P(二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知等差数列的前项和为，则以下正确的是（）A. B.C. D.最大值为答案：AD解析：思路：先由前项和公式解得等差数列的基本量，进而可得通项公式及前项和公式，因此可判断各个选项.解答过程：因为设等差数列的公差为，且，由等差数列的前项和公式，4a1+4×32所以，所以C错误；又因为，所以当或时，有最大值，故D正确.10.设，则以下正确的是（）A.B.C.D.各项系数之和为1答案：ABD解析：思路：通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误.解答过程：对于A，令，可得，，∴a0+对于B：因为，取，因此，故B正确；对于C：令，可得，结合B选项，a1对于D：令，可得，故D正确.11.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（）A.B.C.小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为D.当时，答案：BC解析：思路：确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D.解答过程：对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，则，则，，A错误，B正确；对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，设，则，令，则（舍去）或或，当或时，，当时，，故时，取得最大值，即，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，此时，C正确；对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，D错误，故选：BC方法提示：难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题.三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若向量满足，则的最小值为__________.答案：解析：思路：直接由向量三角不等式可得最小值.解答过程：因为对任意的向量，有：a→−b→所以a→+b→≥所以的最小值为.13.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________.答案：解析：解答过程：由题意得，题中八面体由正四棱锥和正四棱锥底面贴合而成，正方形为公共底面，边长为.取正方形的中心，记为.连接和，则，，且,,三点共线，线段为八面体的高，连接..则是正方形的一条对角线.因为正方形边长为，由勾股定理得对角线.所以.八面体的每一个面都是正三角形，因此侧面是正三角形，侧棱.在中，，，，由勾股定理：EO=由对称性，，所以八面体的高；底面正方形面积.八面体体积等于两个正四棱锥体积之和：V=故八面体的体积为.14.已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围.解答过程：联立与，消去，得.双曲线与直线相交于互异两点，等价于m>0,3−解不等式m>0m≠312m因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以.当时，；当时，.所以正数的取值范围是.四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知、、分别为三个内角、、的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求、答案：（1）（2）解析：思路：（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．（1）根据正弦定理，变为，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，则．（2）由，，得．由余弦定理，得，则，所以．则．16.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得.（1）设等差数列的公差为，由，可得，可得①，由可得，整理可得②，联立①②可得，，所以，.（2）因为，则，所以，，，上式下式得，因此，.17.如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面.（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明；（2）取的中点，连接.证明是平面与平面所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求.（1）在等边中，因为为的中点，所以，在正方形中，，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为,平面，所以平面.（2）取的中点，连接.则，又正方形中，，所以,在等边中，因为为的中点，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角.设，则，所以.18.某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数；（2）现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值.答案：（1）（人），平均数，中位数为（2）均值解析：思路：（1）直接根据频率分布直方图计算样本的平均数及中位数可得；（2）根据随机变量服从超几何分布，从而可得分布列及期望.（1）由图可知，健康上网天数未超过天的频率为.所以健康上网的天数超过天的人数是（人）.频率分布直方图中的平均数设频率分布直方图中的中位数为，因为前三组的频率和为，前四组的频率和为，所以中位数在第四组中，得：，整理得：（2）因为名学生中健康上网天数超过天的人数有人，随机变量的所有可能的取值为，且服从超几何分布，所以有：，，，所以Y的分布列为所以的均值.19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.答案：（1）见解析；（2）.解析：解答过程：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（