湖北省黄冈市2025-2026学年高二数学上学期11月月考试卷实验班

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.在正方体中，为的中点，则

ABCDA1B1C1D1PAA1PC1()

1111

A．AAABADB．AAABADC．AAABADD．AAABAD

21212121

1

1．【解答】解：PCPAABADAAABAD.故选：B

11111121

2.若方程ax2by2bx4ya0表示一个圆，则b的取值范围为()

434443434343

A．(0,)B．(,0)(0,)C．(,)D．(,0)(0,)

3333333

4

2．【解答】解：若方程ax2by2bx4ya0表示一个圆，则ab0，方程可化为x2y2xy10，

b

443434343

所以1()240，解得b，且b不等于0，所以b0或0b，则b的取值

b3333

4343

范围为(，0)(0，)．故选：D．

33

1

3．在正方体ABCDABCD中，E，F分别为DD，BD的中点，点G在CD上，且CGCD，则EF

111113

与所成角的余弦值为（）．

C1G

A．195B．30C．15D．230

15151515

1

3.【解答】解：在正方体ABCDABCD中，E，F分别为DD，BD的中点，点G在CD上，且CGCD，

111113

设正方体的棱长为6，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴

ABCDA1B1C1D1AAB,AD,AA1xyz

的正方向建立空间直角坐标系．则，0，，，6，，，6，，，6，，

B(60)D(00)C1(66)D1(06)

1

E，F分别为DD，BD的中点，CGCD，E(0，6，3)，

13

，3，，，6，，．

F(30)G(40)EF(3,3,3),C1G(2,0,6)

EFCG61830

，1，

cosEFC1G

|EF||C1G|3321015

30

EF与CG所成角的余弦值为．故答案为：B．

115

4．已知点是直线和的交点，点是圆22上

Pl1:mxy5m10l2:xmy5m10QC:(x1)y1

的动点，则|PQ|的最大值是()

A．822B．723C．623D．622

x50x5

4.【解答】解：因为直线，即，令，解得，

l1:mxny5mn0m(x5)n(y1)0

y10y1

可知直线过定点，同理可知：直线过定点，又因为，可知，

l1A(5,1)l2B(1,5)mn(n)m0l1l2

1

所以直线l与直线l的交点P的轨迹是以AB的中点M(3,3)为圆心，半径r|AB|22的圆，因为圆

122

C的圆心C(1,0)，半径R1，所以|PQ的最大值是|MC|rR(31)232221622．

故选：D．

5．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空

ABCDA1B1C1D1DD

间直角坐标系，若，则的坐标是（）

DB1(4,3,2)A1

A．(0，3，2)B．(0，4，2)C．(4，0，2)D．(2，3，4)

5．【解答】解：以长方体的顶点为坐标原点，

ABCDA1B1C1D1D

过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

，3，，即，，，0，．

B1(42)AD4DD12A1(42)

故选：C．

6.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，

432

A，B，C三种部件能正常工作的概率分别为，，，

543

各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作

的概率为()

A．19B．49C．59D．149

2550100150

432

6.【解答】解：AB这条线不能正常工作的概率为1；易知A，B，C三个元件不能正

545

11121111

常工作的概率分别为：，，，所以整个电子元件不能正常工作的概率为：，

5435453150

1149

故该元件能正常工作的概率为1．故选：D．

150150

7.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触

的面上的数字，得到样本空间为{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A“得到的点数为偶数”，

记事件B“得到的点数不大于4”，记事件C“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是()

5

A．事件B与C互斥，A与C相互对立B．P(AB)

8

C．P(ABC)P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立

D．P(ABC)P（A）P（B）P（C）且A，B，C两两相互独立

7．【解答】解：由题意可知，事件A所含的样本点为：{2，4，6，8}，事件B所含的样本点为：{1，2，

3，4}，事件C所含的样本点为：{2，3，5，7}，对于选项A，因为事件B，C都包含样本点2，3，

所以B，C不互斥，故选项A错误；对于选项B，因为AB所含的样本点为：{1，2，3，4，6，8}，

63

所以P(AB)，故选项B错误；对于选项C，D，因为ABC所含的样本点为：{2}，所以

84

11

P(ABC)，又P(A)P(B)P(C)，所以P(ABC)P（A）P（B）P（C），又事件AC所含的样

82

1111

本点为：{2}，所以P(AC)，又P(A)P(C)，所以P(AC)P（A）P（C），

8224

所以事件A，C不独立，即A，B，C两两独立错误，故选项C正确，选项D错误．故选：C．

8．如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，M是正方形BBCC的中心，P是△ACD内（包

括边界）的动点，满足PMPD，则点P的轨迹长度是()

1114

A．B．C．11D．14

22

8.【解答】解：在棱长为2的正方体ABCDABCD中，M是正方形BBCC的中心，P是△ACD内

（包括边界）的动点，满足PMPD，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，2)，C(0，

2，2)，M(1，2，1)，DA(2,0,2)，DC(0,2,2)，

设平面的法向量为，

DACn(x0,y0,z0)

2x2z0

则00，令，则，，

x01y01z01

2y02z00

故平面DAC的法向量为n(1,1,1)，设P(x，y，z)，则DP(x,y,z)，因为nDP，所以xyz0，

xyz0

又PMPD，所以x2y2z2(x1)2(y2)2(z1)2，整理得x2yz3，联立方程，

x2yz3

32x0x2

y

332x3333

则，可得02，解得0x，当x0时，P(0，1，1)，当x时，P(,0,)，

x33212222

z

3x3

02

3

记MD的中垂面为，又P是△ACD内（包括边界）的动点，

因为在空间中满足PMPD，所以点P的轨迹是平面与三角形ACD的公共部分，

9114

即点P的轨迹为线段PP，则|PP|1．故选：B．

1212442

（注：本题可以转为平面直角坐标系）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知圆C:(x1)2(y3)24，点P为直线l:xy0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，

切点分别为A，B，则下列说法正确的是

A．若Q为圆C上任意一点，则|PQ|的最小值为222B．四边形PACB的面积的最小值为4

C．当点P在原点处时，直线AB的方程为x3y40D．直线AB过定点(0,2)

9.【解答】解：已知圆C:(x1)2(y3)24的圆心为(1,3)，半径r2，

|13|

圆心C到直线l的距离为d22．

1212

又点P为直线l:xy0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，

对于，故正确；

A,|PQ|mindr222A

1

对于B，四边形PACB的面积S|PA||AC|2|PC|2|AC|2|AC||PC|2222

2

2，要求四边形的面积的最小值，只需最小，又，所以

2|PC|4PACB|PC||PC|mind22

2，故正确；

Smin2(22)44B

13

对于C，当点P在原点时，|PC|10，PC的中点坐标为(,)所以以PC为直径的圆的方程为

22

1310

(x)2(y)2()2，即x2xy23y0，把x2xy23y0，与(x1)2(y3)24相减，

222

可得直线AB的方程为x3y60，故C错误；

对于D，因为点P为直线l:xy0上一动点，所以可设P(t,t)，

1t3t

|PC|(1t)2(3t)22t24t10，PC的中点坐标为(,)

22

1t3t2t24t10

所以以PC为直径的圆的方程为(x)2(y)2()2，

222

即x2(t1)xy2(t3)y2t0，与(x1)2(y3)24相减，

xy20,

可得直线AB的方程为(t1)x(t3)y62t0，即t(xy2)(x3y6)0，由解

x3y60,

x0

得，所以直线AB过定点(0,2)，故D正确．故选：ABD．

y2

10．如图，在棱长为2的正方体OABCOABC中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF，

下列说法正确的是（）

A．若E是棱AB的中点，则平面AEF截该正方体所成的截面是五边形

B．当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，则EF的长度为2

C．AFCE

D．当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，二面角BEFB正切值的是22

10.【解答】解：对于A选项，如图，连接AC，若E是棱AB的中点，

因此F是棱BC的中点，根据正方体的性质可知AC//FE，所

以A，C，F，E四点共面，即平面AEF截该正方体所成的

截面是四边形ACFE，又AC2EF，所以四边形ACFE为等腰梯形，故A选项错误；

1

对于B选项，如图，以C为原点建立空间直角坐标系，设AEBFx．VSBB，若三棱

BBEF3BEF

锥的体积取得最大值，因此取得最大值，

BBEFSBEF

1112xx1

SBEBF(2x)x()2，当且仅

BEF22222

当2xx时，即x1时取等号，即E，F分别是棱AB，

BC的中点，因此A(2，2，2)，C(0，0，2)，F(0，1，0)，

E(1，2，0)，因此EA(1,0,2)，EF(1,1,0)，设点A到直线EF的距离为d，在△AEF中，

|EA|1225，|EF|112，故B选项正确；

对于C选项，如图，设AEBFx，因此A(2，2，2)，

F(0，2x，0)，C(0，0，2)，E(2x，2，0)，

所以AF(2,x,2)，CE(2x,2,2)，由

AFCE42x2x40，所以AFCE，故C选项正确；对于D选项，由B选项可知E,F均为

所在边的中点，易得角的正切值为2=22.所以D对；故答案为：BCD.

22

4

11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各

任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红

球分别记为事件，，，则（）

AnBnCn

58255

A．P(B)B．P(AC)C．P(AB)D．P(AB)

191324312271281

11.【解答】解：因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白．

对于项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可，

AP(B1)

11225

则P(B)，故A项正确；

133339

对于项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且

BP(A1C3)

122218

3次操作后甲口袋中恰有2个红球，所以P(AC)1，故B项正确；

1333333243

对于项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，

CP(A1B2)

1224

所以P(AB)1，故C错误；

1233327

122494249455

对于D项，由P(A)，P(B)，P(AB)，所以P(AB)P(A)P(B)P(AB)，

133928112271212129812781

故D项正确．故选：ABD．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线l:yx与C:(x3)2y29相交于点M，N，则|MN|．

|0(3)|3

12.【解答】解：圆心C(3,0)到l:yx的距离为d，

12122

9

|MN|29d22932．故答案为：32．

2

13．已知，，均为圆柱表面上的动点，直线经过圆柱的中心，，圆

MEFO1O2EFO1O2O|O1O2|24

柱的底面圆的半径为5，则的最大值为．

O1O2MEMF

22

13．【解答】解：MEMF(MOOE)(MOOF)(MOOE)(MOOE)MOOE，

为圆柱的中心，且，，均为圆柱表面上的动点，

OO1O2MEFO1O2

|MO|252122169，当且仅当M为底面圆周上时，等号成立，

且|OE|25225，当且仅当M为底面圆周上时，等号成立，

22

MEMFMOOE16925144，MEMF的最大值为144．故答案为：144．

14．将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四

行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是．

14.【解答】解：是从上往下数第行的最大数，设的概率为．

xkkx1x2x5p5

5254

最大数在第n行的概率为：．在任意排好第5行后余下的个数排在前4行符合要求的排列的

1562

222225

概率为：p，pp，以此类推，pp．

456456531654321

22

当n5时，p．故答案为：．

54545

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（13分）已知圆C:(x2)2(y2)24，直线l过点P(2,4)．

（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

（2）若l与圆C相切，求l的方程；

（3）若l与圆C相交于A，B两点，且△ABC（其中C为圆C的圆心）为直角三角形，求l的方程．

15.【解答】解：（1）若l经过原点，设l方程为ykx，由42k得k2，则l的方程为2xy0．

xy24

若l不经过原点，则可设l的方程为1(a0)，因为l过点P(2,4)，所以1，解得a6，

aaaa

所以l的方程为xy60．故l的方程为2xy0或xy60．

（2）由圆C:(x2)2(y2)24，可得圆心C(2,2)，半径为2．因为点P在圆C上，PCx轴，所以

直线l的方程为y4．

（3）因为△ABC为直角三角形，且|AC||BC|2，所以|AB|22，则圆心C到l的距离为2；

由题意易得l的斜率一定存在，所以可设l的方程为y4k(x2)，即kxy2k40．

|24|

由2，解得k1或1，故l的方程为xy20或xy60．

k21

16.（15分）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有

平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为1，，，

2

��

<，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是3，甲得6分的概率是4

5025

(�1)求�，的值；

(2)甲、�乙�两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由．

1362

(1p)(1q)pqp

250655

16.【解答】解：（1）由题意可得，则pq，又pq，故，解得；

14584

pqpqq

225255

（2）由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率

124124124111143

P(1)(1)(1)，所以甲得4分或6分的概率P，

12552552552525255

232

故乙得4分或6分的概率为，因为，所以甲获得最终胜利的可能性大．

555

17．（15分）如图，在三棱柱中，平面，，

ABCA1B1C1ACAA1B1BABAA1AC2ABB160

（1）证明：平面．

AB1A1BC1

（2）求平面与平面的夹角．

A1BC1A1ACC1

17.【解答】（1）证明：因为平面，平面，所以，又，

ACAA1B1BAB1AA1B1BACAB1AC//A1C1

所以，由棱柱的性质知，四边形为平行四边形，因为，所以四边形为

AB1A1C1ABB1A1ABAA1ABB1A1

菱形，所以ABAB，又ABACA，AB、AC平面ABC，所以AB平面ABC．

11111111111111

（2）解：取的中点，连接，，取的中点，连接，则，因为平

ABOB1OA1CBCMOMOM//ACAC

面，所以平面，又、平面，所以，，

AA1B1BOMAA1B1BB1OABAA1B1BOMB1OOMAB

由（1）知四边形为菱形，因为，

ABB1A1ABB160

所以△为等边三角形，所以，又

BB1AB1OBA

BAOMA，BA、OM平面ABC，所以BO

1

平面，故以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间

ABCOOBOMOB1xyz

直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，，所以，

A(10)B(10)C(10)B1(0,0,3)A1(2,0,3)AA1(1,0,3)

nAAx3z0,

，设平面的法向量为，则1令，得

A1C(1,2,3)A1ACC1n(x,y,z)x3

nA1Cx2y3z0,

，由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角

n(3,0,1)A1BC1AB1(1,0,3)A1BC1A1ACC1

|ABn||33|3

为，[0,]，则cos|cosAB，n|1，所以，故平面ABC与平

111

2|AB1||n|2226

面AACC的夹角为．

116

18．（17分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC，BC2AD2，

P

AB3，E为CD的中点，PBAE．

E

��

BC

（1）证明：平面PBD平面ABCD；

（2）若PBPD，PC与平面ABCD所成的角为，试问在

4

侧面PCD内是否存在一点N，使得BN平面PCD？若存在，

求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．

18.【解答】解：（1）证明：由四边形ABCD是直角梯形，AB3,BC2AD2,ABBC，

可得DC2,BCD，从而BCD是等边三角形，BD2，BD平分ADC．

3

E为CD的中点，DEAD1，BDAE，又PBAE，PBBDB，AE平面PBD，

又AE平面ABCD，平面PBD平面ABCD．

（2）存在．在平面PBD内作POBD于O，连接OC，

又平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，

PO平面ABCD，PCO为PC与平面ABCD所成的角，

则PCO，易得OPOC3,PBPD,POBD，

4

所以O为BD的中点，OCBD．以OB，OC，OP所在

的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),C(0,3,0),D(1,0,0),P(0,0,3)，

假设在侧面PCD内存在点N，使得BN平面PCD成立，

BNPC0

设PNPDPC，(，0，1)，易得N(,3,3(1))，由得

BNPD0

121232342323

,，满足题意，所以N(，，)，PD(1,0,3)，DN(,,)，

55555555

PD132342232232210

n(，0，)，|DNn|||1，||DN|()()()，

|PD|22555555

21015

所以点N到直线PD的距离为d()21．

55

19．（17分）若圆与圆相交于，两点，，且为线段的中点，则称是

C1C2PQ|PQ|m(m0)C2PQC2C1

的等距共轭圆．已知点，均在圆上，圆心在直线上．

mA(3,5)B(6,4)C1C1x4y30

（1）求圆的标准方程．

C1

（2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为．