2026版《金版教程》高考一轮复习数学第三章 考点测试19 平面向量的线性运算及坐标表示

高考总复习首选用卷数学第三章平面向量、复数考点测试19平面向量的线性运算及坐标表示基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★对点平面向量的线性运算利用向量共线求参数的值利用平面向量基本定理表示向量利用向量共线求参数的值平面向量的线性运算判断共线利用向量共线求参数的值；求向量的模根据平面向量基本定理求参数的值平面向量的线性运算题号101112131415难度★★★★★★★★对点向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用向量模的三角不等式根据平面向量基本定理求代数式的值利用向量共线求参数的值向量在平面几何中的应用题号1617181920212223难度★★★★★★★★★★★★★★★★对点平面向量基本定理；充分、必要条件利用向量共线求代数式的值；基本不等式向量加减法的几何意义向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用判断共线；求向量的模；等比数列向量在平面几何中的应用利用向量共线求参数的值高考概览本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题、填空题，中、低等难度考点研读1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义4．了解向量线性运算的性质及其几何意义5．理解平面向量基本定理及其意义6．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示7．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算8．能用坐标表示平面向量共线的条件1．如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))答案：D解析：由题图知eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).2．(2025·河北高三大数据应用调研联合测评)已知向量a＝(4，2)，b＝(1，x)，且(a－2b)∥b，则x＝()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案：C解析：因为a－2b＝(2，2－2x)，又因为(a－2b)∥b，所以2－2x＝2x，所以x＝eq\f(1,2).故选C.3．(2025·安徽A10联盟高三第一次摸底考试)在△ABC中，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案：C解析：如图所示，由题意，得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选C.4．已知向量e1，e2是平面内的一个基底，若向量a＝2e1＋3e2与b＝λe1－2e2共线，则λ的值为()A．1 B．－1C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)答案：D解析：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即2e1＋3e2＝μ(λe1－2e2)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝μλ，,3＝－2μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝－\f(3,2)，,λ＝－\f(4,3).))5．(2025·北京朝阳阶段考试)已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))－2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)C．2 D．3答案：D解析：∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))－2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))－2eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴3|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝3.故选D.6．(2024·广东深圳高三三模)已知向量e1，e2是平面内两个不共线的单位向量，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3e1＋2e2，eq\o(DA,\s\up6(→))＝3e1－6e2，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线答案：C解析：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3e1＋2e2，所以不存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，故A，B，C三点不共线，故A错误；因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq\o(DA,\s\up6(→))＝3e1－6e2，所以不存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DA,\s\up6(→))，故A，B，D三点不共线，故B错误；因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2e1＋4e2，eq\o(DA,\s\up6(→))＝3e1－6e2，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))，故A，C，D三点共线，故C正确；因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3e1＋2e2，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1－4e2，所以不存在实数λ，使得eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C.7．已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m)，若a与b方向相反，则|a－eq\r(3)b|＝()A．54 B．48C．3eq\r(6) D．4eq\r(3)答案：D解析：因为向量a＝(m，3)，b＝(1，m)，a与b方向相反，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b＝4m<0，,m2－3＝0，))解得m＝－eq\r(3).所以a－eq\r(3)b＝(－eq\r(3)，3)－(eq\r(3)，－3)＝(－2eq\r(3)，6)，|a－eq\r(3)b|＝eq\r(12＋36)＝4eq\r(3).故选D.8．在∠A＝90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，则λ＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1答案：A解析：以A为原点，建立平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，F(1，1)，E(1，0)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－2)，λeq\o(AF,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝－2，,λ－2μ＝2，))所以λ＝－eq\f(2,3).故选A.9．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是()A.eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))B．|eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))|＝0C.eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0答案：ABD解析：由题意eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，故A正确；由题意知eq\f(CO,AO)＝eq\f(CD,AB)＝eq\f(1,2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故|eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))|＝0，故B正确；由图可知，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，故C错误；由向量的加法法则知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，故D正确．故选ABD.10．(多选)已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为(0，3)，(－1，0)，(3，0)，则第四个顶点坐标可以是()A．(－4，3) B．(－5，3)C．(4，3) D．(2，－3)答案：ACD解析：分别设点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，第四个顶点为D(x，y)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即(－1，－3)＝(3－x，－y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＝－1，,－y＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3，))即D(4，3)；若eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，即(3，－3)＝(x＋1，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝3，,y＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))即D(2，－3)；若eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，即(3，－3)＝(－x－1，－y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－1＝3，,－y＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))即D(－4，3)．故选ACD.11．(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，则()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC的面积为2eq\r(3)D．△ABC的面积为eq\r(3)答案：AC解析：由|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，得△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以PD＝eq\f(1,2)AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝1可得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).12．(2024·上海徐汇区模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|－|a－b|的取值范围是________．答案：[－2，2]解析：|a|＝1，|b|＝2⇒1＝|b|－|a|≤|a±b|≤|a|＋|b|＝3.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤|a＋b|≤3，,－3≤－|a－b|≤－1))⇒－2≤|a＋b|－|a－b|≤2，a，b反向共线，左侧等号成立，a，b同向共线，右侧等号成立，∴|a＋b|－|a－b|的取值范围是[－2，2]．13．(2024·湖南邵阳三模)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足eq\o(DC,\s\up6(→))＝4eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，则λ－μ＝________．答案：－eq\f(1,4)解析：因为eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(BD,\s\up6(→))，又因为eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,8)，μ＝eq\f(3,8)，λ－μ＝eq\f(1,8)－eq\f(3,8)＝－eq\f(1,4).14．在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0(λ≠0)，则λ＝________．答案：5解析：∵M是AB的中点，∴2eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)).同理可得2eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(2eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋4(2eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(λ－5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OM,\s\up6(→))＋8eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，∵M，O，N三点共线，∴可设eq\o(OM,\s\up6(→))＝teq\o(ON,\s\up6(→))，∴(λ－5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(2t＋8)eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，∵eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－5＝0，,2t＋8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,t＝－4.))15．(2024·河南焦作高三一模)已知△ABC所在平面内一点D满足eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积是△ABD面积的()A．5倍 B．4倍C．3倍 D．2倍答案：A解析：设AB的中点为M，因为eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝2(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DM,\s\up6(→))，所以D是线段CM的五等分点，所以eq\f(S△ABC,S△ABD)＝eq\f(CM,DM)＝5，所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍．故选A.16．(2024·湖南衡阳三模)在△ABC中，点M在平面ABC内，且满足eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，条件P：eq\o(AM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，条件Q：2μ－2λ＝1，则P是Q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，因为eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝eq\f(3,4)，所以2μ－2λ＝1，所以P是Q的充分条件；若2μ－2λ＝1，令λ＝1得μ＝eq\f(3,2)，代入eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，得eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，由三点共线的充要条件可知点M∉AC，此时eq\o(AM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))不成立，所以P不是Q的必要条件．故选A.17．设e1，e2是平面内两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1)e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝be1－2e2(a＞0，b＞0)，若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是()A．2 B．4C．6 D．8答案：B解析：因为A，B，C三点共线，所以可设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1)e1＋e2＝λ(be1－2e2)，因为e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝λb，,1＝－2λ，))解得λ＝－eq\f(1,2)，a－1＝－eq\f(1,2)b，即a＋eq\f(1,2)b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝1＋1＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝2＋2＝4，当且仅当eq\f(b,2a)＝eq\f(2a,b)，即a＝eq\f(1,2)，b＝1时取等号，故eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为4.故选B.18．(多选)(2024·安徽安庆、池州、铜陵联考)已知P(2，0)，A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，A，B两点不重合，则()A．|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为2B．|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为2C．若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(3)D．若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为4答案：AD解析：由已知A，B为单位圆上任意两点，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|≤2，故A正确；如图1，设D为AB的中点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，由于A，B两点不重合，所以|eq\o(PD,\s\up6(→))|∈(1，3)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|∈(2，6)，故B错误；当P，A，B三点共线时，|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|≤2，故C错误；当P，A，B三点共线时，若A，B的坐标分别为(－1，0)与(1，0)或(1，0)与(－1，0)，则O，D两点重合，此时|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝4，如图2，若A，B的坐标不同时为(－1，0)与(1，0)，则OD⊥PB，则|eq\o(PD,\s\up6(→))|<|eq\o(OP,\s\up6(→))|，此时|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|<4，综上，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|≤4，故D正确．故选AD.19．(2024·湖南长沙一模)已知O为坐标原点，F1(－1，0)，F2(1，0)，Q(0，3)，向量m＝(1，－2)，动点P满足eq\o(PQ,\s\up6(→))∥m，写出一个a，使得有且只有一个点P同时满足||PF1|－|PF2||＝2a(0<a<1)，则a＝________．答案：eq\f(\r(5),5)解析：由||PF1|－|PF2||＝2a(0<a<1)，且|F1F2|＝2>2a，知点P在以F1，F2为焦点的双曲线上，c＝1，b2＝1－a2.设P(x，y)，因为Q(0，3)，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－x，3－y)，m＝(1，－2)，由于eq\o(PQ,\s\up6(→))∥m，则y＝－2x＋3.若直线y＝－2x＋3与双曲线的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．所以－eq\f(\r(1－a2),a)＝－2，解得a＝eq\f(\r(5),5).20．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最大值为________．答案：eq\f(2\r(13),3)解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，得A(0，0)，B(3，0)，C(1，eq\r(3))，设P(x，y)(0≤x≤3，0≤y≤eq\r(3))，因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以(x，y)＝(2＋λ，eq\r(3)λ)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋λ，,y＝\r(3)λ，))所以y＝eq\r(3)(x－2)，又直线BC的方程为y＝－eq\f(\r(3),2)(x－3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－2），,y＝－\f(\r(3),2)（x－3），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3)，,y＝\f(\r(3),3)，))此时|eq\o(AP,\s\up6(→))|最大，所以|eq\o(AP,\s\up6(→))|max＝eq\r(\f(49,9)＋\f(1,3))＝eq\f(2\r(13),3).21．(多选)(2025·江苏泰州高三多校联考)平面内有一点O，小明从点A1出发，依次到达点A2，A3，…，eq\o(AiAi＋1,\s\up6())等于eq\o(OAi,\s\up6(→))逆时针旋转60°后得到的向量，i＝1，2，3，….|eq\o(OA1,\s\up6(→))|＝1.下列说法正确的是()A.eq\o(OA3,\s\up6(→))＝3eq\o(A1A2,\s\up6(→))B．|eq\o(OAn,\s\up6(→))|＝3eq\s\up6(\f(n,2))C.eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))|eq\o(AiAi＋1,\s\up6())|＝eq\f(1＋\r(3),2)(3eq\s\up6(\f(n,2))－1)D．eq\o(OAi＋6k,\s\up6())与eq\o(OAi,\s\up6(→))共线，k∈N答案：ACD解析：对于A，如图所示，OA3＝eq\r(3)OA2＝eq\r(3)×eq\r(3)OA1＝3OA1＝3A1A2，且OA3∥A1A2，因此eq\o(OA3,\s\up6(→))＝3eq\o(A1A2,\s\up6(→))，A正确；对于B，|eq\o(OAn,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(OAn－1,\s\up6())|，又|eq\o(OA1,\s\up6(→))|＝1，因此{|eq\o(OAn