2025-2026学年上海市普陀区同济大学第二附属中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市普陀区同济大学第二附属中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设是虚数单位，，则．2．函数是函数（填“奇”或“偶”．3．函数，其中的导数．4．若向量满足，且与的夹角为，则．5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．6．已知平面向量，若与共线，则的值为．7．若，则．8．已知，且，则的值是．9．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为．10．已知，则．11．若复数满足，则的最小值是．12．如图，矩形中，，，，分别为边，上的动点，且．则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题好题5分，每题有且只有一个正确选项）13．已知，“”是“为实数”的条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要14．已知向量，，若，则（）A．2 B． C． D．515．要得到的图象，可由函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题共有5题，请分78分）17．已知是关于的方程的一个根，其中，．（1）求的值；（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．18．已知函数及点．（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．19．如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，，规划局设计在中间开挖人工湖△，、都在边上，、不与、重合，在、之间），且．（1）若在距离点处，求的长度；（2）为节省投入资金，要让人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积．20．（18分）已知函数．（1）将函数化为的形式；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为，．（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，，求的值；（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设是虚数单位，，则13．解：，则．故答案为：13．2．函数是偶函数（填“奇”或“偶”．解：根据题意，设，则，其定义域是，有，则为偶函数．故答案为：偶．3．函数，其中的导数．解：，则．故答案为：．4．若向量满足，且与的夹角为，则．解：若向量满足，且与的夹角为，根据平面向量数量积公式可得，则．故答案为：．5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．解：，，则向量在向量方向上的投影向量为：．故答案为：．6．已知平面向量，若与共线，则的值为．解：由可得，，由与共线可得，解得．故答案为：．7．若，则1．解：，故答案为1．8．已知，且，则的值是．解：，且，，，．故答案为：．9．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为．解：因为，，所以，由夹角为钝角得，即，得．若与反向共线，则满足，解得，此时夹角为，满足，但夹角不是钝角，因此要排除．的取值范围是．故答案为：．10．已知，则0．解：根据题意，若，则，不妨设，，，，，、、、、都是整数），则．故答案为：0．11．若复数满足，则的最小值是5．解：复数满足，设，，，则，，，，，，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，又，，等于到点和点的距离和，，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，由已知线段的方程为，，，联立，解得，当的坐标为，，取最小值，最小值为5，当时，取最小值，最小值为5．故答案为：5．12．如图，矩形中，，，，分别为边，上的动点，且．则的最小值为16．解：因为矩形中，，，，分别为边，上的动点，且，取线段的中点，连接、、，如下图所示：则，且，因为四边形为矩形，则，因为，所以，当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为16．故答案为：16．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题好题5分，每题有且只有一个正确选项）13．已知，“”是“为实数”的条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要解：若为实数，则成立，设，，，若，则，即，得，即是实数，即“”是“为实数”的充要条件，故选：．14．已知向量，，若，则（）A．2 B． C． D．5解：意因为，，若，则，解得，所以，则，因此，故正确．故选：．15．要得到的图象，可由函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度解：由函数的图象向左平移个长度单位，可得函数的图象，故选：．16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意可知点坐标为，则．根据正弦函数的性质，可知的值域为，故①正确；根据，，可得，不是奇函数，故②错误；当时，，，非最值，可知③错误；根据为周期函数，最小正周期为，可知④正确．综上所述，性质①④正确，正确的命题有2个．故选：．三、解答题（本大题共有5题，请分78分）17．已知是关于的方程的一个根，其中，．（1）求的值；（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．解：（1）是关于的方程的一个根，是方程的另外一个根，，解得，；（2），，则，又是纯虚数，，解得．18．已知函数及点．（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．解：（1）因为，若点在的图象上，则，所以，又，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）由点在的图象外，得，则，设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率，由过点与的图象相切的直线斜率是1，得，解得，，所以的值为1．19．如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，，规划局设计在中间开挖人工湖△，、都在边上，、不与、重合，在、之间），且．（1）若在距离点处，求的长度；（2）为节省投入资金，要让人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积．解：（1）在△中，，，，，则，在△中，已知，，，由余弦定理：，故．（2）设，则，在△中，，，由正弦定理得：．在△中，由正弦定理得：，△的面积：，令，则，，，当，即时，取得最大值，此时取得最小值：，当时，△的面积最小，最小面积为．20．（18分）已知函数．（1）将函数化为的形式；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．解：（1）．（2）由可得，可得，令，，由可得，所以，故，故实数的取值范围是，．（3），当时，，且，因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为，因为有且只有一个，使得函数取得最小值，则，解得，故实数的取值范围是．21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜