《线性代数（第7版）》第二章 矩阵-new

第二章矩阵12

本章主要介绍矩阵的概念、运算、方阵的行列式、分块矩阵、可逆矩阵、矩阵的初等变换和矩阵的秩.这些内容既是矩阵理论的核心,也是后续求解线性方程组、分析向量组线性相关性的关键工具.例1

设有线性方程组矩阵是数学中的一项重要内容，也是经济研究和经济工作中处理线性经济模型的重要工具.首先看几个实例.§2.1

矩阵的概念3其系数和常数项构成一个矩形阵列例24种产品4个季度产值某企业生产4种产品,各种产品的季度产值如下表所示4例3n种材料m种产品消耗定额

5定义2.16为了标明矩阵的行数m和列数n,可用Am

n表示,一般情形下,用大写黑体字母A,B,C等表示矩阵.或记作7例如是一个矩阵,是一个矩阵.是一个矩阵,是一个矩阵.8同型矩阵与矩阵相等的概念如果两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如为同型矩阵.定义2.2两个矩阵为同型矩阵，并且对应位置上的元素均相等，即则称矩阵相等,记作9例

设解10元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作

或

O.注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如所有元素均为非负数的矩阵，称为非负矩阵.

11一、矩阵的加法、矩阵的数乘定义2.3注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.§2.2

矩阵的运算12例1

有某种物资(单位:吨)从3个产地运往4个销地,两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B，则从各产地运往各销地两次的物资调运量(单位:吨)共为13矩阵的数量乘法：定义2.4数k与矩阵A的乘积记作kA，规定14例2设3个产地和4个销地的里程矩阵表(单位：千米)为每吨货物的运费为1.5元/公里，则每吨货物的运费为15矩阵加法的运算规律：显然有定义矩阵的减法：16说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行减法运算.例如17数乘矩阵的运算规律：加法和数乘合称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）18例3解19例4

已知且A

+

2X

=

B，求X.解20例5某地区有4个工厂Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,生产甲、乙、丙3种产品,矩阵A

表示一年中各工厂生产各种产品的数量,矩阵B

表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元),矩阵C

表示各工厂的总收入及总利润.ⅠⅡⅢⅣ甲乙丙甲乙丙ⅠⅡⅢⅣ单位单位价格利润总收入总利润21二、矩阵的乘法其中,aik(i=1,2,3,4;k=1,2,3)是第i个工厂生产第k

种产品的数量,bk1及bk2(k=1,2,3)分别是第k

种产品的单位价格及单位利润,ci1及ci2(i=1,2,3,4)分别是第i个工厂生产3种产品的总收入及总利润.矩阵A,B,C

的元素之间有下列关系:总收入总利润22例6如果变量x,y,z与变量之间的关系为23则称之为从变量x,y,z到变量的线性变换.如果变量到变量的线性变换为则从x,y,z到的线性变换为24定义2.525矩阵的乘法26注意只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如，有意义，无意义.而27例如例如28例7解29例8解30例931解(其中k为数);注意：交换律不成立.首先，AB有意义，BA不一定有意义；例如，矩阵乘法满足结合律！分配律矩阵乘法的运算规律：32例如，33比如例9结论：矩阵乘法交换律不成立，一般若称A、B可交换，(前提是A、B为同阶方阵).但仍不一定有34例10解35例11解363738从例9还可看出，矩阵乘法不满足消去律：或左消去律不成立；同理没有右消去律：39例13线性方程组的矩阵形式记系数矩阵则上述方程组可写为40例14解由题意，41三、矩阵的转置例42定义2.6

把矩阵A的行列互换得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作或转置矩阵的运算性质：(4)可推广到多个矩阵:43证.性质(1)(2)(3)显然成立，证明性质(4).44四、矩阵运算的例题45例15t2年，该企业又扩大生产规模，将甲公司的生产规模扩大一倍，乙公司生产规模不变，销售价格不变.46解(1)AP表示t1年该企业下属甲、乙公司的总收入矩阵.(1)说明下列矩阵所表示的经济意义.

AP,BP,B-A,A+B,(A+B)P(2)计算(A+B)P.BP表示t2年该企业下属甲、乙公司的总收入矩阵.A+B表示该企业t1年和t2年两年的总销售量矩阵.B-A表示该企业t2年比t1年增加的销售量矩阵.(A+B)P表示该企业t1年和t2年两年的总收入矩阵.设该企业t1年的销售两矩阵为，t2年销售量矩阵为

，产品的价格矩阵为.47(2)根据题意，由计算可得，该企业t1年和t2年两年的总收入为48例16因为要标注“乡村振兴助农”统一标识,两类产品的包装需在同一家工厂定制.根据工厂的报价,哪家工厂最便宜?某助农电商平台为推广特色农产品,计划为当地农户种植的10种杂粮(小米、红豆等)和16种干货(木耳、香菇等)定制统一的环保包装礼盒.好的包装能让农产品从散装土特产升级为品牌化商品,提升市场竞争力,从而帮助偏远地区农户将特色农产品推向全国,让农户的劳动成果获得合理的回报.平台筛选了甲、乙、丙、丁四家注重环保的包装工厂,四家的报价见表2-4.49解则包装总费用矩阵为SP.设包装价格矩阵为P,所需包装的数量矩阵为S,则从费用上考虑，甲工厂最便宜.包装总费用矩阵也可由求出.§2.3

n阶方阵，方阵的行列式如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵(或称n阶方阵).主对角线一、

n

阶矩阵(方阵)5051均是二阶方阵.是三阶方阵.二、方阵的幂定义设A为n阶方阵，则A的方幂定义为再规定

性质.其中k，l为任意非负整数.注意

由于没有交换律，一般因此，一般5253补例解所以54A是一个

n阶方阵，定义矩阵多项式为是一个多项式，例如，55三、方阵的行列式定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|

A

|或detA.56注意矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式,一个数字行列式表示一个数值,而矩阵是一个数表,它的行数和列数可以不同.

对于方阵A,虽有行列式|A|,但A和|A|是不同的概念,不能混为一谈.57运算性质.推广：特别：注意！(n

为A的阶数)58例1解59补例解两边取行列式，补例设A为3阶矩阵，且|A|=16，则注：60§2.4

几种特殊的矩阵一、对角矩阵即形如的方阵,称为对角矩阵，可记作diagonalmatrix6162二、数量矩阵与单位矩阵即形如的方阵，称为数量矩阵，当对角矩阵的主对角上的元都相同时，63例64三、三角形矩阵即形如的方阵，称为上三角形矩阵，类似地，下三角形矩阵.65四、对称矩阵与反对称矩阵定义对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明

设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称矩阵.66反对称矩阵的对角元全为零.说明那末A称为反对称矩阵.

设A为n阶方阵，如果满足，即定义67若A、B为同阶对称阵(反对称阵)，则仍为对称矩阵(反对称矩阵).A、B为同阶对称阵，AB未必对称；但是当A、B可交换时，AB对称.例如，68例1证因为A,B都是n阶对称方阵，所以69补例证因为BTB是n阶方阵，且同理可证，BBT是m阶对称矩阵.所以BTB是对称矩阵；70

设A是n阶反对称矩阵,B是n阶对称矩阵,则AB+BA是反对称矩阵.练习(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).证71练习C解反对称；§2.5

分块矩阵对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵分割成小矩阵.使原矩阵显得结构简单而清晰，在运算时，把这些小矩阵当作元素一样来处理.

具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.72一、分块矩阵的概念例如73同一个矩阵可以根据需要写成不同的分块矩阵：在进行分块矩阵运算时，把子块作为元素处理.二、分块矩阵的运算规则(1)分块矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有74由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算.

75分块矩阵转置时，先按块转置，再将各子块内部转置.

7677例1

设矩阵解78则79因此80容易验证，这与直接用不分块矩阵运算得到的结果相等.计算可得例

设解则81又于是82利用分块矩阵，可以用不同的形式来表示矩阵的运算.则83例如则84形如的分块矩阵,称为分块上三角矩阵,类似有分块下三角矩阵.分块下三角矩阵几种特殊的分块矩阵85(2)分块三角矩阵有如下性质：(1)设A、B两个同类型的分块三角矩阵，则均为同类型的分块三角矩阵.86特别,称为分块对角矩阵.87分块对角矩阵除了具有分块三角阵的性质以外,还有：特别，88补例

设解8990§2.6

逆矩阵则矩阵B称为A的逆矩阵.在数的运算中，当数时，有其中为a的倒数；单位阵

I

类似于1在数的乘法运算中的地位.那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得对任何方阵A，

有AI=

IA

=

A,一、逆矩阵的概念91则称A为可逆矩阵,而B称为A的逆矩阵,记为定义2.7例如

设设

A

是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得得证.92例如所以93结论

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵必唯一.证设B和C都是A的逆矩阵，则结合律问题:(1)什么条件下A才可逆？94二、矩阵可逆的条件上式两边取行列式,若则称矩阵A是非奇异的(或满秩的)；

否则称A为奇异的(或降秩的).下面说明这个条件也是充分的.结论定义2.895伴随矩阵：定义2.9称为A的伴随矩阵.代数余子式,矩阵96例1解97性质证明回忆行列式按行展开公式：类似地，按列展开公式可得98定理2.1

矩阵A可逆的充分必要条件是A非奇异；证充分性：必要性：已证；所以A可逆，且有且当A可逆时，有99故A可逆的充分必要条件是且例如，对角元换位，非对角元变号.100逆矩阵的求法—伴随矩阵法求方阵的逆矩阵.例2解所以A

可逆；101同理可求得对于3阶及以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵较麻烦，以后将给出另一种求法--初等变换法.

102例3对角阵可逆的充分必要条件是且证103若则104推论证由定义知，定理2.1

矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异；当A非奇异时，有即A可逆，105例4设n阶矩阵A满足解106所以A可逆，且即证三、逆矩阵的性质注意A,B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆,一般107推论：可逆阵A若对称(反对称),则也对称(反对称).对称；反对称.证证108对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.例5证109110例6证111所以两边取行列式可得可以证明，去掉A可逆这个条件，仍然成立.练习解112例7解113114类似有特别地，另外，115一般地，对与分块对角矩阵，有116例如117例如

所以118§2.7

矩阵的初等变换定义2.10对矩阵施以下面三种变换，称为矩阵的初等行(列)变换，统称为初等变换:119一、初等变换与初等矩阵三种初等行变换通常如下表示：行对换变换：行倍加变换：120行倍乘变换：表示交换矩阵的第i行与第j行.表示以非零数k乘以矩阵第i行的所有元素.表示把矩阵第j行的l倍加到矩阵第i行上.三种初等列变换通常如下表示：列对换变换：列倍加变换：列倍乘变换：表示交换矩阵的第i列与第j列.表示以非零数k乘以矩阵第i列的所有元素.表示把矩阵第j列的l倍加到矩阵第i列上.定义2.11

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有下列3种：(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵.i行i列j行j列121(2)对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵.i

行i

列122(3)对I施以第(3)种初等变换得到的矩阵.123(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.

证124我们证明交换A的第i行与第j行等于用Im(i,j)左乘A.将矩阵A与单位矩阵Im进行如下分块：125类似可证其它初等变换的结论.这说明Im(i,j)A恰好等于矩阵A的第i行与第j行互换后得到的矩阵.例如，126初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换127容易验证：初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：二、矩阵的等价标准形等价关系的性质：如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作

定义128定理2.3任意一个矩阵

A

经过有限次初等变换，的矩阵，称之为A的等价标准形.

证总可以化为形如

129如果A=O,则A已经是形如D的矩阵(此时r=0).130如果B1

=O,则A已化为形如D的矩阵(此时r=1).如果B1不是零矩阵,那么按照上面的方法，继续下去，最后总可以化为D的形式.矩阵D称为矩阵A的等价标准形.推论131根据定理2.3，对A施以若干次初等变换可化为D，证对A施以初等变换相当于用相应的初等矩阵乘A，因为A可逆，且初等矩阵可逆，其乘积也可逆，所以D可逆，故

例1

求矩阵A的等价标准形：解132例2

求下列矩阵A的等价标准形：解133由2.6节的例2知矩阵A的是可逆的.对矩阵A施以初等行变换,相当于左乘一个初等矩阵；对矩阵A施以初等列变换,相当于右乘一个初等矩阵.任意一个矩阵

A总可以经过有限次初等变换，化为等价标准形推论134135若A为n阶可逆矩阵，则初等矩阵是可逆的，且其逆阵仍为初等矩阵，于是即矩阵A可以表示成一些初等矩阵的乘积.定理2.4

n

阶方阵

A可逆的充分必要条件是

A可以表示成一些初等矩阵的乘积.证(必要性)由定理2.3的推论知，若A可逆，则A经过若干次初等变换可化为单位矩阵I,也就是说，存在初等矩阵因为初等矩阵可逆，所以充分性是显然的.其中均为初等矩阵，或其中也是初等矩阵，设A可逆，则可逆矩阵A可经过若干次初等行变换化为单位矩阵.表明：表明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵I化为136三、用初等变换求逆矩阵利用初等变换求逆阵的方法：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵I化为行变换137

解例如138139例3解140141只利用初等列变换求逆阵的方法：上面用一系列初等行变换求逆矩阵的方法只能对矩阵(A,I)施以初等行变换，不得出现初等列变换.列变换142还可以用初等变换求逆矩阵的方法来判断矩阵A是否可逆.对分块矩阵(A,I)进行初等行变换的过程中，若出现子块A处有某一行元素全为零，则子块A不能化为I,从而A不可逆.即初等行变换求解矩阵方程143例4解法1设矩阵A和X满足：

其中

求矩阵X.

144145146解法2直接利用初等行变换求X.147列变换行变换从而获得X.解法1：解法2：此法一般不用148解例如求解下列矩阵方程：

转置，

149§2.8

矩阵的秩定义2.12例如，150零矩阵的秩规定为0.定义2.1