小学数学教学案例课程第三章如何进行统计与概率教学

小学数学教学案例课程第三章如何进行统计与概率教学

第一节导言

从2001年起，《义务教育数学课程标准》正式把统计与概率作为中小

学数学学习的一个领域（或知识模块）。这是与国际数学教学内容接轨的

体现，也是数学教学适应新世纪、新生活的一种需要。

这种调整，有利于学生在数学思维中尽早树立随机意识和统计观念,

学会运用概率统计的思想方法来应对日常生活中大量的随机现象，以更加

适应纷繁多样的现实社会。

一、关于统计与概率相关问题的认识

1.必然现象与隆机现象

在观察自然现象和社会现象时，会发现许多事情在一定条件下必然

发生。例如：在标准大气压下，水加热到100度时，必然会沸腾；把石

子向上抛，石子在重力作用下，必然向下落；等等。这种现象称为必然

现象或确定性现象，即在一定条件下，必然会发生某一结果的现象。或

者说，只要条件相同，多次进行同一试验（或多次观察同一现象）所得结

果完全一样，因而在重复试验（观察）之前，是可以预料结果必然会再次

出现的。

在实践中，我们还会发现另外一种现象，例如：掷一枚硬币，国徽

一面可能朝上，也可能朝下，在每一次投掷之前，不能事先知道它将出

现哪一种结果；从一批产品中抽出一件，这件产品可能是一等品，也可

能是一等品，还可能是废品。在抽出之前，无法事先知道它将出现哪一

种结果，我们把这样一种现象称为随机现象或偶然现象。也就是说，在

同样条件下，多次进行同一试验（或多次观察同一现象）所得结果并不完

全相同。因而在一次试验（或观察）之前，不能确切预料将出现什么结果

的现象称之为随机现象。

随机现象是否确实无规律可循？人们经过长期的观察和实践，发现

这类现象也有一定规律性。如果只对一次或少数几次随机现象进行观察

和实验，结果无法预测，但做大量的观察和试验后，就会发现其中的规

律性。比如，连续多次掷硬币，会发现正面朝上和反面朝上出现的次数

几乎相等，掷的次数越多越接近相等；再如，研究大批学生考试成绩会

发现，一般情况下考分很高或很低的都占少数，中间水平的人数较多，

基本呈“两头小，中间大”的正态分布。由此可见，随机现象的特点是：

个别试验呈偶然性，大量试验呈规律性。这种在大量试验中所呈现的规

律性，就是概率的研究对象。

2.统计学和统计观念

统计学是有关收集和分析带有随机性误差的数据的科学和艺术。为

了直观，人们才发明了各种报表、直方图、扇形图等。统计观念也称为“

数据感"或‘信息观念”，在《课程标准》中称为“数据分析观念”，是由

一组数据所引发的想法、所推测到的可能结果，并且遇到一组数据时自

觉地想到运用统计的方法解决有关问题，等等。在《课程标准》中，将“

数据分析观念”解释为：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研

究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵的信息；

了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景

选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每

次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现

规律。数据分析是统计的核心。

3.统计学的思想方法

统计思想的掌握需要较长时间的理解与实践。

统计学是通过数据来进行分析和推理的。因此，统计研究的基础是

数据。这些数据的特点是：对于每一个数据而言，都具有不确定性，我

们需要抽取一定量的数据，才能从中获取信息。因此，统计学的研究依

赖于对数的感悟，甚至是对一堆看似杂乱无章的数的感悟。通过对数据

的归纳整理、分析判断，可以发现其中隐藏的规律。用不同的方法对数

据进行归纳整理，得到的结论可能不同。

很难说哪一种方法是对的，哪一种方法是错的，我们只能说，能够

更客观地反映实际背景的方法要好一些。由此可以看到：统计学关注的

是哪个更好，而中小学传统数学关注的是对与错。

4.概率与统计的关系

概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复

试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在

这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将“稳定”在一个常

数附近，n越大，频率偏离这个常数的可能性越小。这个常数称为该事

件的概率。

在一次试验中可能发生也可能不发生的事件成为随机事件。对于随

机事件，在一次试验中是否发生，我们虽然不能预先知道，但在大量重

复试验中它却呈现出明显的规律性——频率的稳定性。概率反映的是多

次试验中频率的稳定性，学生往往错误地把“概率等于50%”理解为“两次

试验中出现一次”，应给予纠正。

统计与概率都运研究随机现象的科学。统计是一个包括数据的收集、

整理、描述、分析和推断的完整过程，统计的研究基础是数据。统计侧

重于用数据来刻画随机现象，而概率侧重于建立理论模型来刻画随机现

象。

从知识的角度来看，统计学研究需要以概率论为基础。但从认知的

角度来讲，统计比概率更具体，概念和定义用得更少，因此在小学阶段

应当以学习统计为主，到初中阶段可以学习一些概率的初步知识，但是

仍然要注意结合生活背景和实验背景，对概念的表达要以描述为主。

二、小学阶段学习统计与概率的意义

当今社会已进入信息时代。在以信息和技术为基础的现代社会，人

们面临更多的机会和选择，常常需要在不确定的情境中，根据大量无组

织的数据，做出合理的决策。概率统计的应用随时可以见到，可见概率

统计的运用已涉及人们社会活动的方方面面。与这种社会需求相适应，

在基础教育阶段增加概率统计的内容，是很有必要的。

1.学习统计与概率有利于养成数据意识

学习概率统计知识可以使学生养成数据意识，即通过数据来分析问

题的潜在意识和自觉习惯。其实质是，每当遇到问题时，通过事实来分

析，用数据来说话。因而，我们必须进行用关的调查研究、收集数据，

并在此基础上进行推断。只有这样，才有可能客观地反映实际情况，进

而解决问题。

2.学习统计与概率有利于建立随机的观念

学生在长期确定性数学的学习中，形成了用确定的方式寻求唯一正

确答案的思维定式，不适应概率统计的不确定性、随机性的思维方式。

其实现实中许多问题都不可能是纯粹的、单一的、确定的。学习概率统

计，有助于学生转变思维方式，从片面注重确定性思维方法，转到同时

注重随机的思维，全面把握两种数学思维方法的区别。

3.学习统计与概率有利于培养学生的判断能力

学习概率统计知识，可以使学生认识到统计对决策的作用，从统计

的角度看待与数据有关的问题，通过数据的收集、分析，做出合理的判

断。

第二节案例分析与评析

一、一定与可能性教学

二、统计教学

一、一定与可能性教学

为什么出不来？

案例一

教师把3个黄球和1个白球放在一个不透明的口袋里，问学生：如果

在袋子里随意摸1球，摸后放回，这样连续摸10次，你觉得会出现什么

状况？

学生有的回答：7次摸到黄球，3次摸到白球；有的回答：我猜是8

次黄，2次白；还有的回答：我觉得是9次黄，1次白。总之，都认为摸

到黄球的次数可能会多。

老师问学生为什么这样猜。

学生回答：因为盒子里黄球有3个，而白球只有1个，所以摸到黄球

的可能性要大得多。教师认为学生回答得很对，但又想让学生动手来验

证一下，于是请一名学生上来摸，其余的学生记录：白、黄/白……最

后出乎意料，摸到的竟然是7白、3黄。

“怎么会是这样？”教室里一片骚动，教师也非常尴尬，不知如何是好

o【点评】：

教师本想让学生动手操作，但没有想到，通过实际操作，学生想象

的结果没出来，出乎了老师的预设。由教室内的骚动和教师的尴尬可以

看出学生没有理解可能性的含义。

此案例关键的问题是：对可能性本质的思考。概率是频率在理论上

的稳定值，在一般情况下，随着试验次数的增多，这一频率偏离稳定值

就越小。而在具体的某一次试验中，不排偶然性与意外性，而这正是真

实可能性的一个重要特征。

“可能性”是小学数学课程中的一个概念，也是一个全新的尝试。“可

能”“一定”“不可能”是统计与概率的组成部分之一，在以往的小学数学

教学中，这部分内容常常被轻视或忽略。综合上面几个案例，我们可以

看出教师在教学中应该注意以下几点：

首先，注重联系实际。其次，体验可能性。

最后，注重学生想的过程。

二、统计教学

精彩的马戏统计

案例二

精彩的马戏演示。

教师通过让学生统计最喜爱的小动物，引出了统计的课题，进而绘

制了统计表。

师：我们已经把喜欢各种小动物的人数统计出来了，赶快把统计的

结果让小动物们看看。演示小动物的话：我不大明白，到底喜欢哪种小

动物的人数多呢？

师：小动物们好像看不懂统计表，有没有其他的统计方法能让小动

物看明白？（出示统计图方格纸）请你们根据统计表中的数试着涂一涂，

完成统计图。

（学生尝试活动，发现疑难：格子不够。）

小组同学互相讨论、研究最后发现：一格表示2个人比较合适。

通过探索，学生掌握了用“一格表示2个人”的方法，终于画出了统计

图；同时也感悟至U，当统计的人数很多时，一格还可以表示3个人、5

个人、10个人。

【点评】：

这节课是在学生已有知识和经验的基础上，让学生通过收集、整理

数据，在涂一涂的实践过程中，发现和解决“以1当2”的问题。通过精

彩的马戏表演，使学生在活动开始就处于积极的学习状态。通过让学生

投票、记录统计、合作交流等学习方式，突出了学生的主体地位。学生

不仅完成“一格表示2个人”的统计图，还想到一格还可以表示3个人、5

个人、10个人。

统计与人们的日常工作和社会生活密切相关，是《课程标准》规

定的四个领域之一。《课程标准》在总体目标中提出：“体会统计方法

的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。”我们在教学中应改变

传统教学中注重统计图表等知识和根据统计图表回答问题的教学方

式，更加重视教学情境的创设，使之真实而有意义、有趣而有价值，

让每个学生在教学活动中找到自己的角色，完整地经历统计的全

过程，即提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、做出决策，进

行交流、评价与改进等。

【评析】：

综合上面几个案例可以看出：

首先，融统计教学于生活情境中，使学生亲身感受统计的作用。

其次，为学生创造合作学习的机会。

最后，在动手中发展学生的思维。

第三节教学机智

统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现

象。《课程标准》在总体目标中提出：要求学生经历在实际问题中收

集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与

概率的基础知识和基本技能。

一、注重学生的生活经验

《课程标准》中指出，在概率与统订的教学中，应注重借助三常

生活中的例子，让学生经历简单的数据统计过程；应注重对不确定

性和可能性的直观感受；应注重所学内容与现实生活的密切联系；

应注重在具体情境中对可能性的体验。

学生学习的内容和生活实际越接近，自觉接纳知识的程度就越

高。让学生在现实生活中学习，不仅使学生对“可能性”有了初步感受

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,而且能领悟数学与现实生活的联系，从而使学生产生了自己想探

索的需求。因此在教学中教师应该充分利用学生已有生活经验，随

时把所学的统计与概率知识应用到生活中去，增强学生主动去解决

身边问题的意识。

二、关注学生的异己之见

在长期的教学中，教师多考虑的是学生的学习效果，而忽略了

数学学习的过程，只注重学生个人的积累，而忽视了同学间的交流;

只考虑到学生掌握知识的程度，而忽略了学生的情感需要。现在的

教学中，教师虽然让学生畅所欲言，但当出现分歧时，教师又对学

生的异己之见置若罔闻。例如：课堂上，教师请同学们用自己喜欢

的方法记录图形的个数，学生各抒己见，有用“举手”的，有画

的，有用“正”字记录的……可以看出，此时的教师关注学生的个性

发展。但当学生的意见不统一时，教师应该让学生通过尝试找到较

好的方法而不是武断地将学生的各种方法统一到自己的教学预设中

来。

三、注重学生的动手实践

教学过程中，教师应重视学生的实践活动和直接经验，让学生

充分动手、动口、动脑，在活动中自己去探索数学知识与数学思想

方法，在活动中体会成功的喜悦。对“统计过程的体验”和“对可能性

与不确定性的直观感受”，不应由教师强加于学生，而必须是学生通

过自主活动，从调查、操作等活动中摸索探究而来。

在教学“可能性”问题时，让学生反复活动。

在教学统计时，要多安排学生动手操作，让他们通过操作获取

知识、理解知识，从而发展思维能力。教师要给学生提供充分的活

动空间、探索空间和创造空间，同时，在活动中目的一定要明确，

要求要清楚，让每一个学生都动起来，去感悟、体验、认知。

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四、注重师生的反思

教学是一个连续的、不断改进和提高的动态过程。因此在教学

设计上，不仅是上课前的构思，而且在课堂上也要不断地反思和补

充、完善，从而使教学设计展现于具体的教学实践之中。教学中教

师不仅要设计让学生反思，自己也应