不等式恒(能)成立问题(五)-端点失效与极点效应+课件-2027届高三数学一轮复习

第三章

§3.18不等式恒(能)成立问题(五)——端点失效与极点效应利用必要性探路，充分性护航解决恒成立问题时，利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可.一般情况下单调函数是可以用端点效应的.但有时候难免会遇到端点失效的情况，即通过必要条件得到的参数范围并不是最终的解.当函数不单调时，端点效应就会失效了，如图.重点解读如果函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x>x0时，f(x)>0恒成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f'(x0)>0，这就是端点效应，但是，需要注意的是，f'(x0)>0只是f(x)>0成立的一个必要条件，如果此时二阶导数f″(x)≥0在(x0，+∞)上恒成立，那么这种方法没有问题；但如果二阶导数f″(x)≥0在(x0，+∞)上不恒成立，那么计算出的结果极有可能不是正确答案，即端点失效了.题型一端点失效例1下列问题中，判断是否能够使用端点效应，并给出说明：(1)f(x)=xlnx-a(x-1)，若f(x)>0在(1，+∞)上恒成立，求a的取值范围；

例1下列问题中，判断是否能够使用端点效应，并给出说明：(2)f(x)=xex-ax，若f(x)>0在(0，+∞)上恒成立，求a的取值范围；解注意到f(0)=0，f″(x)=(x+2)ex>0，因此可用端点效应，由f'(0)≥0，得a≤1，因此我们分a≤1和a>1两类进行讨论.例1下列问题中，判断是否能够使用端点效应，并给出说明：(3)ex-ax2≥x+1在[0，+∞)上恒成立，求a的取值范围；解令f(x)=ex-ax2-x-1，f'(x)=ex-2ax-1，注意到虽然f(0)=0，但同时f'(0)=0，看似无法用端点效应，其实不然，可以考虑计算二阶导数，再使用端点效应，即f″(x)=ex-2a，且f‴(x)=ex>0，例1下列问题中，判断是否能够使用端点效应，并给出说明：(3)ex-ax2≥x+1在[0，+∞)上恒成立，求a的取值范围；

如果函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x>a时(其中a<x0)，f(x)>0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)=0，这个把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间中某一点处的导数值为零的方法，就是极点效应.题型二极点效应

极点效应，可以不找矛盾区间，因为开区间的最值一定出现在极值点位置，我们要证明的这个极值是本题的极小值，也是最小值.思维升华跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.解得x0=1，∴H(1)≥0，解得a≥1.下面证明当a≥1时，H(x)≥0恒成立，将H(x)=aex-1-ln

x+ln

a-1视为关于a的函数m(a)=ex-1·a+ln

a-ln

x-1，a≥1，x>0，易知m(a)在[1，+∞)上单调递增，∴m(a)≥m(1)=ex-1-ln

x-1，跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.解又ex-1≥x，ln

x≤x-1，∴ex-1-ln

x-1≥0，即m(a)≥0，所以H(x)≥0，综上，a的取值范围是[1，+∞).跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

跟踪训练已知函数H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.解∴m(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∴m(x)max=m(1)=1，∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞).课时精练答案121.(1)由题意得f'(x)=ex-1-2，令f'(x)=ex-1-2=0，得x=ln

2+1，所以函数f(x)在(-∞，ln

2+1)上单调递减，在(ln

2+1，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(ln

2+1)=eln

2-2(ln

2+1)+2=2-2ln

2.121.

答案121.

答案122.

答案122.

答案122.[错解2]

容易得f(0)=0，f'(x)=cos

x-1+2ax，f'(0)=0，求得f″(x)=-sin

x+2a.结合端点效应，必有f″(0)=2a≥0，即a≥0.[错解分析]

该方法的思路是完全按照“端点效应”的情况处理的，所以f″(0)≥0，即2a≥0，a≥0.此时，求得的范围是问题的必要条件，如何证明其充分性呢？如果顺着学生思路走下去，接下来应考虑，当a≥0时，f(x)≥0恒成立.答案122.以上两种思路都是处理该类不等式恒成立问题的常规解题思路，只是针对本题失效了而已.那么端点效应解题为何会失效呢？关键还在于端点效应解题本身有一种“凑巧”的成分在里面，此时不凑巧了而已！因此，利用端点效应解题要注意解题过程的逻辑性和严谨性.答案122.

答案122.

答案122.

答案122.

答案122.

答案122.

答案1.已知函数f(x)=ex-1-2x+2.(1)求f(x)的最小值；12答案解

由题意得f'(x)=ex-1-2，令f'(x)=ex-1-2=0，得x=ln

2+1，所以函数f(x)在(-∞，ln

2+1)上单调递减，在(ln

2+1，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(ln

2+1)=eln

2-2(ln

2+1)+2=2-2ln

2.1.已知函数f(x)=ex-1-2x+2.(2)设函数g(x)=xex-1+4x2lnx-ax3，若g(x)≥-1，求实数a的取值范围.12解

由题意得g(x)=xex-1+4x2ln

x-ax3≥-1，必要性：当x=1时，1-a≥-1，所以a≤2.下证充分性：当a≤2时，不等式成立.当a≤2时，xex-1+4x2ln

x-ax3≥xex-1+4x2ln

x-2x3，下证xex-1+4x2ln

x-2x3≥-1，答案1.已知函数f(x)=ex-1-2x+2.(2)设函数g(x)=xex-1+4x2lnx-ax3，若g(x)≥-1，求实数a的取值范围.12

答案1.已知函数f(x)=ex-1-2x+2.(2)设函数g(x)=xex-1+4x2lnx-ax3，若g(x)≥-1，求实数a的取值范围.12解

当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增.所以h(x)min=h(1)=0.所以实数a的取值范围为(-∞，2].答案2.已知函数f(x)=sinx-x+ax2(a∈R)，若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.12

答案2.已知函数f(x)=sinx-x+ax2(a∈R)，若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.12[错解2]

容易得f(0)=0，f'(x)=cos

x-1+2ax，f'(0)=0，求得f″(x)=-sin

x+2a.结合端点效应，必有f″(0)=2a≥0，即a≥0.[错解分析]

该方法的思路是完全按照“端点效应”的情况处理的，所以f″(0)≥0，即2a≥0，a≥0.此时，求得的范围是问题的必要条件，如何证明其充分性呢？如果顺着学生思路走下去，接下来应考虑，当a≥0时，f(x)≥0恒成立.以上两种思路都是处理该类不等式恒成立问题的常规解题思路，只是针对本题失效了而已.那么端点效应解题为何会失效呢？关键还在于端点效应解题本身有一种“凑巧”的成分在里面，此时不凑巧了而已！因此，利用端点效应解题要注意解题过程的逻辑性和