江苏镇江市2025-2026学年高二下学期6月期末考试 数学 含解析

学年第二学期期末样卷高二数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将答题卡交回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】由组合数的定义公式可得.2.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】B【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性有，即可得答案.【详解】由题设，正态分布曲线关于对称，所以.故选：B第1页/共16页3.已知向量，，且与互相垂直，则实数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】已知，，则，；由与互相垂直，可得，代入坐标计算得：整理得，解得.4.已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间有如下数据：使用年限（单位：年）维护费用（单位：千元）与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，当使用年限为年时，维护费用约为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由题意可知，，所以，所以经验回归方程为.当，.5.甲、乙、丙、丁、戊五个人排一队，甲、乙不相邻的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出所有的基本事件数，再求出甲、乙不相邻的基本事件数，根据古典概型的概率公式求解即可第2页/共16页【详解】五个人全排列，总排法有种，要使甲、乙不相邻，可先排丙、丁、戊3人，有排法种，再在这3个人留下的4个空位上选2个安排甲、乙，共有排法种，则甲、乙不相邻的总排法有种，故甲、乙不相邻的概率为.6.从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（）A.名B.名C.名D.名【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图先计算，进而计算内的频率，即可求解.【详解】由题意得：，解得，所以，所以身高在内的学生估计有名.7.端午节吃粽子是中国传统节日的重要习俗，粽子古称“角黍”.某学校食堂早餐有豆沙粽子和蛋黄粽子出售，张同学第天早餐随机选择一类粽子购买，如果第天买的是豆沙粽子，则第天买豆沙粽子的概率为；如果第天买豆沙粽子的概率为.则张同学第）A.B.C.D.【答案】C【解析】天吃豆沙粽子为事件天吃蛋黄粽子为事件可求解.第3页/共16页【详解】设第天吃豆沙粽子为事件，第天吃蛋黄粽子为事件，所以，，所以.8.化简（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二项式展开式对应项系数相等计算求和，最后结合组合数对称性得到正确选项.【详解】因为，则的展开式中项的系数为，的展开式中项的系数为，所以.36分在每题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设随机事件，满足，，，则下列结论正确的是（）A.事件与为对立事件B.C.事件与相互独立D.【答案】BC【解析】【分析】利用随机事件的基本概念与概率计算，结合对立事件、条件概率、事件独立性、和事件概率公式，逐一验证即可.【详解】对于A，由且，所以事件与不是对立事件，故A错误；第4页/共16页对于B，由，故B正确；对于C，由，则事件与相互独立，故C正确；对于D，由，故D错误.10.已知一组数：，，，，，则下列说法中正确的是（）A.这组数的最大数为B.这组数的中位数为C.这组数的上四分位数为D.这组数的平均数为【答案】ABD【解析】【分析】根据组合数的对称性、求和公式，再根据中位数、四分位数、平均数的定义逐一判断选项.【详解】选项A：组合数当为偶数时，最大值为中间项，又，最大值为，A选项正确；选项B：该组数据共个，根据组合数对称性从小到大排序为，中位数为第项，即，B选项正确；选项C：上四分位数为分位数，计算位置，向上取整对应第项，数值为，不是，C选项错误；选项D：由二项式定理，，共个数据，平均数为，D选项正确.正方体的棱长为，点满足（，，则（）A.当，时，点恰为中点B.当，时，三棱锥的体积为定值C.当时，的最小值为D.当时，则点平面【答案】AD第5页/共16页【解析】【分析】建立空间直角坐标系，可得，根据中点坐标公式计算判断A；由题意可知点在平面B的轨迹计算可判断C可判断D.【详解】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，由题意可得，所以，对于A，当，时，，因为，所以点为中点，故A正确；对于B；当，时，设，则点在平面内，因为点到平面的距离为定值，而的面积不是定值，例如，当时，此时，因为，所以点为中点，此时三点共线，四点共面，三棱锥不存在，其体积为0；当时，与重合，此时的面积为，三棱锥体积不为0，所以三棱锥的体积不为定值，故B错误；对于C；若，则点到点的距离恒为1，所以点的轨迹是以点为球心，1为半径的球面，第6页/共16页因为，所以，故C错误；对于D，，则，设平面的法向量为，则，取，则，所以平面的法向量为，，因为，所以，即，因为点平面，所以点平面，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.抛掷一枚质地均匀的骰子次，恰好出现两次点数为的概率为______.【答案】【解析】【分析】通过独立重复试验的概率公式求解即可.【详解】∵单次抛掷质地均匀的骰子，共有6种等可能的基本事件，其中出现点数为1的基本事件有1种，∴单次抛掷出现点数1的概率，不出现点数1的概率为.根据次独立重复试验中恰好发生次的概率公式，得抛掷一枚质地均匀的骰子次，恰好出现2次点数为1的概率为：.13.正四面体的棱长为，为底面的中心，则______.【答案】第7页/共16页【解析】【详解】因为O为底面的中心，所以，，，14.一个质点从原点出发，每隔一秒就随机、等可能地向上、下、左、右移动一个单位，共移动次.质点位于点的位置的概率为______秒位于的位置的概率为______.【答案】①.②.【解析】【分析】空1：根据题目要求，分析6次后位于点的情况，再利用排列组合知识解决即可.空2：因为需要两次经过，所以只能第4秒在，第5秒离开，第6秒回到，利用排列组合知识解决即可.【详解】空1：根据题目要求，6次移动后位于点，每次移动都有4种情况，所以共有种情况.从原点到共需要462次向上3次向下一次或者向上2次向右3次向左1次.所以共有种情况.所以概率为.空2：由题意，需要两次经过，所以只能第4秒在，第5秒离开，第6秒回到.从第2秒到第4秒共三次移动，三次移动后到达，需要2次向右1次向上，共种情况，第5秒离开共有四种情况，第6秒回来只有1种情况，所以一共有种情况.因为质点第1秒位于，以后共运动5次，共种情况.第8页/共16页所以概率为.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市推行“垃圾分类”，两个试点小区中随机抽取150户居民进行调查，统计一周内的垃圾分类情况，数据如下：分类达标分类不达标总计小区262450小区7030100总计9654150（1）根据以上数据，能否有的把握认为、两小区的垃圾分类达标的情况存在差异？0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：.（2）现从所有不达标的居民中，按照分层抽样的方法随机抽取9户进行回访调研，再从这9户中随机选出3户了解情况，求选出的3户居民恰好不都来自同一个小区的概率.【答案】（1）有95%的把握认为A、B两小区的垃圾分类达标情况存在差异（2）【解析】1）代入卡方检验公式计算观测值，与95%置信度对应的临界值比较得到结论；（2）先按分层抽样规则确定抽取的9户中A、B小区的户数，再通过古典概型公式计算所求概率【小问1详解】由列联表得样本容量，代入卡方公式：.第9页/共16页已知，因此有95%的把握认为A、B两小区的垃圾分类达标情况存在差异.【小问2详解】不达标的居民共户，分层抽样的抽样比为，因此抽取的9户中：A小区不达标户数为，B小区不达标户数为.从9户中任选3户的总基本事件数为；事件“3户恰好不都来自同一个小区”包含两类情况：1户来自A小区2户来自B小区、2户来自A小区1户来自B小区，包含的基本事件数为.所以所求概率.16.中，，，，，分别为，的中点.（1）求线段的长；（2）若，，求证：，，，四点共面.【答案】（1）（2）由题意知，，因为，所以，所以，，，第10页/共16页不妨设，即，解得.即，根据共面向量定理，共面，即四点共面.【解析】1）将作为基底，用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可.（2）由共面向量定理证明即可.【小问1详解】设，且，分别为，的中点.所以.则，所以.【小问2详解】略17.在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为.（1）求的值及展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1），常数项为（2）【解析】(1)4项与第5项的系数比值建立方程求解的指数为0确定常数项位置，代入通项计算得到常数项.第11页/共16页(2)设第项为系数最大项，依据该项系数不小于相邻两项系数列不等式组，求解得到通项得到系数最大的项.【小问1详解】二项展开式的通项为，其中.第4项对应，系数为；第5项对应，系数为.由题意得，化简得，即，解得.令，解得，故常数项为.【小问2详解】设展开式中第项的系数最大，对应系数为，则需满足，即，化简第一个不等式得，解得；化简第二个不等式得，解得.由且，得，对应系数最大的项为.18.已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，.（1）求点坐标；第12页/共16页（2）求直线与平面所成的角；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标；（2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算；（3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值.【小问1详解】因底面，且均在平面上，所以面即为平面.又因为，所以平行于轴且在平面上，故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以.如图，作出符合题意的图形，【小问2详解】直线的方向向量可取，已知，，，所以，，设平面的法向量为，则，解得，，取得.设直线与平面所成角为，且，，则，因为，故.第13页/共16页因此直线与平面所成的角为.【小问3详解】平面，，,设平面的法向量为，则，即，令，得，，即.由（2）的分析知，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则.因此平面与平面的夹角的余弦值为.19.面是黑色.（1.概率；（2）现每次取出卡片后观察其两面的颜色，若两面都是红色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面红色卡片；若两面都是黑色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面黑色卡片；若一面是红色一面是黑色，仅将原卡片放回，不再另放卡片.①求第次摸出卡片是两面红色卡片的概率；②记次后摸出两面红色卡片的次数为，求的概率分布