第10讲锐角三角比的意义(原卷版+解析)

第10讲锐角三角比的意义掌握锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备．模块一：正切和余切正切acABCb直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比

叫做这个锐角的正切（tangent）．acABCb．余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比

叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．．如图，在中，，，垂足为点Q．PNMPNMQ______，______．（用正切或余切表示）在中，，AC=4，BC=5，求tanA、cotA、tanB、cotB的值．在中，，AC=4，AB=5，求tanA、cotA、tanB、cotB的值．已知，在中，，BC=9，tanA=．求：（1）AB的长；（2）tanB的值．模块二：正弦和余弦acacABCb直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比

叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．．余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比

叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．．PNPNMQ如图，在中，，，垂足为点Q．．______，______．（用正弦或余弦表示）在中，，AC=4，AB=5，求sinA，cosA，sinB，cosB的值．已知，在中，，sinA=，求sinB的值．模块三：锐角的三角比锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．定义表达式取值范围相互关系正切（为锐角）余切（为锐角）正弦（为锐角）余弦（为锐角）ABABC如图，在中，，AB=5，BC=4，求的四个三角比的值．在中，，AB=13，BC=12，AC=5，求、、和．已知等腰中，底边BC=20cm，面积为40cm2，求sinB和tanC．直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点AABCDE68与点BABCDE68如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABAD，对角线AC、BD相交于点E，ABCDEBDCD，AB=12，，求：（1）的余弦值；（2）DE的长ABCDE一、单选题（2022·上海·一模）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．（2022·上海·黄浦一模）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（

）A． B． C． D．（2022·上海·一模）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（

）A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍（2022·上海·名校校考）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A． B． C． D．二、填空题（2022·上海·名校校考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．（2022·上海·华育名校校考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．（2022·上海·名校校考）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____．4cos30°++|﹣2|=__．若sinA=，则锐角∠A=__°．（2022·上海·二模）如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为______．（2022·上海·二模）在矩形中，，，若点在边上，连接、，是以为腰的等腰三角形，则的值为______．三、解答题（2022·上海·三模）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定符号tanA表示（）A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切如图，在中，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．在中，，，则的值是（

）A． B． C． D．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（

）A． B． C． D．如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为_____________．如图，菱形的边，，E是的中点，F是边上一点，将四边形沿直线折叠，A的对应点为，当的长度最小时，的长是______．在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA．如图，在中，于，．(1)求证：．(2)若，，求的面积．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠B的平分线BE交AC于E，交AD于F．求证：．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sinA+sinB的值．第10讲锐角三角比的意义掌握锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备．模块一：正切和余切正切acABCb直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比

叫做这个锐角的正切（tangent）．acABCb．余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比

叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．．如图，在中，，，垂足为点Q．PNMPNMQ______，______．（用正切或余切表示）【答案】（1）；（2）．【解析】直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（），表示 一个角的正切，先判定该锐角属于哪个直角三角形，再找对应的对边和邻边．【总结】考查学生对锐角的正切的定义及理解．在中，，AC=4，BC=5，求tanA、cotA、tanB、cotB的值．【答案】．【解析】画示意图，很直观的可以确定锐角的对边和邻边，∠A和∠B 的正切和余切即可表示．【总结】考查学生对锐角的正切和余切的理解．在中，，AC=4，AB=5，求tanA、cotA、tanB、cotB的值．【答案】．【解析】画示意图（略），由勾股定理求得，再来表示的正切和余切值．【总结】求解锐角三角比，要求学生画示意图，明确直角边和斜边，从上一例题和这题可以 看出互为余角的两锐角的正切和余切值相等．已知，在中，，BC=9，tanA=．求：（1）AB的长；（2）tanB的值．【答案】（1）；（2）．【解析】画示意图（略），在中，∠C＝90°，,∵，∴．由勾股定理，得；，也可由互余的两个锐角的正切值乘积为1算得．【总结】考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段．模块二：正弦和余弦acacABCb直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比

叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．．余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比

叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．．PNPNMQ如图，在中，，，垂足为点Q．．______，______．（用正弦或余弦表示）【答案】（1）；（2）．【解析】，理解了这个定义，再确定 直角三角形，当互余时，，所以第（2）均有两解．【总结】考查锐角的正弦和余弦的定义及求解方法．在中，，AC=4，AB=5，求sinA，cosA，sinB，cosB的值．【答案】．【解析】画示意图（略），由勾股定理，得，， ．【总结】考查锐角的正弦值和余弦值的求解．已知，在中，，sinA=，求sinB的值．【答案】．【解析】在中，，∴．【总结】考查锐角三角比之间的相互转换，运用了“设法”．模块三：锐角的三角比锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．定义表达式取值范围相互关系正切（为锐角）余切（为锐角）正弦（为锐角）余弦（为锐角）如图，在中，，AB=5，BC=4，求的四个三角比的值．ABC【答案】ABC【解析】由勾股定理，得，根据正弦、余弦、正切、余切的定义求解得．【总结】考查同一个锐角的四个三角比的定义．在中，，AB=13，BC=12，AC=5，求、、和．【答案】．【解析】本题条件充足，三条边都给了，并且是直角三角形，画示意图（略）直接求得．【总结】考查锐角的三角比的定义．已知等腰中，底边BC=20cm，面积为40cm2，求sinB和tanC．【答案】．【解析】画示意图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则,，求得,由勾股定理，得,在中，,在中，．【总结】结合等腰三角形考查锐角三角比的求解，运用等腰三角形三线合一构造直角．直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点AABCDE68与点BABCDE68【答案】．【解析】由题意，得，因为翻折，所以，设，在直角三角形BCE中，，即，解得，所以，所以．【总结】考查图形运动——翻折，利用翻折的性质求解锐角三角比．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABAD，对角线AC、BD相交于点E，BDCD，AB=12，，求：（1）的余弦值；（2）DE的长．ABCDE【答案】（1）ABCDE【解析】（1）∵，∴，由勾股定理，得，∵，∴，即；（2）∵，∴，∵∴，设，则，∵，解得．【总结】考查锐角三角比的应用，结合平行线分线段成比例求解线段长．一、单选题（2022·上海·一模）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义计算判断即可．【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意；B、由，故该项错误，不符合题意；C、由，故该项错误，不符合题意；D、由，故该项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键．（2022·上海·黄浦一模）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．【详解】解：如图，∴故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．（2023·上海·一模）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．【详解】解：∵∠C=90°，∴=，故选：A．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．（2022·上海·一模）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（

）A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍【答案】B【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变．【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍，∴各角的大小不变，即大小不变．∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，∴锐角A的余切值保持不变．故选B．【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．（2022·上海·名校校考）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度，铁球距地面的高度．故选：B．【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．二、填空题（2022·上海·名校校考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．【答案】【分析】运用三角函数定义求解．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AB＝10，∴sinA＝．故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝对边：斜边．（2022·上海·华育名校校考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．【答案】【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．【详解】解：∵，∴∠A＝60°，∴．故答案为．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．（2022·上海·名校校考）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____．【答案】【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可．【详解】解：，，，设，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度．4cos30°++|﹣2|=__．【答案】3．【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂法则、绝对值计算即可．【详解】解：4cos30°++|﹣2|==3；故答案为：3【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．若sinA=，则锐角∠A=__°．【答案】60．【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得．【详解】解：若sinA=，则锐角∠A=60°，故答案为：60．【点睛】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．（2022·上海·二模）如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为______．【答案】4【分析】连接，交于点O，根据菱形的性质及勾股定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，再由正弦函数求解即可．【详解】解：连接，交于点O，∵四边形为菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：4．【点睛】题目主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（2022·上海·二模）在矩形中，，，若点在边上，连接、，是以为腰的等腰三角形，则的值为______．【答案】或【分析】根据题意可知需要分类讨论：和两种情况，可求出的长，进而可求出的值．【详解】解：在矩形中，，．如图1，当时，点是的中垂线与的交点，则．在中，，如图2，当时，也是以为腰的等腰三角形，，综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．解题时，要分类讨论，以防漏解是解题的关键．三、解答题（2022·上海·三模）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）【答案】．【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得．【详解】解：如图，分别作，垂足分别为，在中，，，在中，，，，，在中，，，在中，，，，，．【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐角A的各三角函数值没有变化，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．符号tanA表示（）A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切【答案】C【分析】根据锐角三角形的符号所表示的意义可得：tan表示的正切．【详解】符号tanA表示∠A的正切．故选C．【点睛】考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．如图，在中，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵在中，，，∴，故A错误，不符合题意，，故B错误，不符合题意，，故C错误，不符合题意，，故D正确，符合题意，故选D．【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．在中，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值．【详解】解：如图，中，，，，设，，由勾股定理得：，，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．【答案】【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，∵BH∥x轴，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα随BA的减小而增大，∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴当n时，BG最大值故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为_____________．【答案】2或或【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可．【详解】解：，，，，设点，当时，点在直线上（且不与点重合），点不能为直角顶点，①如图，当点在轴的正半轴上，且时，由旋转可知，，，，，，，，，，，即点的横坐标为2；②如图，当点在轴的正半轴上，且时，过点作于点，则，由旋转可知，，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：或（不合题意，舍去），点的横坐标为；③如图，当点在轴的负半轴上，且时，过点作于点，则，同理可得，，，，，同理可得，，，即，解得：或（不合题意，舍去），点的横坐标为；综上所述，点的横坐标为2或或，故答案为：2或或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，解题的关键是熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用．如图，菱形的边，，E是的中点，F是边上一点，将四边形沿直线折叠，A的对应点为，当的长度最小时，的长是______．【答案】【分析】由E是的中点可得，再根据题意可得点在以以E圆心、以半径的弧上，则当C，E，在一条直线上时，有最小值；过过点，设，由勾股定理列方程可得先求得，进而求得；再运用勾股定理可得，然后利用折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质可得即可解答．【详解】解：∵E是的中点，∴，∵将四边形沿直线折叠，A的对应点为，∴点在以以E圆心、以半径的弧上，∴当C，E，在一条直线上时，有最小值，此时如图：过点，设，∴，即，解得：，∴，∴∴∵菱形∴∴∵∴∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理的应用、翻折的性质、等腰三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，确定出取得最小值的条件是解题的关键．在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA．【答案】sinA=，cosA=，tanA=【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答．【详解】解∶∵Rt△ABC中，∠C=，若AB=13，BC=5，∴AC=12，∴sinA=；cosA=；tanA=【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键．如图，在中，于，．(1)求证：．(2)若，，求的面积．【答案】