第10讲提取公因式法、公式法分解因式(原卷版+解析)

第10讲提取公因式法、公式法分解因式 模块一：提取公因式法知识精讲知识精讲模块一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．3、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．4、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．5、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．分解因式：（1）； （2）； （3）．分解因式：（1）； （2）； （3）．把下列各式分解因式：（1）；（2）．分解因式：．试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．化简下列多项式：．模块二：公式法1、平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．分解因式：（1）； （2）；（3）．分解因式：．把下列各式分解因式：（1）； （2）．利用分解因式证明：能被120整除．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．（2022秋·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(

)①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知，，，那么的值是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海·七年级校联考期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（

）A．B．）C．D．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海·七年级专题练习）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（

）A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A．； B．；C．； D．；（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：______．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）多项式的公因式是___________．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝______．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）分解因式：______________．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）因式分解：___________．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）因式分解：___________．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）分解因式：=__________．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：=___________（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）分解因式：(1)(2)（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）已知：，，求：(1)；(2)．下列各式从左到右的变形，属因式分解的是（

）下列因式分解的结果正确的是（）A． B．C． D．（________）；（________）；分解因式：=___________已知，求的值．阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：．解：原式请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：(1)；(2)．第10讲提取公因式法、公式法分解因式 模块一：提取公因式法知识精讲知识精讲模块一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．3、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．4、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．5、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．分解因式：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）； （2）； （3）．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，并注意其它项的符号的变化．分解因式：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）； （2）； （3）．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．把下列各式分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式 ；（2）原式 ．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．分解因式：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．【答案】见【解析】．【解析】设这个三位数为，其中为1-9之间的整数，为0-9之间的整数， 交换百位数字与个位数字后可得新三位字为， 所以， ∵是整数，∴能被11整除．【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整除的概念．化简下列多项式：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式．模块二：公式法1、平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．分解因式：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式；原式 ；原式 ．【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意分解一定要彻底．分解因式：．【答案】．【解析】原式【总结】连续运用两次完全平方公式，本题主要考查学生是否彻底分解因式．把下列各式分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解法一：原式， 解法二：原式；（2）原式 ．【总结】本题主要利用拆开再组合的原理进行了分解因式．利用分解因式证明：能被120整除．【答案】详见【解析】【解析】解法一：原式， 解法二：原式， ∴能被120整除．【总结】本题主要考查利用因式分解来说明整除性．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得．【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意；B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意；C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意；D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(

)①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、公式法；进行判断．【详解】解：①；②；③不能分解因式；④；⑤；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的方法（提公因式法，公式法），解题的关键是抓住能利用公式法分解的多项式的特点．（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；B、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D、符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解的定义，因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知，，，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将因式分解为(a-b)(a-c)，再将其值代入计算即可．【详解】∵，，，∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)=(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2．故选：A．【点睛】考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解为(a-b)(a-c)的形式．（2022秋·上海·七年级校联考期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（

）A．B．）C．D．【答案】B【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；B、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列各式中，能够运用完全平方公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式可直接进行排除选项．【详解】A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查公式法，熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（

）A．x+3 B．(x+3)2 C．x-3 D．x2+9【答案】C【分析】先把这三个式子因式分解，再找到它们的公因式．【详解】解：，，，公因式是．故选：C．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，故A不符合题意；B、是整式的乘法，而且原运算错误．故B不符合题意；C、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；D、，右边不是整式的积的形式，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：______．【答案】【分析】直接利用提取公因式法即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式法因式分解．注意要将看成一个整体提公因式．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）多项式的公因式是___________．【答案】【分析】根据找公因式的方法得出答案即可．【详解】解：多项式的公因式是，故答案为：．【点睛】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝______．【答案】（y﹣3）（x+1）【分析】直接利用分组分解法、提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：xy﹣3x+y﹣3＝x（y﹣3）+（y﹣3）＝（y﹣3）（x+1）．故答案为：（y﹣3）（x+1）．【点睛】本题主要考查了利用提取公因式的方法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式的方法分解因式．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）分解因式：______________．【答案】【分析】提取公因式，即可分解因式．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式是关键．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）因式分解：___________．【答案】【分析】提出公因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）因式分解：___________．【答案】【分析】先提取公因式再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）分解因式：=__________．【答案】/【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：=___________【答案】/【分析】提取公因式，同类项合并即可解得．【详解】【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解；（2）根据完全平方公式因式分解即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了公式法因式分解，掌握乘法公式是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：【答案】【分析】把看成整体，把化为，再利用提公因式法分解因式．【详解】解：【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，同时考查因式分解的彻底性，掌握以上知识是解题的关键．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）已知：，，求：(1)；(2)．【答案】(1)10(2)19【分析】（1）先提公因式，然后再代入求解即可；（2）根据完全平方公式可进行求解．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．下列各式从左到右的变形，属因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样式子变形叫做把这个多项式因式分解，即可．【详解】A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不合题意；B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不合题意；C、符合因式分解的定义，符合题意；D、等式右边是整式的乘法，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的定义和特点．下列因式分解的结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的方法分别分析，再利用公式法进行因式分解即可．【详解】解∶A、无法进行因式分解，故此选项错误；B、，故此选项