第10讲最短路径(原卷版+解析)八年级数学暑假预习课(人教版)

第10讲最短路径【基础知识】知识点最短路径问题1、两点在直线异侧的最短距离(l)问题:求直线异侧的两点到直线上一点的距离和最小的问题(如图①).(2)方法:如图②所示,.2、两点在直线同侧的最短距离(1)问题:求直线同侧的两点到直线上一点的距离和最小的问题.(2)方法:(3)证明:【注意】根据轴对称的性质、三角形的三边关系,通过比较大小来说明最值问题是常用的一种方法.【知识拓展】最短距离应用模型“轴对称＋两点之间线段最短”,将所求线段之和转化为两点之间的距离,是解决距离之和最小问题的基本思路.【考点剖析】考点一：最短路径例1．如图,在直线l上找一点M,使它到A,B两点的距离和最小.【方法总结】借助转化巧解最短路径问题的步骤（1）作对称点:作点关于直线的对称点;（2）转化:运用轴对称把直线同侧的两点转化为直线异侧的两点;3)连线:两点之间,线段最短.考点二：“一线＋两点”型最短距离问题例2．如图,小河EF边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂分别向A村和B村供水(两村管道不存在共用部分).（1）若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪儿建厂?（2）若要使厂部到A,B两村的水管最短,则应选择在哪儿建厂?【方法总结】“一线十两点”型最短距离求解方法(1)如果两点在直线的异侧,那么直接连接两点交直线于一点,该点就是要求的点;(2)如果两点在直线的同侧,那么先作一点关于直线的对称点,再连接对称点和另一点交直线于一点,该点就是要求的点.考点三：“两线+一点”型最短距离问题例3．如图,A是锐角LMON内部任意一点,在LMON的两边OM,ON上各求作一点B,C,组成△ABC,使△ABC周长最小(不写作法,保留作图痕迹).【方法总结】求“两线＋一点”型最短距离中的点第1步:分别作这点关于两线的对称点;第2步:连接两对称点交两线于两点,交点即为所求.考点四：“两线＋两点”型最短距离问题例4．如图,AO,BO表示草原上的两条河,点M,N表示两个居住点.为防止交叉污染,规定牛羊饮水在河的OA段,人的饮用水取自OB段.小蒙在点M放牧后先到河的OA段给羊饮水,再到OB河段取水,最后回居住点N.问小蒙怎样走路程最短?画出路线图.【方法总结】求“两线＋两点”型最短距离中的点(1)分别作这两点关于两线的对称点;(2)连接两对称点交两线于两点,交点即为所求的最短距离中的点.考点五：平移型问题例5．如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?【方法总结】平移型问题求解步骤第1步:平移固定的距离(如桥长)和其中一点重合;第⒉步:连接平移后的点和另一点,把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径来解决问题.【即学即练】1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.A． B．C． D．2．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．50° B．60° C．70° D．80°3．如图，中，，，，，是的平分线.若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．54．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．85．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（

）A． B． C． D．6．如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C． D．7．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.8．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）9．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．10．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）【课后巩固】1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米2．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（

）A．84° B．88° C．90° D．96°3．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（

）A．15° B．25° C．30° D．45°4．如图，在中，，是的平分线．若，分别是和上的动点，且的面积为，则的最小值是（

）A． B． C． D．5．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A． B． C．6 D．36．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是(

)A． B．C． D．7．如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（

）A． B． C． D．8．如图1，在一条河同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置；9．在旷野上，一个人骑马从A处出发，他先到河边N饮水，再到草场M出放马，然后返回A地，如图，请问他应该怎样走才能使总路程最短？

10．如图，已知直线及同侧两点、．第10讲最短路径【基础知识】知识点最短路径问题1、两点在直线异侧的最短距离(l)问题:求直线异侧的两点到直线上一点的距离和最小的问题(如图①).(2)方法:如图②所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点，连接A,B两点,AB和直线l交于点C,这时点C就是直线l上所求的点.2、两点在直线同侧的最短距离(1)问题:求直线同侧的两点到直线上一点的距离和最小的问题.(2)方法:只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,所得线段与该直线的交点即为所求.(3)证明:如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C,使CA＋CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.另取一点C',点C'在直线l上,且不与点C重合.连接AC',BC',B'C'.由作图可知,点B和B'关于直线l对称，所以直线l是线段BB'的垂直平分线.因为点C与C'在直线l上,所以BC=B'C,BC'=B'C'.在△AB'C'中,AB'<AC'+B'C'，所以AC+BC<AC'+B'C'，所以AC＋BC<AC'+BC'.【注意】根据轴对称的性质、三角形的三边关系,通过比较大小来说明最值问题是常用的一种方法.【知识拓展】最短距离应用模型“轴对称＋两点之间线段最短”,将所求线段之和转化为两点之间的距离,是解决距离之和最小问题的基本思路.【考点剖析】考点一：最短路径例1．如图,在直线l上找一点M,使它到A,B两点的距离和最小.【分析】先确定其中一个点关于直线l的对称点,再连接对称点和另一个点﹐与直线l的交点即为所求的点M.【解析】解:如图所示:（1）作点B关于直线l的对称点B';（2）连接AB'交直线l于点M;（3）则点M即为所求的点.【方法总结】借助转化巧解最短路径问题的步骤（1）作对称点:作点关于直线的对称点;（2）转化:运用轴对称把直线同侧的两点转化为直线异侧的两点;3)连线:两点之间,线段最短.考点二：“一线＋两点”型最短距离问题例2．如图,小河EF边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂分别向A村和B村供水(两村管道不存在共用部分).（1）若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪儿建厂?（2）若要使厂部到A,B两村的水管最短,则应选择在哪儿建厂?【分析】（1）应用线段的垂直平分线的性质解答﹔（2）转化为直线异侧的两点之间距离最短问题.【解析】（1）到A,B两点距离相等，可联想到“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,又要求在河边建厂,所以作AB的垂直平分线,与EF的交点即为所求的点;（2）要使厂部到A,B两村的水管最短,可联想到“两点之间,线段最短”,作点A(或B)关于EF的对称点,连接对称点与点B(或A),与EF的交点即为所求.【解析】解:(1)如图,连接AB,取线段AB的中点G,过中点G作AB的垂线,交EF于点P,则点Р到A,B的距离相等.也可分别以A,B为圆心,大于兰AB为半径画弧,两弧交于两点,连接这两点作直线,与EF的交点Р即为所求.(2)如图,作出点A关于河岸EF的对称点A',连接A'B交EF于点Q,则点Q到A,B的距离和最小.【方法总结】“一线十两点”型最短距离求解方法(1)如果两点在直线的异侧,那么直接连接两点交直线于一点,该点就是要求的点;(2)如果两点在直线的同侧,那么先作一点关于直线的对称点,再连接对称点和另一点交直线于一点,该点就是要求的点.考点三：“两线+一点”型最短距离问题例3．如图,A是锐角LMON内部任意一点,在LMON的两边OM,ON上各求作一点B,C,组成△ABC,使△ABC周长最小(不写作法,保留作图痕迹).【分析】作该点关于两线的对称点,连接两对称点即可.分别作点A关于角两边的对称点D,E,连接DE与角的两边分别交于B,C,连接AB,AC得到的△ABC周长最小.【解析】解:如图所示.【方法总结】求“两线＋一点”型最短距离中的点第1步:分别作这点关于两线的对称点;第2步:连接两对称点交两线于两点,交点即为所求.考点四：“两线＋两点”型最短距离问题例4．如图,AO,BO表示草原上的两条河,点M,N表示两个居住点.为防止交叉污染,规定牛羊饮水在河的OA段,人的饮用水取自OB段.小蒙在点M放牧后先到河的OA段给羊饮水,再到OB河段取水,最后回居住点N.问小蒙怎样走路程最短?画出路线图.【分析】通过作两次轴对称变换得到最短距离,得到所需的点与最短路程.分别作M,N两点关于OA,OB的对称点M',N',连接两对称点M',N',分别交OA,OB于点P,Q,连接MP,NQ.【解析】解:如图所示,小蒙按M→P→Q→N的路线走,路程最短.【方法总结】求“两线＋两点”型最短距离中的点(1)分别作这两点关于两线的对称点;(2)连接两对称点交两线于两点,交点即为所求的最短距离中的点.考点五：平移型问题例5．如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?【分析】平移点A到点C,使B,N,C三点在一条直线上,此时的MN即为桥的位置.平移MN到AC,连接BC的线段即为最短的﹐从A到B要走的路线是A→M→N→B,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.【解析】解:(1)如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽;(2)连接BC与河岸的一边交于点N;(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M,则MN为所建的桥的位置.【方法总结】平移型问题求解步骤第1步:平移固定的距离(如桥长)和其中一点重合;第⒉步:连接平移后的点和另一点,把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径来解决问题.【即学即练】1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称分析即可得到答案.【详解】根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，故选：C.【点睛】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.2．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案．【详解】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，∵四边形的内角和为，∴，即①，由作图可知：，，∵的内角和为，∴②，方程①和②联立方程组，解得．故选：D．【点睛】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键．3．如图，中，，，，，是的平分线.若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】【分析】在BC上截取，连接，易证，显然当A、P、三点共线且时，的值最小，问题转化为求△ABC中BC边上的高，再利用面积法求解即可.【详解】解：在BC上截取，连接，如图，∵是的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△PBQ和中，∴△△PBQ≌（SAS），∴，∴，∴当A、P、三点共线且时，的值最小，过点A作AF⊥BC于点F，则的最小值即为AF的长，∵，∴，即的最小值为.故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、垂线段最短和面积法求高等知识，属于常考题型，在BC上截取，连接，构造全等三角形、把所求问题转化为求的最小值是解题的关键.4．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N∴M′N′=M′E，∴CE=CM′+M′E∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为8，AB=4，∴×4•CE=8，∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．故选B．【点睛】本题考查是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形的面积求解是解题关键．5．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意可知与的交点为E，与的交点为F，根据垂直平分线的性质计算即可；【详解】由题意可知与的交点为E，与的交点为F．∵分别是线段的垂直平分线，∴，∴小蚂蚁爬行的最短路径为．【点睛】本题主要考查了最短路线问题和垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．6．如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.7．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.【答案】3【解析】【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．8．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【详解】试题分析：作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．试题解析：作点A关于燃气管道的对称点A′，连接A′B交燃气管道于点P，即点P即为所求．9．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【答案】见解析【解析】【详解】试题分析：可过点P分别作关于OM，ON的对称点P′，P″，连接P′P″，与OM、ON的交点即为满足条件的建桥地点.试题解析：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．【点睛】本题考查了最短径问题，主要就是要掌握轴对称在生活中的实际应用，解此类题的关键就是要作出对称点，然后根据两点之间线段最短进行连接，从而得到满足条件的点.10．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）【答案】见解析【解析】【详解】试题分析:作点A关于草地所在直线的对称点E,作点B关于小河所在直线的对称点F,连接EF,交河流所在直线于点D,交草地所在直线于点C,连接AC,CD,DB,根据轴对称性质,AC+CD+DB的最小值即为EF的长.试题解析:沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示:证明:在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR,BR,RT,ET,AT,∵A,E关于ON对称,∴AC＝EC,同理BD＝FD,FR＝BR,AT＝ET,∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF,AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR,∵ET＋TR＋FR＞EF,∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR,即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线,【课后巩固】1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米【答案】B【解析】【详解】解：作A的对称点，连接B交CD于P，，∴AP+PB=，此时值最小，在中，,，，∵点A到河岸CD的中点的距离为500米，∴B=AP+PB=1000米2．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（

）A．84° B．88° C．90° D．96°【答案】B【解析】【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点,,即可得出，进而得出即可得出答案．【详解】解：如图示，作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．延长，作于点，，，，，，且，，，故选：B．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．3．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（

）A．15° B．25° C．30° D．45°【答案】C【解析】【分析】可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE=2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF+FC=CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠DCF的度数．【详解】解：如图，取AB的中点G，连接CG交AD于点F，∵等边△ABC的边长为4，AE=2，∴点E是AC的中点，所以点G和点E关于AD对称，此时EF+FC=CG最小，根据等边三角形的性质可知：∠ECF=∠ACB=30°．所以∠ECF的度数为30°．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质找对称点．4．如图，在中，，是的平分线．若，分别是和上的动点，且的面积为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可知，根据角平分线的性质，先确定当取最小值时动点、的位置，再利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】过点作于点，交于点，过点作，如图所示∵平分，、分别是和上的动点∴，与关于对称∴此时，∵，∴∴的最小值是故选：C【点睛】本题是轴对称最短路线问题，主要考查了角平分线的性质、对称的性质以及三角形的面积公式，确定是解题的关键．5．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A． B． C．6 D．3【答案】D【解析】【详解】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=,∴CD=2CH=3．故选D．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．6．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN.【详解】解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，∴四边形AMNI为平行四边形，∴A