第11讲十字相乘法(原卷版+解析)

第11讲十字相乘法十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．为下列各数时，将关于的多项式分解因式．（1）； （2）．分解因式：（1）； （2）．分解因式：（1）； （2）．分解因式：．已知：关于的多项式可以在有理数范围内分解因式，求的值． 长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积.（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2 B．3 C．4 D．5（2022秋·七年级单元测试）下列多项式中有因式x-1的是（

）①②③④A．①② B．①③ C．②③ D．②④（2022秋·上海·七年级期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个（2022秋·上海·七年级专题练习）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）多项式77x2-13x-30可分解成（7x+a）（bx+c），其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值为A．0 B．10C．12 D．22（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：_______．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___．（2022秋·上海·七年级校考期中）因式分解：_____．（2022秋·上海·七年级校考期末）因式分解：___________．（2022秋·七年级单元测试）,,中的公因式为__________（2022秋·上海奉贤·七年级校联考期末）分解因式：_____．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）分解因式：（a2﹣a）2＋2（a2﹣a）﹣8（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）因式分解：(1)(2)（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：(1)(2)（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）因式分解：．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）分解因式：（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：________．（2022秋·上海·七年级校考期中）分解因式：________．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：（1）__________．（2）__________．（3）__________．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是______（填一个即可）.（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：(1)(2)(3)(4)（2022秋·上海金山·七年级校联考期末）分解因式：第11讲十字相乘法十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．为下列各数时，将关于的多项式分解因式．（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）； （2）．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式=；（2）原式=．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】直接十字相乘即可．分解因式：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意合并同类项与因式分解要彻底．已知：关于的多项式可以在有理数范围内分解因式，求的值．【答案】．【解析】设，可得，根据ab是有理 数，可得，； ，； ，； ，； ，； ，； ，； ，．【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用．长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积.【答案】15．【解析】由长方形周长为16cm，∴． ∵， ∴． 因式分解，得：， 即． ∴或者， 解得：． ∵，是整数， ∴． ∴该矩形的面积为15．【总结】利用因式分解以及根据周长求出边长再求面积，考察学生对题中条件的运用和分析能力．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．（2022秋·七年级单元测试）下列多项式中有因式x-1的是（

）①②③④A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根据十字相乘法分解因式后判断即可.【详解】①，②，③，④，含有因式x-1的是①②，故选A.【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.（2022秋·上海·七年级期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，∴整数m的值有4个，故选：C．【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，进而得出答案．【详解】解：∵∴甲为：x+7，乙为：x－7，丙为：x-2，∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，故选A．【点睛】本题主要考查的就是因式分解的应用，属于基础题型．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）多项式77x2-13x-30可分解成（7x+a）（bx+c），其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值为A．0 B．10C．12 D．22【答案】C【分析】利用十字相乘法将77x2-13x-30因式分解，求得a，b，c的值，即可得a＋b＋c的值．【详解】利用十字相乘法将77x2-13x-30因式分解，可得：77x2-13x-30=(7x-5)(11x+6)．∴a=-5，b=11，c=6，则a+b+c=（-5）+11+6=12．故选C．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练运用十字相乘法分解因式是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：_______．【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为，且是的一次项的系数，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___．【答案】【分析】根据十字相乘法因式分解即可．【详解】x2﹣7xy﹣18y2，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．（2022秋·上海·七年级校考期中）因式分解：_____．【答案】【分析】直接利用因式分解法分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】题目主要考查利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．（2022秋·上海·七年级校考期末）因式分解：___________．【答案】【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．（2022秋·七年级单元测试）,,中的公因式为__________【答案】2(x-2).【分析】把每个多项式分解因式，即可得到答案.【详解】∵=4x2(x-2);=2(x2-4)=2(x+2)(x-2)；=4(x2-x-2)=4(x+1)(x-2).∴,,中的公因式为2(x-2).故答案为2(x-2).【点睛】本题考查了公因式的定义，以及因式分解的方法，正确将各多项式因式分解是解答本题的关键.（2022秋·上海奉贤·七年级校联考期末）分解因式：_____．【答案】【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【详解】原式=（x-2）（x+5），故答案为：（x-2）（x+5）【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：．【答案】．【分析】设，将原式转化为，y代回利用十字相乘法分解即可求解.【详解】解：设，原式,,,,．故答案为．【点睛】本题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法分解因式以及换元思想的运用.（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）分解因式：（a2﹣a）2＋2（a2﹣a）﹣8【答案】【分析】将看错整体，根据十字相乘法进行因式分解，对于再次分解即可【详解】（a2﹣a）2＋2（a2﹣a）﹣8【点睛】本题考查了因式分解，分解彻底是解题的关键．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：【答案】【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可．【详解】解：==．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）用完全平方公式展开并合并同类项后，利用平方差公式分解即可；（2）把看做整体利用十字相乘法分解因式即可．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握并灵活选择方法是解题关键．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，然后根据十字相乘法，即可；（2）设，方程变为：；根据十字相乘法，把式子变形为：，把代入，式子为：，根据，十字相乘法为：，即可得到原式的因式分解．【详解】（1）．（2）设∴∵∴∵∴．【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是熟练掌握十字相乘法的方法．（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）因式分解：．【答案】(x-2)(x+1)(x-4)(x+3)【分析】先把x2－x看做一个整体，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．【详解】原式=（x2-x-2）（x2－x﹣12）=(x-2)(x+1)(x-4)(x+3)【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，难点在于要二次利用十字相乘法分解因式，整体思想的利用也比较关键．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）分解因式：【答案】【分析】先将y看作一个常数，利用十字相乘法原式可化为，再根据平方差公式即可.【详解】原式.【点睛】本题考查了十字相乘法和平方差公式法进行因式分解，熟记灵活运用这些方法是解题关键.（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【答案】【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【详解】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于熟练运用十字相乘法、公式法进行因式分解．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：________．【答案】【分析】根据十字相乘法可进行因式分解．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．（2022秋·上海·七年级校考期中）分解因式：________．【答案】【分析】直接根据十字相乘法分解即可．【详解】，故答案为．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：（1）__________．（2）__________．（3）__________．【答案】【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；（2）利用平方差公式分解因式求解即可；（3）利用十字相乘法分解因式求解即可；【详解】（1）；（2）；（3）．故答案为：（1），（2），（3）．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是______（填一个即可）.【答案】±1或±5．【分析】把-6分成3和-2