第11讲特殊锐角的三角比的值(原卷版+解析)

第11讲特殊锐角的三角比的值掌握30°、45°和60°这三个特殊锐角的三角比的值重点是熟练运用其进行相关计算难点是在几何图形中的灵活运用模块一：求特殊锐角的三角比的值特殊锐角的三角比的值30°45°1160°BAC如图，在中，，，AC=a．求的三角比的值．BAC填空： tan60°=______；cot45°=______；sin30°=______；cos45°=______．求满足下列条件的锐角： （1）； （2）．已知，在中，，cosB=，求tanA的值．模块二：特殊锐角的三角比的值的应用sin45°+cos45°的值等于（）A． B． C． D．1下列不等式，成立的是（）A． B．C． D．计算：．计算：．ABCD已知中，，，BC=15cm，求AB的长．ABCD已知中，，AC=15cm，cm，求AB的长．一、单选题（2023·上海长宁·统考一模）在中，，已知，，那么的余弦值为（

）A． B． C． D．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在中，，那么边的长为（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）如图，已知在中，，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于的是（

）A． B． C． D．（2023·上海静安·统考一模）如果，那么与的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定（2023·上海奉贤·统考一模）在直角坐标平面内有一点，设与x轴正半轴的夹角为，那么下各式正确的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海·九年级校考期中）在中，，，．下列四个选项中正确的是（

）A． B．C． D．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）中，，，那么三边是（）A． B． C． D．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，，那么的值为（

）A． B．2 C． D．二、填空题（2023·上海金山·统考一模）已知是锐角，且，那么_________．（2023·上海徐汇·统考一模）计算：_________________（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在由正三角形构成的网格图中，三点均在格点上，则的值为___________．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形中，，，如果将菱形绕着点D逆时针旋转后，点A恰好落在菱形的初始边上的点E处，那么点E到直线的距离为___________．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，与边相交于点F．如果，那么的正弦值等于_____．（2023·上海崇明·统考二模）如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么________．（2023·上海宝山·统考二模）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于__________．（2023·上海长宁·统考二模）如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么______．三、解答题（2023·上海奉贤·统考一模）计算：．（2023·上海金山·统考一模）计算：．（2023·上海长宁·统考一模）计算：．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（

）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的C．不变 D．不能确定在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（）A．2 B． C． D．如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿直线翻折后，点的对应点为点，如果，那么点到直线的距离为______．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是________．

如图，已知中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．(1)求的正切值；(2)求的值．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上（如图），且．(1)求证：是和的比例中项；(2)当点在线段的延长线上时，联结，且与互相垂直，求的长．第11讲特殊锐角的三角比的值掌握30°、45°和60°这三个特殊锐角的三角比的值重点是熟练运用其进行相关计算难点是在几何图形中的灵活运用模块一：求特殊锐角的三角比的值特殊锐角的三角比的值30°45°1160°如图，在中，，，AC=a．求的三角比的值．BAC【答案】，，，．BAC【解析】∵，∴，， ，．【总结】本题主要考查特殊角角的三角比的值．填空： tan60°=______；cot45°=______；sin30°=______；cos45°=______．【答案】，，，．【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值．求满足下列条件的锐角： （1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可得：，则； （2）由题意可得：，则．【总结】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用．已知，在中，，cosB=，求tanA的值．【答案】．【解析】∵，且∠B是锐角，∴． ∵， ∴ ∴．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系．模块二：特殊锐角的三角比的值的应用sin45°+cos45°的值等于（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】sin45°+cos45°=．下列不等式，成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A答案，正确应为：；B答案，正确应为：；C答案，正确应为：【总结】一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小．计算：．【答案】．【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．计算：．【答案】．【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．ABCD已知中，，，BC=15cm，求AB的长．ABCD【答案】AB=．【解析】解：过A作AD⊥BC，垂足为D． 设， 在中，， ∴，则； 在中，， ∴，则； ∵BC=15cm，∴，解得：． ∴．【总结】本题是对锐角三角比的直接运用，注意在运用锐角三角比时，要将锐角放在直角三角形中．已知中，，AC=15cm，cm，求AB的长．图1ABCDA图1ABCDABCD图2【解析】过C作CD⊥BA，垂足为D．在中，，AC=15，∵， ∴．在中， ∵，∴．在图1中，；在图2中，．综上所述：AB的长为或．【总结】在三角形中，已知一个角的度数，以及这个角的对边和一条邻边的长时，要注意分类讨论．一、单选题（2023·上海长宁·统考一模）在中，，已知，，那么的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用锐角三角函数求出结果即可．【详解】解：如图，在中，，，，，故选C．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦是解题的关键．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在中，，那么边的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，将代入即可求得．【详解】如图所示：在中，，在中，，∵，∴．故选：C【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键．（2023·上海·一模）如图，已知在中，，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定义解答即可．【详解】在中，，故B正确，不符合题意；在中，，故D正确，不符合题意；∵，∴，在中，，故C正确，不符合题意；无法说明，故A不一定正确，符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，若，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边．（2023·上海静安·统考一模）如果，那么与的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定【答案】B【分析】，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可．【详解】∵，正弦函数随着角的增大而增大，∴当时，，，即，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大．（2023·上海奉贤·统考一模）在直角坐标平面内有一点，设与x轴正半轴的夹角为，那么下各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，结合三角函数逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意得，如图所示，∴，∴，，，，故选C．【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，解题的关键是熟练掌握几个三角函数的定义．（2022秋·上海·九年级校考期中）在中，，，．下列四个选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据勾股定理求得，进而求得的三角函数值，即可求解．【详解】解：如图，在中，，，，∴，∴，，，．故选：B【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）中，，，那么三边是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意设，得出，再由勾股定理得出，得出三边的比即可．【详解】解：∵，，设，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，，那么的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义直接求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．二、填空题（2023·上海金山·统考一模）已知是锐角，且，那么_________．【答案】/45度【分析】直接根据特殊角的三角函数值解答即可．【详解】∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．（2023·上海徐汇·统考一模）计算：_________________【答案】/【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在由正三角形构成的网格图中，三点均在格点上，则的值为___________．【答案】/【分析】根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出．【详解】解：由正三角形的性质可知，设正三角形构成的网格线段长为，在中，，，根据勾股定理，可得，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形中，，，如果将菱形绕着点D逆时针旋转后，点A恰好落在菱形的初始边上的点E处，那么点E到直线的距离为___________．【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，，则，，，，根据E到直线的距离为，计算求解即可．【详解】解：如图，菱形绕着点D逆时针旋转后为菱形，由旋转、菱形的性质可知，，∴，，∴，∴，∴E到直线的距离为，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，与边相交于点F．如果，那么的正弦值等于_____．【答案】【分析】通过证明得到，，在中，根据勾股定理列出等量关系式，得出边之间的关系，即可求解．【详解】解：∵，∴设，∵由沿折叠得到，∴，，在和中，，∴，∴，，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，整理得：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，以及解直角三角形的方法和步骤．（2023·上海崇明·统考二模）如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么________．【答案】【分析】如图，延长交于，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可．【详解】解：如图，延长交于，∵点D是的重心，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵和都是等边三角形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．（2023·上海宝山·统考二模）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于__________．【答案】或【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”，则∴∴∴；当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线，作于E，则，∵，∴，∴，∵，，，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，解得．综上，的长等于或．故答案为：或．【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．（2023·上海长宁·统考二模）如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么______．【答案】5【分析】根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∵点E是边的中点，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．三、解答题（2023·上海奉贤·统考一模）计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值，分母有理化，实数的混合运算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查三角函数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值及其混合运算是解题的关键．（2023·上海金山·统考一模）计算：．【答案】【分析】先将特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的计算即可．【详解】．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，以及二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．（2023·上海长宁·统考一模）计算：．【答案】【分析】代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则进行计算即可．【详解】解：原式【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（

）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的C．不变 D．不能确定【答案】C【分析】由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正切的定义得到锐角的正切函数值也不变．【详解】解：因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，所以锐角的大小没改变，所以锐角的正切函数值也不变．故选：C．【点睛】本题考查了正切的定义，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】如图，由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：过点A作轴于点B，如图所示：由题意得：，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查三角函数及坐标与图形，熟练掌握求一个角的正切值是解题的关键．如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿直线翻折后，点的对应点为点，如果，那么点到直线的距离为______．【答案】【分析】过点作于点证明，求出利用余弦、正弦，等腰三角形的判定与性质求，，进而可得的长．【详解】解：过点作于点．，，由翻折变换的性质可知，，∴，∴，，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定与性质，正弦、余弦．解题的关键在于添加辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是________．

【答案】2【分析】过点作于点M，由折叠得再证明从