第14讲因式分解(原卷版+解析)八年级数学暑假预习课(人教版)

第14讲因式分解【学习目标】1、使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.2、了解公因式概念和提公因式的方法.3、会用提公因式法分解因式.4、掌握平方差公式并应用于因式分解.5、理解完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式.【基础知识】知识点01因式分解因式分解：把多项式化成的形式；它是一种恒等变形.如无论字母a和b取何值,与的值总是相等的.【拓展】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,如故因式分解是否正确,通常可以用整式乘法进行检验,看乘得的结果是否等于原多项式.(2)若无特殊说明,一般是要求在有理数范围内进行因式分解.【注意】一个式子的恒等变形是因式分解应满足以下三个条件:(l)式子是的形式;(2)每个因式都是;(3)结果.知识点02公因式解题步骤解释举例①看系数系数为整数时，公因式的系数是各项系数绝对值的6,4,2的是2，故公因式的系数为②看字母公因式中的字母应是各项中上式中各项都含有a,b,所以公因式中必含字母③看字母次数公因式中字母的次数是相同字母的a的幂是1次,b的是2次,所以这个多项式的公因式是【注意】(1)多项式的首项为负时,确定的公因式的系数相应为负.(2)公因式可以是单项式,也可以是多项式.(3)要善于发现隐蔽的公因式，例如:(a－b)与(b－a)是一对,但它们可以通过变形化为含有相同因式的式子.知识点03提公因式法因式分解用提公因式法分解因式的步骤及方法如下:解题步骤解释举例确定公因式可按照确定公因式的方法先确定,再确定,最后确定字母公因式是提取公因式并确定另一个因式用原多项式公因式,所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式知识点04用平方差公式因式分解法则两个数的平方差,等于这两个数的与这两个数的的公式a2－b2=,其中a,b可以是单项式,也可以是多项式使用条件(1)含有部分;(2)两部分的符号;(3)每一部分的绝对值都可以写成某个数(或式子)的【注意】将一个给定项式分解因式时,首先考虑的是提公因式法,然后才是用平方差公式进行因式分解.知识点05运用完全平方公式因式分解公式,其中a,b可以是单项式或多项式使用条件(1)含有部分;(2)有两部分可以分别写成某个数(或式子)的,并且这两部分符号;(3)第三部分是这两个数(或式子)的倍(注意符号)【注意】将一个给定项式分解因式时，首先考虑的是提公因式法,然后才是用完全平方公式因式分解.【考点剖析】考点一：判断是否是因式分解例1．下列从左到右的变形中,是因式分解的有；考点二：提公因式法因式分解例2．分解因式：【方法总结】(1)如果多项式第一项的系数是负的,那么一般提出“－”号,同时多项式中的各项都变号.(2)如果多项式中,某些项的系数为小数(或分数),那么一般要提取小数(或分数),使多项式的各项的系数为整数.如0.5x2—2xy=0.5.x·(x－4y).(3)当一个式子的公因式是多项式时,可以把该多项式看作一个整体,提取公因式时比较简便.(4)要检验因式分解的结果是否正确，可以用整式的乘法进行验证.考点三：用平方差公式因式分解例3．分解因式【方法总结】用平方差公式分解因式的一般步骤第1步:观察多项式特点,确定a,b;第2步:把多项式的两项写成两数(或式子)的平方;第3步:因式分解成两数(或式子)和与两数(或式子)差的积的形式;第4步:因式分解的结果能化简的要进行化简.考点四：用完全平方公式因式分解例4．分解因式【方法总结】用完全平方公式分解因式的一般步骤第1步:观察多项式特点,确定a,b;第⒉步:把多项式写成的形式;第3步:因式分解成(a±b)2的形式;第4步:因式分解结果能化简的要进行化简.考点五：提公因式法与平方差公式的综合运用例5．分解因式:a3—16a=；考点六：提公因式法与完全平方公式的综合运用例6．分解因式:；考点七：利用因式分解求式子的值例7．若x＋y=10,xy=1,则的值是；【方法总结】整体思想在式子的化简与求值方面有广泛的应用,有的式子求值往往不直接给出字母的取值,而是给出一个式子的值,且该式中的字母无法具体求出,此时我们应该考虑将待求式子变形,使之能用已知式子表示,从而利用整体代入的方式求值.考点八：利用因式分解简化计算例8．计算：【方法总结】连续运算寻找规律巧计算对于这种连续运算的问题,直接计算不太实际,应利用几组比较小的数进行分析、对比,找出运算的规律,中间类似的计算相同,这样可以简化计算过程.例如,本题就是利用平方差公式起到简化作用的.考点九：因式分解在实际问题中的应用例9．有一块长和宽分别为a,b的长方形地基,若它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为；【方法总结】实际问题转化为数学问题后,若列出的式子中含有公因式,且提取公因式后另一因式能够凑整,用提取公因式计算较简单;若列出的式子能够用公式法分解因式,则先分解因式后进行计算较简单.考点十：因式分解与三角形知识的综合应用例10．若△ABC的三边a,b,c满足,则这个三角形的形状是（）A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形【方法总结】用因式分解判断三角形形状当题目中有平方项且要求判断三角形的形状时,往往需要先借助公式法将式子分组进行因式分解,再应用非负数的性质求出三边长或三边之间的关系,从而得到三角形的形状.【即学即练】1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解2．多项式与多项式的公因式是（）A． B． C． D．3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（

）．A． B．C． D．4．把分解因式，结果正确的是()A． B．C． D．5．分解因式时，应提取的公因式是A．3xy B． C． D．6．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣47．已知（

）.A．3 B．-3 C．5 D．-59．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是(

)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．不能确定10．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（）A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定11．若，则的值是A．3 B．2 C．1 D．―112．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值为，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（）A．201030 B．201010 C．301020 D．20301013．分解因式：=______．14．分解因式：2a3﹣8a=________．15．=_______．16．分解因式:(1)

(2)17．若，且.(1)求的值.(2)求的值.【课后巩固】二、课后巩固(共0分)1．下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；②x3+x=x(x2+1)；③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．多项式中，各项的公因式是（

）A． B．C． D．3．下列四个多项式中，能因式分解的是（

）A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y4．多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）25．多项式12ab3c＋8a3b的公因式是()A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab6．多项式因式分解为（

）A． B． C． D．7．若，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．128．若a+b=3,x+y=1,则代数式a2+2ab+b2-x-y+2009的值是(

)A．2017 B．2014 C．2015 D．20169．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形10．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（

）A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定11．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣112．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（

）A．56 B．60 C．62 D．8813．分解因式：=______．14．因式分解：__________．15．=_______．16．因式分解：（1）

（2）（3）

（4）17．对于一个四位自然数M．如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1．个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“进步数”．对于一个“进步数”，它的千位数字和百位数字组成的两位数为．十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：．例如：，因为，，故数M是一个“进步数”．，则．(1)请判断2367，1257是不是“进步数”，说明理由．若是，请求出的值；(2)若四位数N为“进步数”，N的千位数字为，个位数字为．当与N各数位上的数字之和能被13整除时，求出所有满足条件的“进步数”N的值．第14讲因式分解【学习目标】1、使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.2、了解公因式概念和提公因式的方法.3、会用提公因式法分解因式.4、掌握平方差公式并应用于因式分解.5、理解完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式.【基础知识】知识点01因式分解因式分解：把多项式化成几个整式乘积的形式；它是一种恒等变形.如无论字母a和b取何值,与的值总是相等的.【拓展】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,如故因式分解是否正确,通常可以用整式乘法进行检验,看乘得的结果是否等于原多项式.(2)若无特殊说明,一般是要求在有理数范围内进行因式分解.【注意】一个式子的恒等变形是因式分解应满足以下三个条件:(l)式子是乘积的形式;(2)每个因式都是整式;(3)结果分解彻底.知识点02公因式解题步骤解释举例①看系数系数为整数时，公因式的系数是各项系数绝对值的最大公因数6,4,2的最大公因数是2，故公因式的系数为2②看字母公因式中的字母应是各项中都含有的字母上式中各项都含有a,b,所以公因式中必含字母a,b③看字母次数公因式中字母的次数是相同字母的最低次幂a的最低次幂是1次,b的最低次幂是2次,所以这个多项式的公因式是2ab2【注意】(1)多项式的首项为负时,确定的公因式的系数相应为负.(2)公因式可以是单项式,也可以是多项式.(3)要善于发现隐蔽的公因式，例如:(a－b)与(b－a)是一对相反数,但它们可以通过变形化为含有相同因式的式子.知识点03提公因式法因式分解用提公因式法分解因式的步骤及方法如下:解题步骤解释举例确定公因式可按照确定公因式的方法先确定系数,再确定字母,最后确定字母次数公因式是提取公因式并确定另一个因式用原多项式除以公因式,所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式知识点04用平方差公式因式分解法则两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积公式a2－b2=(a+b)(a－b),其中a,b可以是单项式,也可以是多项式使用条件(1)含有两部分;(2)两部分的符号相反;(3)每一部分的绝对值都可以写成某个数(或式子)的平方【注意】将一个给定二项式分解因式时,首先考虑的是提公因式法,然后才是用平方差公式进行因式分解.知识点05运用完全平方公式因式分解公式,其中a,b可以是单项式或多项式使用条件(1)含有三部分;(2)有两部分可以分别写成某个数(或式子)的平方,并且这两部分符号相同;(3)第三部分是这两个数(或式子)乘积的2倍(注意符号)【注意】将一个给定三项式分解因式时，首先考虑的是提公因式法,然后才是用完全平方公式因式分解.【考点剖析】考点一：判断是否是因式分解例1．下列从左到右的变形中,是因式分解的有；【解析】序号分析结论序号分析结论①是单项式不是③等式右边不是乘积形式不是②变形是整式乘法不是④不是整式不是③符合因式分解的概念是⑤符合因式分解的概念是【答案】③⑥考点二：提公因式法因式分解例2．分解因式：【解析】解：【方法总结】(1)如果多项式第一项的系数是负的,那么一般提出“－”号,同时多项式中的各项都变号.(2)如果多项式中,某些项的系数为小数(或分数),那么一般要提取小数(或分数),使多项式的各项的系数为整数.如0.5x2—2xy=0.5.x·(x－4y).(3)当一个式子的公因式是多项式时,可以把该多项式看作一个整体,提取公因式时比较简便.(4)要检验因式分解的结果是否正确，可以用整式的乘法进行验证.考点三：用平方差公式因式分解例3．分解因式【解析】解：【方法总结】用平方差公式分解因式的一般步骤第1步:观察多项式特点,确定a,b;第2步:把多项式的两项写成两数(或式子)的平方;第3步:因式分解成两数(或式子)和与两数(或式子)差的积的形式;第4步:因式分解的结果能化简的要进行化简.考点四：用完全平方公式因式分解例4．分解因式【解析】解：【方法总结】用完全平方公式分解因式的一般步骤第1步:观察多项式特点,确定a,b;第⒉步:把多项式写成的形式;第3步:因式分解成(a±b)2的形式;第4步:因式分解结果能化简的要进行化简.考点五：提公因式法与平方差公式的综合运用例5．分解因式:a3—16a=；【答案】a(a＋4)(a－4)【分析】本题考查多项式的因式分解﹐先提取公因式a,再利用平方差公式分解.【解析】.考点六：提公因式法与完全平方公式的综合运用例6．分解因式:；【答案】【分析】本题考查运用两种方法分解因式,先提取公因式x,再运用完全平方公式分解.【解析】考点七：利用因式分解求式子的值例7．若x＋y=10,xy=1,则的值是；【答案】98【分析】解题的关键是能够将用含x+y和xy的式子表示出来,进而整体代入求值.【解析】解:.【方法总结】整体思想在式子的化简与求值方面有广泛的应用,有的式子求值往往不直接给出字母的取值,而是给出一个式子的值,且该式中的字母无法具体求出,此时我们应该考虑将待求式子变形,使之能用已知式子表示,从而利用整体代入的方式求值.考点八：利用因式分解简化计算例8．计算：【答案】【分析】括号内的算式均可以利用公式法进行因式分解,这是解答本题的关键.利用平方差公式对各项算式因式分解,再利用互为倒数的两数之积为1,进行计算,求出结果即可.【解析】【方法总结】连续运算寻找规律巧计算对于这种连续运算的问题,直接计算不太实际,应利用几组比较小的数进行分析、对比,找出运算的规律,中间类似的计算相同,这样可以简化计算过程.例如,本题就是利用平方差公式起到简化作用的.考点九：因式分解在实际问题中的应用例9．有一块长和宽分别为a,b的长方形地基,若它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为；【答案】70【分析】把所给式子进行因式分解,整理为与所给周长和面积相关的式子,代入求值.【解析】由题意,知a+b=7,ab=10.a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70.【方法总结】实际问题转化为数学问题后,若列出的式子中含有公因式,且提取公因式后另一因式能够凑整,用提取公因式计算较简单;若列出的式子能够用公式法分解因式,则先分解因式后进行计算较简单.考点十：因式分解与三角形知识的综合应用例10．若△ABC的三边a,b,c满足,则这个三角形的形状是（）A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形【答案】D【分析】先将原式转化为完全平方公式,再根据非负数的性质计算.【解析】解：因为，所以两边都乘2,得，，根据非负数的性质,得所以a=b=c,所以这个三角形是等边三角形.故选D.【方法总结】用因式分解判断三角形形状当题目中有平方项且要求判断三角形的形状时,往往需要先借助公式法将式子分组进行因式分解,再应用非负数的性质求出三边长或三边之间的关系,从而得到三角形的形状.【即学即练】1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．2．多项式与多项式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】解：把多项式分别进行因式分解，多项式，多项式=，因此可以求得它们的公因式为（x-1）．故选A3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可．【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，只有符合该定义，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4．把分解因式，结果正确的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.【详解】==，故选C．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提(公因式)，二套(公式)，三彻底.5．分解因式时，应提取的公因式是A．3xy B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．【详解】解：6x3y2-3x2y3=3x2y2（2x-y），因此6x3y2-3x2y3的公因式是3x2y2．故选D.【点睛】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的.6．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.

不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；B.

不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；C.符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故正确；D.，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误.故选C.【点睛】本题考查因式分解-运用公式法.7．已知（

）.A．3 B．-3 C．5 D．-5【答案】A【解析】【分析】观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．【详解】∵m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴m4-m3-m+2=m2(m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，故选A．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.8．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．【详解】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=×（1+4+1）=3，故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是(

)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a=b=c，即可解决问题．【详解】∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0；∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．故选B．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．10．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（）A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定【答案】B【解析】【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．【详解】解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，∴（a－b）2－c2的值是负数．故选B．【点睛】本题考查的是平方差公式，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.11．若，则的值是A．3 B．2 C．1 D．―1【答案】A【解析】【详解】试题分析：所求式子后两项提取﹣2变形后，将整体代入计算即可求出值：∵，∴．故选A．12．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值为，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（）A．201030 B．201010 C．301020 D．203010【答案】B【解析】【详解】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B．13．分解因式：=______．【答案】a（b+1）（b﹣1）【解析】【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），故答案为a（b+1）（b﹣1）．14．分解因式：2a3﹣8a=________．【答案】2a（a+2）（a﹣2）【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】．15．=_______．【答案】【解析】【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．【详解】解：====故答案为：．【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．16．分解因式:(1)

(2)【答案】（1）2(x+2)(x-2)；（2）.【解析】【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式计算即可得出答案；（2）根据提公因式法计算即可得出答案.【详解】解：（1）原式==2(x+2)(x-2)（2）原式=【点睛】本题考查的是因式分解的方法：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法.17．若，且.(1)求的值.(2)求的值.【答案】（1）12；（2）61.【解析】【分析】（1）化简(a-2)(b-2)得到一个含ab和a+b的式子，即可得出答案；（2）将分解成，再利用完全平方公式进行计算即可得出答案.【详解】解：（1）∵又，∴解得：ab=12∴ab的值为12.（2）====61所以的值为61.【点睛】本题主要考查了对因式分解应用的掌握，关键在于在解题是要找出规律，使其变得简单.【课后巩固】二、课后巩固(共0分)1．下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；②x3+x=x(x2+1)；③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．2．多项式中，各项的公因式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】分别对系数、字母a、字母b、字母c逐个分析即可得到答案．【详解】解：由题意可得：系数的公因式为4，字母a的公因式为，字母b的公因式为b，,字母c无公因式，所以各项的公因式是．故选：C．【点睛】本题考查了求多项式的公因式，解题的关键是掌握求多项式公因式的方法．3．下列四个多项式中，能因式分解的是（

）A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；B是完全平方公式的形式，故B能分解因式；故选B．4．多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2【答案】B【解析】【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．故选B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．5．多项式12ab3c＋8a3b的公因式是()A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab【答案】D【解析】【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【详解】，4ab是公因式，故答案选：D．【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“−1”．6．多项式因式分解为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：故答案选：A．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．7．若，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】【详解】∵a+b=3，∴a2-b2+6b=(a+b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9．故选C8．若a+b=3,x+y=1,则代数式a2+2ab+b2-x-y+2009的值是(

)A．2017 B．2014 C．2015 D．2016【答案】A【解析】【分析】先将a2+2ab+b2=（a+b）2，再整体代入即可得出结论．【详解】∵a+b=3，x+y=1，∴a2+2ab+b2-x-y+2009=（a+b）2-（x+y）+2009=32-1+2009=2017，故选A．【点睛】此题是因式分解的应用，主要考查了完全平方公式，提公因式，解本题的关键是用完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2．9．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选C．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（

）A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定【答案】C【解析】【详解】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．∵a，b，c是三角形的三边．∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．∴a2-2ab+b2-c2＜0．故选：C．11．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1【答案】A【解析】【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【详解】解:xy＝﹣3，x+y＝2,x2y+xy2=xy(x+y)=-32=-6.故答案：A.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（

）A．56 B．60 C．62 D．88【答案】B【解析】【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；故选：B．【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．13．分解因式：=______．【答案】x（x+2）（x﹣2）．【解析】【详解】解：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．14．因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．15．=_______．【