2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式含答案详解与评分标准）S60A6

2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S60A6第页2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S60A6适用对象：黑龙江省哈尔滨市高三学生期中阶段限时训练考试时间：120分钟满分：150分答题说明：全卷共22题。请在规定时间内独立完成，书写过程清楚，计算结果准确。

2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S60A6学校：________________班级：____________姓名：____________考号：________________考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.本卷以期中阶段主干知识为载体，重点考查数形结合、函数方程、不等式转化与参数讨论。2.选择题每小题只有一个正确选项；填空题只填写最终结果；解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。3.可使用黑色签字笔作答，作图题可用铅笔辅助；请保持卷面整洁。选择题答题栏123456789101112一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.已知集合A={x|x²−4x+3≤0}，B={x||x−2|<2}，则A∩B=（）A.[1,3]B.(1,3)C.(0,4)D.(−∞,1]∪[3,+∞)2.函数f(x)=ln(x+1)−ln(3−x)的定义域为（）A.[−1,3]B.(−1,3)C.(−∞,−1)∪(3,+∞)D.R3.若直线y=kx+1与圆x²+(y−1)²=4有两个不同交点，则实数k的取值范围是（）A.k>0B.k<0C.k=0D.k∈R4.不等式√(x+1)≥x−1的解集为（）A.[−1,3]B.[−1,1]C.[1,3]D.(−∞,3]5.若二次函数y=x²−2ax+1在区间[−1,2]上的最小值为−3，则a的值为（）A.−2B.0C.2D.36.函数y=|x−1|+|x+2|的最小值为（）A.2B.3C.5D.67.方程e^x=ax有两个不同实根，则实数a的取值范围是（）A.(−∞,0)B.(0,e)C.{e}D.(e,+∞)8.曲线y=x³−3x在x=2处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为（）A.64/9B.32/9C.128/9D.256/99.圆x²+y²=4被直线y=x+m截得的弦长为2√2，则|m|=（）A.1B.2C.2√2D.410.若不等式ax²+2x+1≥0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（）A.(0,1)B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(−∞,−1]11.函数y=|x|与y=x²−m的图象恰有三个公共点，则m=（）A.0B.1C.2D.312.若不等式lnx≤k(x−1)对任意x>0恒成立，则k=（）A.0B.1C.k≥1D.不存在二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.不等式(x−1)/(x+2)≥0的解集为：________________。14.若关于x的方程x²−2x+a=0有两个不同实根且均在区间(0,3)内，则a的取值范围为：________________。15.过点P(2,1)的直线与坐标轴正半轴分别交于A，B两点，则△OAB面积的最小值为：________________。16.若函数f(x)=x³−3x+m有三个不同零点，则m的取值范围为：________________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知A={x|x²−7x+10≤0}，B={x|(x−a)(x−a−2)<0}。（1）求集合A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围。解答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（12分）已知抛物线y=x²−2mx+2m与直线y=x+1。（1）当m=1时，求两图象交点的坐标；（2）若两图象有两个不同交点，且交点横坐标均为正，求m的取值范围。解答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19.（12分）设函数f(x)=lnx−kx+1（x>0）。（1）当k=1时，证明f(x)≤0；（2）若f(x)≤0对任意x>0恒成立，求实数k的取值范围。解答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.（12分）已知圆C：x²+y²=4，点P(t,0)，其中t>2。从P向圆C作两条切线，切点分别为A，B。（1）求切点弦AB所在直线的方程；（2）若△PAB的面积为3√3，求t的值。解答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21.（12分）数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=√(aₙ+2)（n∈N*）。（1）证明：1≤aₙ<2；（2）证明：{aₙ}为递增数列；（3）结合函数图象思想，说明{aₙ}的极限。解答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22.（12分）设a为实数，函数fₐ(x)=x²+a/x（x>0）。（1）当a>0时，求fₐ(x)的最小值；（2）求使方程fₐ(x)=3有两个不同正实根的a的取值范围；（3）当0<a<2时，设这两个正实根为α，β，证明αβ<1。解答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S60A6参考答案与解析一、答案速查123456789101112ABDACBDCBCAB题号答案13(−∞,−2)∪[1,+∞)14(0,1)15416(−2,2)二、逐题解析与易错提醒1.答案：A解析：x²−4x+3≤0化为(x−1)(x−3)≤0，得A=[1,3]；|x−2|<2得B=(0,4)，故A∩B=[1,3]。易错提醒：端点1、3来自“≤”，应保留；B的端点0、4不影响交集。2.答案：B解析：对数真数均为正：x+1>0且3−x>0，得−1<x<3。易错提醒：不能把两个对数的真数相加后再判断。3.答案：D解析：圆心为(0,1)，直线y=kx+1恒过圆心，因此与圆总有两个不同交点。易错提醒：只要直线经过圆心且圆半径非零，就不需要再讨论斜率符号。4.答案：A解析：定义域x≥−1。当x≤1时，右端x−1≤0，不等式恒成立；当x>1时，两边平方得x+1≥(x−1)²，即x(x−3)≤0，得1<x≤3。合并为[−1,3]。易错提醒：平方前要先分右端正负，否则会扩大或缩小解集。5.答案：C解析：函数顶点横坐标为a。若最小值为−3，则当a∈[−1,2]时有1−a²=−3，得a=±2，其中只有a=2在区间内。易错提醒：a=−2虽满足方程，但顶点不在给定区间，不能取。6.答案：B解析：|x−1|+|x+2|表示数轴上点x到1与−2的距离之和，在区间[−2,1]上最小，最小值为1−(−2)=3。易错提醒：不要机械拆绝对值到三个区间后遗漏最小区间。7.答案：D解析：方程e^x=ax的实根必有x>0且a=e^x/x。函数φ(x)=e^x/x（x>0）在x=1处取最小值e，故有两个不同实根当且仅当a>e。易错提醒：a=e时只有一个重根，不是两个不同实根。8.答案：C解析：y'=3x²−3，x=2时斜率为9，点为(2,2)，切线为y−2=9(x−2)，即y=9x−16。截距分别为16/9与−16，面积为(1/2)×(16/9)×16=128/9。易错提醒：面积取正值，不能把y轴截距的负号带入面积。9.答案：B解析：圆心到直线x−y+m=0的距离d=|m|/√2。弦长L=2√(4−d²)=2√2，得4−m²/2=2，故|m|=2。易错提醒：弦长公式中的半径为2，不是直径4。10.答案：C解析：二次不等式对全体实数恒成立，需要a>0且判别式Δ=4−4a≤0，故a≥1。a=0时为一次式，不能恒成立。易错提醒：恒成立问题要同时看开口方向和判别式。11.答案：A解析：设t=|x|≥0，则x²=t²。由|x|=x²−m得t=t²−m，即t²−t−m=0。一个正t对应两个交点，t=0对应一个交点。恰有三个交点需t=0为根且另有一个正根，故m=0。易错提醒：把t=0也当成两个点会导致交点个数错误。12.答案：B解析：不等式等价于对x>1有k≥lnx/(x−1)，对0<x<1有k≤lnx/(x−1)。该比值两侧的极限均趋于1，且由lnx≤x−1得临界值为1，故k=1。易错提醒：除以x−1时必须注意符号在x<1时反向。13.答案：(−∞,−2)∪[1,+∞)解析：分式不等式的零点为1，间断点为−2。符号表得解集为(−∞,−2)∪[1,+∞)。易错提醒：x=−2使分母为零，不能写入解集。14.答案：(0,1)解析：方程有两个不同实根需Δ=4−4a>0，即a<1；两根之和为2，乘积为a。两根均为正需a>0，且因两根正、和为2，均小于3自动成立，故0<a<1。易错提醒：“在(0,3)内”不需要额外推出a<3，关键是正根和判别式。15.答案：4解析：设直线在正半轴截距为a、b，则a>0，b>0，且2/a+1/b=1。由2/a+1/b≥2√(2/(ab))，得ab≥8，面积S=ab/2≥4。易错提醒：截距式中a、b表示截距，不是题目中的参数；等号条件为2/a=1/b。16.答案：(−2,2)解析：f'(x)=3x²−3，极大值在x=−1处为m+2，极小值在x=1处为m−2。三不同零点需极大值>0且极小值<0，得−2<m<2。易错提醒：端点m=±2时出现重根，不是三个不同零点。

三、解答题评分标准17.（10分）由x²−7x+10≤0得(x−2)(x−5)≤0，所以A=[2,5]。（4分）由(x−a)(x−a−2)<0得B=(a,a+2)。（2分）B⊆A等价于a≥2且a+2≤5，解得2≤a≤3。（4分）易错提醒：B是开区间，但端点贴住A的端点仍可满足包含关系。18.（12分）当m=1时，联立得x²−3x+1=0，解得x=(3±√5)/2。（4分）对应y=x+1，交点为((3+√5)/2,(5+√5)/2)、((3−√5)/2,(5−√5)/2)。（2分）一般地联立得x²−(2m+1)x+2m−1=0，判别式Δ=4m²−4m+5>0恒成立。（2分）两个横坐标均为正，需根和2m+1>0、根积2m−1>0，故m>1/2。（4分）易错提醒：有两个交点不只看判别式，还要检查两个根的符号。19.（12分）当k=1时，f(x)=lnx−x+1。设g(x)=x−1−lnx，则g'(x)=(x−1)/x，g(x)在x=1处最小，最小值0。（5分）因此lnx≤x−1，即f(x)≤0。（1分）若k≤0，则x→+∞时f(x)不能恒小于等于0，故k>0。（2分）k>0时f'(x)=1/x−k，最大值在x=1/k处，最大值为−lnk。恒有f(x)≤0等价于−lnk≤0，得k≥1。（4分）易错提醒：恒成立应转化