2024-2025学年北京西城区高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知函数f（x）＝sinx，则f'（x）＝（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx D．﹣sinx2．（4分）已知在等差数列{an}中，a2＝1，a5＝8，则公差d的值为（）A．2 B．73 C．833．（4分）小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（）A．421 B．521 C．134．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（4分）下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x3﹣x B．f（x）＝x3+1 C．f（x）＝x3+x D．f（x）＝x3+x26．（4分）已知等差数列{an}满足a3﹣a1＝4，且a2是a1和a4的等比中项，则a3＝（）A．6 B．8 C．6或8 D．107．（4分）某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为23，合格品率为14，次品率为A．172 B．136 C．1248．（4分）若函数f（x）＝ex（x2﹣1）的两个极值点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的值为（）A．2 B．6 C．22 9．（4分）若数列{an}是存在负数项的无穷等比数列，则“数列{an}有最小项”是“数列{|an|}有最大项”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（4分）若函数f(x)=ex(x−1)−A．a≥12 B．−32≤a≤2 C．1≤a≤2二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知函数f(x)=lnxx，则f（x）的定义域是，f′（1）＝12．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝9，则S17＝．13．（5分）已知随机变量X的分布列如下：X0123P117p1p2p3则P（X≥1）＝；若117，p1，p2成公比为3的等比数列，则p3＝14．（5分）已知曲线C：y＝x3﹣6x2+11x﹣6，点A在曲线C上，则在点A处切线斜率的最小值为；若点B为y轴的一个动点，且曲线C上至少有两条不同的切线经过点B，则动点B的轨迹的长度为．15．（5分）已知{an}是首项为a，公差为2的无穷等差数列，{bn}是首项为1，公比为2的无穷等比数列，记λn①当0＜a＜2时，有λ1＜λ2＜λ3；②存在a∈R，使得{λn}的前2025项为单调递增数列；③对于任意a＞0，{λn}从第三项起均为单调递减数列；④当且仅当a＝2时，存在k∈N*，使得λk＝λk+1．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx+b，a，b∈R，且f′（1）＝0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥1恒成立，求b的取值范围．17．（13分）已知在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，a2＝b2≠1，等差数列{an}的前n项和为Sn，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列{an}和{bn}存在，并解答下列问题．条件①：S7＝7b3；条件②：a2，a3，b3成等差数列；条件③：a1，b2，a2成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}的通项公式为cn＝2an﹣17，求数列{cn}的前n项和的最小值，以及此时数列{bn}的前n项和的值．18．（14分）商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动．如表是2024年某地区每个月苹果的价格指数：月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月指数151152149146151147151154152151152153（Ⅰ）若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率；（Ⅱ）若从2024年1～6月随机抽取3个月，从7～12月随机抽取1个月，记X为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若从2024年1～4月、5～8月、9～12月各随机抽取1个月，分别记X1、X2、X3为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则D（X1）、D（X2）、D（X3）中哪个最大？（结论不要求证明）19．（15分）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为14，乙每次投中的概率为12，丙每次投中的概率为p（0＜（Ⅰ）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；（Ⅱ）丙投篮3次，当p为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值．20．（15分）已知函数f(x)=lnx+a（Ⅰ）当a=1（i）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为e，求a的值．21．（15分）已知数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}满足：①a1，b1，c1，d1均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，an+1＝an﹣bn，bn+1＝bn﹣cn，cn+1＝cn﹣dn，dn+1＝dn﹣an．（Ⅰ）若a1＝1，b1＝2，c1＝3，d1＝4，求a2，b2，c2，d2，a3，b3，c3，d3；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得an，bn，cn，dn全为0？证明你的结论；（Ⅲ）求证：存在正整数n，使得an，bn，cn，dn中有一个数的绝对值大于2025．

2024-2025学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ABBCCADCCB一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知函数f（x）＝sinx，则f'（x）＝（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx D．﹣sinx【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝sinx，f（x）的导函数f′（x）＝cosx，故选：A．【点评】本题考查了基本导数公式，属于基础题．2．（4分）已知在等差数列{an}中，a2＝1，a5＝8，则公差d的值为（）A．2 B．73 C．83【分析】结合等差数列的性质，即可求解．【解答】解：在等差数列{an}中，a2＝1，a5＝8，则3d=a故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．3．（4分）小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（）A．421 B．521 C．13【分析】根据题意，由古典概型公式和排列组合数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，在7个球中任取2个球，有C7若两球的颜色相同为中奖，有1+1+C则该抽奖活动的中奖率为521故选：B．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．4．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{an}，根据S7＝381即可求出．【解答】解：设顶层的灯数是a1，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{an}，由题可得S7=a1所以塔的顶层的灯数是3．故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．5．（4分）下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x3﹣x B．f（x）＝x3+1 C．f（x）＝x3+x D．f（x）＝x3+x2【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可求解．【解答】解：A，f（0）＝f（1）＝0，显然不单调，A错误；B，f（x）＝x3+1不是奇函数，B错误；C，f（x）＝x+x3为奇函数，且y＝x，y＝x3在R上单调递增，即f（x）单调递增，C正确；D，f（x）＝x3+x2为非奇非偶函数，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．6．（4分）已知等差数列{an}满足a3﹣a1＝4，且a2是a1和a4的等比中项，则a3＝（）A．6 B．8 C．6或8 D．10【分析】根据等差数列的定义与通项公式，求出公差d，再根据等比中项列方程求出a1，即可求出a3．【解答】解：等差数列{an}中，a3﹣a1＝2d＝4，所以公差d＝2，又因为a2是a1和a4的等比中项，所以(a1+2)2=a1（a1所以a3＝a1+4＝6．故选：A．【点评】本题考查了等差与等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．7．（4分）某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为23，合格品率为14，次品率为A．172 B．136 C．124【分析】根据题意，利用独立事件乘法公式及排列数公式计算即可．【解答】解：根据题意，从该厂生产的所有产品中任取一件，设A＝“抽到优良品”，B＝“抽到合格品”，C＝“抽到次品”，则从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率P=A33P（A）P（B）P（C故选：D．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8．（4分）若函数f（x）＝ex（x2﹣1）的两个极值点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的值为（）A．2 B．6 C．22 【分析】求导得极值方程x2+2x﹣1＝0，利用韦达定理和根差公式即可得|x【解答】解：因为f（x）＝ex（x2﹣1），所以f'（x）＝ex（x2+2x﹣1），因ex＞0，极值点满足x2+2x﹣1＝0，设方程x2+2x﹣1＝0的根为x1，x2，由韦达定理：x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1，根差公式：|x故选：C．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．9．（4分）若数列{an}是存在负数项的无穷等比数列，则“数列{an}有最小项”是“数列{|an|}有最大项”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据数列{an}是存在负数项的无穷等比数列，考虑可能的三种情形，a1＜0，q＞0或a1＜0，q＜0或a1＞0，q＜0，再分别对命题的充分性和必要性进行论证．【解答】解：因为数列{an}是存在负数项的无穷等比数列，所以a1＜0，q＞0或a1＜0，q＜0或a1＞0，q＜0，若数列{an}有最小项，则a1＜0，0＜|q|≤1或a1＞0，﹣1＜q＜0，若a1＜0，0＜|q|≤1，此时数列{|an|}有最大项，最大项为|a1|，若a1＞0，﹣1＜q＜0，此时数列{|an|}有最大项，最大项为|a1|，故充分性成立；若数列{|an|}有最大项，则0＜|q|≤1，若a1＜0，1≥q＞0，则数列{an}有最小项，最小项为a1，若a1＜0，﹣1≤q＜0，则数列{an}有最小项，最小项为a1，若a1＞0，﹣1≤q＜0，则数列{an}有最小项，最小项为a2，故必要性成立；综上，若数列{an}是存在负数项的无穷等比数列，则“数列{an}有最小项”是“数列{|an|}有最大项”的充要条件．故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的单调性以及数列的最大最小项，属于中档题．10．（4分）若函数f(x)=ex(x−1)−A．a≥12 B．−32≤a≤2 C．1≤a≤2【分析】设h（x）＝ex（x﹣1）−12mx2−2a，g（x）＝mx2﹣ax＝x2﹣ax，由f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得f（x）在（﹣∞，1）上递增，g（x）（1，+∞）上递增，且【解答】解：设h（x）＝ex（x﹣1）−12m则h'（x）＝exx﹣mx＝（ex﹣m）x≥0在（﹣∞，1）上恒成立，则y＝ex﹣m与y＝x在（﹣∞，1）上始终保持符号相同，所以m＝e0＝1，设g（x）＝mx2﹣ax＝x2﹣ax，则对称轴x=a2≤且h（1）≤g（1），即−12−2a≤1﹣a，得综上，实数a的取值范围为[−3故选：B．【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知函数f(x)=lnxx，则f（x）的定义域是（0，+∞），f′（1）＝【分析】利用对数函数的性质求解第一空，利用导数的四则运算法则求解第二空．【解答】解：函数f(x)=lnx则x＞0，即f（x）的定义域是（0，+∞），又因为f′（x）=1−lnx所以f′（1）=1−ln1故答案为：（0，+∞）；1．【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了导数的计算，属于基础题．12．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝9，则S17＝153．【分析】根据等差数列的性质可进行求解．【解答】解：由等差数列的性质知，S17＝17a9＝153．故答案为：153．【点评】本题主要考查求等差数列的前n项和，属于基础题．13．（5分）已知随机变量X的分布列如下：X0123P117p1p2p3则P（X≥1）＝1617；若117，p1，p2成公比为3的等比数列，则p3＝4【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可求P（X≥1），根据等比数列的定义可求p3．【解答】解：由分布列知，P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）=16所以p1+p2+p3=16因为117，p1，p2成公比为3的等比数列，所以p1=317，p2=917故答案为：1617；4【点评】本题主要考查等比数列的定义、离散型随机变量的分布列，属于中档题．14．（5分）已知曲线C：y＝x3﹣6x2+11x﹣6，点A在曲线C上，则在点A处切线斜率的最小值为﹣1；若点B为y轴的一个动点，且曲线C上至少有两条不同的切线经过点B，则动点B的轨迹的长度为8．【分析】设A（m，n），求导，得到在点A处切线斜率为3m2﹣12m+11≥﹣1，得到最小值；将B（0，t）代入切线方程，整理得到t=−2x03+6x02−6，至少有两个根，构造函数g（x）＝﹣2x【解答】解：设A（m，n），y′＝3x2﹣12x+11，故在点A处切线斜率为3m2﹣12m+11＝3（m﹣2）2﹣1≥﹣1，当m＝2时，等号成立，故在点A处切线斜率的最小值为﹣1，点B为y轴的一个动点，设为B（0，t），双曲线C：y＝x3﹣6x2+11x﹣6在(xy−(x将B（0，t）代入切线方程得t−(x整理得t=−2x曲线C上至少有两条不同的切线经过点B，故t=−2x令g（x）＝﹣2x3+6x2﹣6，则g'（x）＝﹣6x2+12x＝﹣6x（x﹣2），令g′（x）＞0，得0＜x＜2，令g（x）＜0，得x＞2或x＜0，所以g（x）＝﹣2x3+6x2﹣6在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，极小值为g（0）＝﹣6，极大值为g（2）＝﹣16+24﹣6＝2，故t∈[﹣6，2]时，t=−2x动点B的轨迹的长度为2﹣（﹣6）＝8．故答案为：﹣1；8．【点评】本题考查导数的应用，属于难题．15．（5分）已知{an}是首项为a，公差为2的无穷等差数列，{bn}是首项为1，公比为2的无穷等比数列，记λn①当0＜a＜2时，有λ1＜λ2＜λ3；②存在a∈R，使得{λn}的前2025项为单调递增数列；③对于任意a＞0，{λn}从第三项起均为单调递减数列；④当且仅当a＝2时，存在k∈N*，使得λk＝λk+1．其中所有正确结论的序号是①②③．【分析】根据条件求出an，bn，λn，求出λ1，λ2，λ3作差比大小来判断①；假设命题成立，将问题转化为恒成立求参来判断②；求出λn+1−λn=−n2+(3−a)n+a2n，通过研究函数f（x）＝﹣x2+（3﹣a【解答】解：因为{an}是首项为a，公差为2的无穷等差数列，{bn}是首项为1，公比为2的无穷等比数列，所以an＝a+2（n﹣1）＝2n+a﹣2，bn则λn则λ1若0＜a＜2，则λ2−λ1=1＞0，λ3−λ2=−1假设存在a∈R，使得{λn}的前2025项为单调递增数列，则λn+1对∀n∈N*，n≤2024恒成立，即a（1﹣n）＞n2﹣3n对∀n∈N*，n≤2024恒成立，当n＝1时，上式显然成立，则−a＞n2−3nn−1对∀n∈N因−a＞n结合y=x−2当n＝2024时y=(n−1)−2n−1−则−a＞2022−22023，则a＜2由②可知，λn+1令f（x）＝﹣x2+（3﹣a）x+a，其开口朝下，对称轴为x=3−a若a＞0，则对称轴x=3−a2＜32，则当x≥3时，f（x则n≥3时，λn+1＜λn，故对于任意a＞0，{λn}从第三项起均为单调递减数列，故③正确；当a＝0时，λk=(k−1)k2k−1故答案为：①②③．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，属于难题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx+b，a，b∈R，且f′（1）＝0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥1恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，利用f′（1）＝0，解方程即可求得a的值；（Ⅱ）求出导数为0的点，对该点的左右区间利用导数为正，函数单增，导数为负，函数单减进行判断即可；（Ⅲ）求出f（x）的最小值，将f（x）≥1恒成立转化为其最小值大于等于1，解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝ax2﹣lnx+b，f′(x)=2ax−1因为f′（1）＝0，所以f′(1)=2a×1−11=2a−1=0（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由（Ⅰ）得，f(x)=1f′(x)=x−1令f′(x)=(x+1)(x−1)x=0，解得x当x＞1时，（x+1）（x﹣1）＞0，故f′(x)=(x+1)(x−1)x＞0，f当0＜x＜1时，（x+1）（x﹣1）＜0，f′（x）=(x+1)(x−1)x＜0，f综上，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，f(x)min=f(1)=12+b，对任意x即f(x)min≥1，故b的取值范围是[1【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．17．（13分）已知在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，a2＝b2≠1，等差数列{an}的前n项和为Sn，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列{an}和{bn}存在，并解答下列问题．条件①：S7＝7b3；条件②：a2，a3，b3成等差数列；条件③：a1，b2，a2成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}的通项公式为cn＝2an﹣17，求数列{cn}的前n项和的最小值，以及此时数列{bn}的前n项和的值．【分析】（Ⅰ）选择条件①：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等差数列的前n项和公式及等差、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解；选择条件②：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题可得：2a3＝a2+b3，根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解；选择条件③：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题可得：b22=a1⋅a2根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组求解，可知选择条件（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn＝2an﹣17＝2n﹣17．设{bn}的前n项和为Tn，{cn}的前n项和为Qn，根据等比数列的前n项和公式可得Tn，根据等差数列的前n项和公式可得Qn，再结合二次函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）选择条件①：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，S7=7(a1+a∴a1+3d=b解得d=1q=2或d=0an＝n，∴bn选择条件②：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题可得：2a3＝a2+b3，∴2(a即2(1+2d)=1+d+q即1+3d=q解得d=1q=2或d=0an＝n，∴bn选择条件③：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题可得：b2∴(b即q2解得d=−1q=0，（舍去）或d=0故选择条件③时，不存在满足条件的数列{an}和{bn}；（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn＝2an﹣17＝2n﹣17．设{bn}的前n项和为Tn，{cn}的前n项和为Qn，则Tn=1−Qn由二次函数的性质可知：当n＝8时，Qn的最小值为82﹣16×8＝﹣64，数列{bn}的前8项和为28﹣1＝255．【点评】本题考查等差与等比数列的应用，属于中档题．18．（14分）商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动．如表是2024年某地区每个月苹果的价格指数：月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月指数151152149146151147151154152151152153（Ⅰ）若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率；（Ⅱ）若从2024年1～6月随机抽取3个月，从7～12月随机抽取1个月，记X为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若从2024年1～4月、5～8月、9～12月各随机抽取1个月，分别记X1、X2、X3为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则D（X1）、D（X2）、D（X3）中哪个最大？（结论不要求证明）【分析】（1）从表中找出所有月份中苹果价格指数大于150的事件个数即可；（2）由已知可得随机变量X的所有可能取值，再求出各取值相应的概率，即可求得其分布列与数学期望；（3）结合两点分布的方差公式与方差定义可得D（X1）、D（X2）、D（X3），再比较即可．【解答】解：（1）设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件A，由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150，所以P(A)=9（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，所以P(X=1)=C33P(X=3)=C32所以X的分布列为：x1234P120920920120所以X的数学期望为E(X)=1×1（3）2024年1～4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则X1服从两点分布(1，1故D(X2024年5～8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则X2服从两点分布(1，3故D(X2024年9～12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则D（X3）＝0，故D（X1）＞D（X2）＞D（X3），即D（X1）、D（X2）、D（X3）中D（X1）最大．【点评】本题考查古典概型求概率公式、离散型随机变量的分布列与数学期望、方差等，综合性较强，属于中档题．19．（15分）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为14，乙每次投中的概率为12，丙每次投中的概率为p（0＜（Ⅰ）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；（Ⅱ）丙投篮3次，当p为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值．【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙各命中1次的概率，即可求解．（Ⅱ）求出丙恰好投中1次的概率为3p（1﹣p）2，再令f（x）＝3x（1﹣x）2＝3x3﹣6x2+3x，0＜x＜1，然后利用导数求出最值，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）甲恰好投中1次的概率为C3乙恰好投中1次的概率为C3所以甲恰好投中1次的概率大．（Ⅱ）丙恰好投中1次的概率为C3令f（x）＝3x（1﹣x）2＝3x3﹣6x2+3x，0＜x＜1，求导得：f'（x）＝9x2﹣12x+3，由f'（x）＞0，解得0＜x＜13，故f（x）在由f'（x）＜0，解得13＜x＜1故f（x）在所以f(x)所以当p=13时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，结合导数等知识点求最值，属于中档题．20．（15分）已知函数f(x)=lnx+a（Ⅰ）当a=1（i）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为e，求a的值．【分析】（Ⅰ）（i）求导，即可根据点斜式求解切线方程；（ii）根据导数的正负确定函数的单调性，即可求解最值；（Ⅱ）根据f'（x）的单调性可得f'（x）＝0有唯一解x0，即1x【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．f′(x)=1当a=12时，（i）因为f(1)=12，f′（1）＝0，y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为（ii）令g(x)=1x−2lnx−1，g′(x)=−1x2−2随着x的变化，f（x），f'（x）的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）g（x）+0﹣f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减所以f(x)（Ⅱ）由（I），f′(x)=1令f′（x）＝0，则1x设m(x)=1x−2lnx−2a，因为m（x）在（0，+∞）上单调递减，且m（e﹣a）＞0，m（e|所以m（x）存在唯一零点，所以f′（x）＝0有唯一解，不妨设为x0，即1x随着x的变化，f（x），f'（x）的变化情况如下：x（0，+∞）x0（x0，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减所以f(x)又lnx0+a=所以2x设h（x）＝2xe2x﹣2，因为h'（x）＝e2x﹣2（4x+2）＞0，所以h（x）单调递增，又ℎ(12)=1e，所以x【点评】本题考查利用导数求解函数的最值及求解曲线在某点上的切线方程，属于中档题．21．（15分）已知数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}满足：①a1，b1，c1，d1均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，an+1＝an﹣bn，bn+1＝bn﹣cn，