2024-2025学年北京中学高二下学期期中质量调研数学试题

2024—2025学年度第二学期期中质量调研试题本试卷共4页，满分150分。考试时长120分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡对应题号框内，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．的展开式中，所有二项式系数的和为A．0 B． C． D．2．某兴趣小组组织A，B，C三项比赛，请甲、乙、丙三位同学参加，每项冠军只有一人，若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有A．6种 B．12种 C．18种 D．27种3．定义在上的函数其导函数为，若为偶函数，则A．B．C．D．4．A，B，C三所大学发布了面向高一学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有A．72种 B．81种 C．30种 D．36种5．若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是A．B．C．D．6．若函数在上有极值，则的取值可能是A． B． C．0 D．17．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是A． B． C． D．8.如右图，直线与曲线有两个公共点，其中A是切点，记，则下列判断正确的是A．只有一个极值点B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点C．的极小值点小于极大值点，且极小值为D．的极小值点大于极大值点，且极大值为29.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现规律．我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》一书中出现了这个表，我们称之为杨辉三角，如下左图所示：杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如上右图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为A． B． C． D．10．设函数．若在上恒成立，则A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分．）11．的展开式中含项的系数为．12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；函数在处的导数．13．将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有.（用数字作答）14．函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是.15．对于三次函数，定义：设是函数的函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”；此时的图象关于“拐点”对称.已知函数的“拐点”为，则点坐标为，在点的切线为，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是.16．已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：①可能是负数；②；③为定值；④若存在，使得，则.其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程.）17．（本题满分12分）已知的展开式中，各项的系数之和为729.(1)求的值；(2)求展开式中第三项的二项式系数和第三项；(3)求展开式的常数项．18．（本题满分14分）已知函数.(1)当时，求的定义域；(2)若在区间上单调递减，求的取值范围；(3)当时，若，证明：则.19．（本题满分14分）已知函数，设l为曲线在点处的切线，其中．(1)求直线l在y轴上的截距的取值范围：(2)设直线分别与曲线和射线（）交于M，N两点，求的最小值及此时a的值．20.（本题满分15分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值；(3)若在时取得极值，设，当时，试比较与的大小，并说明理由．21．（本题满分15分）给定正整